北师大版九年级数学下册第二章专题训练 二次函数图象信息题归类.docx

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北师大版九年级数学下册第二章专题训练二次函数图象信息题归类

专题训练　二次函数图象信息题归类

►　类型一　根据二次函数图象确定a，b，c及与其有关的代数式的符号

1．已知b＜0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列四个图象之一．试根据图象分析，a的值应等于（　　）

图ZT－8－1

A．－2　　　B．－1

C．1　　　D．2

2．已知二次函数y＝a（x＋1）2＋b有最大值0.1，则a与b的大小关系为（　　）

A．a＞bB．a＜b

C．a＝bD．不能确定

图ZT－8－2

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图ZT－8－2所示，并且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根．下列结论：

①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

►　类型二　利用二次函数的图象比较大小

4．点P1（－1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2

C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3

►　类型三　利用二次函数的图象求一元二次方程的根

图ZT－8－3

5．如图ZT－8－3，以（1，－4）为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是（　　）

A．2＜x＜3B．3＜x＜4

C．4＜x＜5D．5＜x＜6

6．二次函数y＝2x2－4x＋m的部分图象如图ZT－8－4所示，则关于x的一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是（　　）

A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3

C．x1＝－1，x2＝5D．x1＝－1，x2＝2.5

图ZT－8－4

图ZT－8－5

7．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函数y＝

x的图象如图ZT－8－5所示，则方程ax2＋（b－

）x＋c＝0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0B．等于0

C．小于0D．不能确定

8．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图ZT－8－6所示，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为____________．

图ZT－8－6

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图ZT－8－7所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是______________．

图ZT－8－7　　　

图ZT－8－8

►　类型四　利用二次函数图象解不等式

10．如图ZT－8－8是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是__________________．

11．如图ZT－8－9，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；

（3）在同一直角坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

图ZT－8－9

►　类型五　根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象

图ZT－8－10

12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图ZT－8－10所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝

在同一平面直角坐标系中的大致图象为（　　）

图ZT－8－11

13．2017·铜仁模拟在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的图象可能是（　　）

图ZT－8－12

►　类型六　利用二次函数图象求二次函数的表达式

14．已知某二次函数的图象如图ZT－8－13所示，则这个二次函数的表达式为（　　）

A．y＝－3（x－1）2＋3

B．y＝3（x－1）2＋3

C．y＝－3（x＋1）2＋3

D．y＝3（x＋1）2＋3

图ZT－8－13

图ZT－8－14

15．如图ZT－8－14，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为（－1，0），点C的坐标为（0，5），且OA∶OB＝1∶4，则这个二次函数的表达式是____________．

16．如图ZT－8－15，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.

（1）求抛物线的函数关系式．

（2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图ZT－8－15

详解详析

1．C　[解析]∵b＜0，

∴抛物线的对称轴直线x＝－

≠0，

∴排除前两个图象．

从后两个图象上看，抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴x＝－

＞0，

∴a＞0，故其图象应为第三个．

∵抛物线经过原点，

∴a2－1＝0，∴a＝±1（舍去负值），∴a＝1.

2．B　[解析]∵二次函数y＝a（x＋1）2＋b有最大值0.1，

∴抛物线开口向下，即a＜0.

又∵（－1，0.1）是抛物线的最高点，

∴b＝0.1.∴a＜b.故选B.

3．B　4.D　5.C

6．A　[解析]观察图象可知，抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴的一个交点坐标为（－1，0），对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），

∴关于x的一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3.

7．A　[解析]方程ax2＋（b－

）x＋c＝0可转化为ax2＋bx＋c＝

x，二次函数与一次函数图象的两个交点的横坐标即为该方程的两根．

不妨设这两根分别为x1，x2，且x1

设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝m＞0，

根据图象得x2－m＝m－x1，

所以x1＋x2＝2m>0.故选A.

8．x1＝1，x2＝－3　[解析]观察图象可知，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝－1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（－3，0），

∴关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝－3.

故答案为：

x1＝1，x2＝－3.

9．x1＝－1，x2＝3　[解析]∵抛物线与x轴的一个交点是点（－1，0），对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点是点（3，0）．

∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝－1，x2＝3.

10．x<－1或x>5　[解析]观察图象可知抛物线的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于点（5，0），依据对称性可求出抛物线与x轴的另一交点坐标为（－1，0）．又因为二次函数的图象开口向下，所以不等式的解集是x<－1或x>5.

11．解：

（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点，

∴

解得

∴二次函数的表达式为y＝

x2－

x－1.

（2）当y＝0时，得

x2－

x－1＝0，

解得x1＝2，x2＝－1，

∴点D的坐标为（－1，0）．

（3）经过D（－1，0），C（4，5）两点的直线即为直线y＝x＋1，画图如下．

由图象，得当－1

12．B　[解析]∵二次函数的图象开口向上，

∴a>0.∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴x＝－

>0，∴b<0.

∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c>0.

∴一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限．故选B.

13．C　[解析]A．由图象可知，抛物线与y轴交于负半轴，∴a＜0，直线过第一、三象限，∴a＞0，故此选项错误；

B．由图象可知，抛物线开口向下，∴b＜0，与一次函数y＝ax＋b中b＞0矛盾，故此选项错误；

C．由图象可知，抛物线与y轴交于负半轴，∴a＜0，开口向上，∴b＞0，直线过第一、二、四象限，∴a＜0，b>0，故此选项正确；

D．由图象可知，直线与y轴交于负半轴，

∴b＜0，抛物线开口向上，∴b＞0，故此选项错误．

故选C.

14．A

15．y＝－

x2＋

x＋5　[解析]∵A（－1，0），OA∶OB＝1∶4，∴B（4，0）．

设图象经过A，B，C三点的二次函数的表达式为y＝a（x－4）（x＋1），

∵点C（0，5）在函数图象上，

∴5＝a×（0－4）×（0＋1），即a＝－

，

∴所求的二次函数的表达式为y＝－

（x－4）（x＋1），

即y＝－

x2＋

x＋5.

16．解：

（1）由题意得

解得

∴抛物线的函数关系式为y＝x2－4x＋3.

（2）存在．∵点A与点C关于直线x＝2对称，

∴连接BC与直线x＝2交于点P，

则点P即为所求．根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），抛物线y＝x2－4x＋3与y轴的交点坐标为（0，3）．

设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b1，

则

解得

∴直线BC的函数关系式为y＝－x＋3.

则直线BC与直线x＝2的交点坐标为（2，1），

∴点P的坐标为（2，1）．