北师大数学初一上数轴动点专题整理.docx

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北师大数学初一上数轴动点专题整理

明确以下几个问题：

1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

基础题

1.如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C点.

（1）求动点A所走过的路程及A、C之间的距离.

（2）若C表示的数为1，则点A表示的数为.

【1题答案】

（1）2+5=7；AC=5-2=3；

（2）－2。

2.画个数轴,想一想

（1）已知在数轴上表示3的点和表示8的点之间的距离为5个单位,有这样的关系5=8-3,那么在数轴上表示数4的点和表示-3的点之间的距离是________单位；

（2）已知在数轴上到表示数-3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1，有这样的关系

，那么在数轴上到表示数

的点和表示数

的点之间距离相等的点表示的数是__________________.

（3）已知在数轴上表示数

的点到表示数-2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，求数

.

【2题答案】考点：

数轴．

（1）数轴上两点间的距离等于表示这两点的数中，较大的数减去较小的数．

（2）由数轴上表示数x的点到表示数-2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，可得x与-2的差的绝对值等于x与6的差的绝对值的2倍．

应用题

1已知数轴上有A、B、C三点，分别代表－24，－10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？

⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗？

若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

【1题答案】分析：

如图1，易求得AB=14，BC=20，AC=34

⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

此时甲表示的数为－24+4x。

①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14

甲到C的距离为10－（－24+4x）=34－4x

依题意，14+（34－4x）=40，解得x=2

②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20，甲到A的距离为4x

依题意，20+4x=40，解得x=5

即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

⑵是一个相向而行的相遇问题。

设运动t秒相遇。

依题意有，4t+6t=34，解得t=3.4

相遇点表示的数为－24+4×3.4=－10.4（或：

10－6×3.4=－10.4）

⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。

①甲从A向右运动2秒时返回。

设y秒后与乙相遇。

此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。

甲表示的数为：

－24+4×2－4y；乙表示的数为：

10－6×2－6y

依题意有，－24+4×2－4y=10－6×2－6y，解得y=7

相遇点表示的数为：

－24+4×2－4y=－44（或：

10－6×2－6y=－44）

②甲从A向右运动5秒时返回。

设y秒后与乙相遇。

甲表示的数为：

－24+4×5－4y；乙表示的数为：

10－6×5－6y

依题意有，－24+4×5－4y=10－6×5－6y，解得y=－8（不合题意，舍去）

即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为－44。

点评：

分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。

点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。

2．动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，4秒后，两点相距20个单位长度.已知动点A、B的速度比为2∶3（速度单位：

单位长度/秒）．

（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动4秒时的位置；

（2）若A、B两点从

（1）中标出的位置同时出发，按原速度向数轴负方向运动，求几秒钟后原点恰好在两个动点的正中间；

（2）当A、B两点从

（1）中标出的位置出发向数轴负方向运动时，另一动点C也同时从原点的位置出发向A运动，当遇到A后立即返回向B点运动，遇到B后又立即返回向A运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动.若点C一直以10单位长度/秒的速度匀速运动，求点C一共运动了多少个单位长度．

【2题答案】

3．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．

（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．

（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．

【3题答案】

4.如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足

（1）求A、B两点之间的距离；

（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；

（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），

①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；

②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.

综合题

1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

【1题答案】答案：

⑴如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA。

依题意，3－x=x－（－1），解得x=1

⑵由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。

①P在点A左侧，PA=－1－x，PB=3－x

依题意，（－1－x）+（3－x）=5，解得 x=－1.5

②P在点B右侧，PA=x－（－1）=x+1，PB=x－3

依题意，（x+1）+（x－3）=5，解得 x=3.5

⑶点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。

故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。

P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。

设运动t分钟，此时P对应的数为－t，B对应的数为3－20t，A对应的数为－1－5t。

①B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点。

B在P的右侧，A在P的左侧。

PA=－t－（－1－5t）=1+4t，PB=3－20t－（－t）=3－19t

依题意有，1+4t=3－19t，解得t=

②B追上A时，A、B重合，此时PA=PB。

A、B表示同一个数。

依题意有，－1－5t=3－20t，解得 t=

即运动

或

分钟时，P到A、B的距离相等。

点评：

⑶中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。

2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。

⑴求AB中点M对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

【2题答案】分析：

⑴设AB中点M对应的数为x，由BM=MA

所以x—（—20）=100—x，解得x=40  即AB中点M对应的数为40

⑵易知数轴上两点AB距离，AB=140，设PQ相向而行t秒在C点相遇，

依题意有，4t+6t=120，解得t=12

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20+4t=100—6t，t=12）

相遇C点表示的数为：

—20+4t=28（或100—6t=28）

⑶设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为100—6y，Q表示的数为—20—4y。

P、Q为同向而行的追及问题。

依题意有，6y—4y=120，解得y=60

（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20—4y=100—6y，y=60）

D点表示的数为：

—20—4y=—260（或100—6y=—260）

点评：

熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。

⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。

在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。

3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

【3题答案】分析：

⑴如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA。

依题意，3—x=x—（—1），解得x=1

⑵由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。

①P在点A左侧，PA=—1—x，PB=3—x

依题意，（—1—x）+（3—x）=5，解得 x=—1.5

②P在点B右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3

依题意，（x+1）+（x—3）=5，解得 x=3.5

⑶点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。

故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。

P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。

设运动t分钟，此时P对应的数为—t，B对应的数为3—20t，A对应的数为—1—5t。

①B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点。

B在P的右侧，A在P的左侧。

PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t

依题意有，1+4t=3—19t，解得t=

②B追上A时，A、B重合，此时PA=PB。

A、B表示同一个数。

依题意有，—1—5t=3—20t，解得 t=

即运动

或

分钟时，P到A、B的距离相等。

点评：

⑶中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。

4．已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4，P为数轴上一动点，对应数为x。

⑴若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。

⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10？

若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。

它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的中点？

【4题答案】（参考答案：

⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）

5.如图，已知数轴上有三点A,B,C,AB=1/2AC,点C对应的数是200

（1）若BC=300，求点A对应的数；

（2）在

（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；

（3）在

（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为-800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC-AM的值是否发生变化？

若不变，求其值；若不变，请说明理由.

BC=300，AB=AC/2，所以AB=600C点对应200A点200-600=-400

设x秒

MR=（10+2）*x/2RN=600-（5+2）*x/2MR=4RN解x=60

不变，速度（10+5）10=3：

2

设经过的时间为y

则PE=10y,QD=5y于是PQ点为[0-（-800）]+10y-5y=800+5y

一半则是（800+5y）/2所以AM点为（800+5y）/2+5y-400=15y/2

又QC=200+5y所以3QC/2-AM=3（200+5y）/2-15y/2=300为定值

6.已知数轴上的三个点对应的数分别为A、B、C；其中C比B大3，B比A小7，且|A|+|B|+|C|=13，则A+B+C的值为？

【6题答案】C比B大3，即C-B=3B比A小7，即A-B=7

所以有:

A-C=4可得:

A>C>B.

且|A|+|B|+|C|=13，

1.设A>0,B<0,C<0

则有:

A-B-C=13,即7-C=13,C=-6即B=-9,A=-2<0,矛盾,舍.

2.设A>0,B>0,C<0

则有:

A+B-C=13,A-3=13,A=16B=9,C=12>0,矛盾,舍.

3.设A>0,B>0,C>0

A+B+C=137+B+B+3+B=13,B=1

A=8,C=4,符合.故:

A+B+C=8+4+1=13

4.设A<0.B<0,C<0

即-（A+B+C）=13.A+B+C=-137+B+B+3+B=-13

B=-23/3A=7+B=-2/3C=3+B=-14/3符合,则A+B+C=-13

综上所述,A+B+C=13或-13

7.已知：

b是最小的正整数，且a、b满足

，请回答问题

（1）请直接写出a、b、c的值。

a=__________b=__________a=__________

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即

时），请化简式子：

（请写出化简过程）

（3）在

（1）

（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB。

请问：

BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？

若变化，请说明理由；若不变，请求其值。

8.如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别对应为x、y，且x、y满足

（1）求线段AB的长；

（2）若P为A、B两点之间的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在线段AB上运动时，线段MN的长度是否发生改变？

若不变，请求出线段MN的长；若改变，请说明理由.

（3）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：

且d＝︱a＋b︱－︱－2－b︱－︱a－2c︱－5，

试求7（d＋2c）2＋2（d＋2c）－5（d＋2c）2－3（d＋2c）的值.

9．已知多项式

，含字母的项的系数为

，多项式的次数为

，常数项为

.且

分别是点

在数轴上对应的数。

（1）求

的值，并在数轴上标出

（2）若甲、乙、丙三个动点分别从

三点同时出发沿着数轴负方向运动，它们的速度分别是

（单位长度/秒），通过计算说明：

当出发

秒时甲、乙、丙谁离原点最远？

（3）在数轴上

点左侧是否存在一点

，使

到

的距离和等于

？

若存在，请直接指出点

对应的数；若不存在，请说明理由。

10．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b-1）2=0，A、B之间的距离记作|AB|，定义：

|AB|=|a-b|.

（1）求线段AB的长|AB|；

（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|-|PB|=3时，求x的值；

（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论：

①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|-|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值。

11．如图，已知数轴上点A表示的数是a，B是数轴上的一点，且AB的长为b．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）①写出数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含a，b，t的代数式表示）；

②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？

若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；

（2）若b=10，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒4/3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P追上点R后，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

拓展题

1.点A1、A2、A3、……An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1，点A2在点A1的右边，且A2A1=2，点A3在点A2的左边，且A3A2=3，点A4在点A3的右边，且A4A3=4，……，依照上述规律点A2008、A2009所表示的数分别为（     ）。

A．2008，—2009  B．—2008，2009  C．1004，—1005 D．1004，—1004

分析：

如图，

点A1表示的数为—1；

点A2表示的数为—1+2=1；

点A3表示的数为—1+2—3=—2；

点A4表示的数为—1+2—3+4=2  ……

点A2008表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008=1004

点A2009表示的数为—1+2—3+4—……—2007+2008—2009=1005

点评：

数轴上一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中的方向变化。

2．电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳一个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的K100所表示的数恰是19.94。

试求电子跳蚤的初始位置K0点表示的数。

（提示：

设K0点表示的数为x，用含x的式子表示出K100所表示的数，建立方程，求得x=—30.06）

【2题答案】考点：

一元一次方程的应用．

专题：

规律型．

分析：

易得每跳动2次，向右平移1个单位，跳动100次，相当于在原数的基础上加了50，相应的等量关系为：

原数字+50=19.94．

解答：

解：

设k0点所对应的数为19.94-100+99-98+97-…-6+5-4+3-2+1=-30.06，

故答案为：

-30.06．

点评：

考查一元一次方程的应用，得到每跳动2次相对于原数的规律是解决本题的突破点．

3．如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：

单位长度/秒）.

（1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（4分）

（3）若A、B两点从

（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间？

（4分）

4.如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为12,当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单位：

单位长度）.由此可得玩具火车的长为个单位长度.

（2）现在你能“数轴”这个工具解决下面问题吗？

一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：

“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！

”小明心想：

奶奶的年龄到底是多少岁呢？

你能帮小明求出来吗？

（可使用你喜欢的方法）

（3）在

（1）的条件下数轴上放置与AB相同的玩具火车CD,使O与C重合，两列玩具火车分别从O到A同时出发，已知CD火车速度0.5个单位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车都可前后开动），问几秒两火车头A与C相距个单位？

考点：

一元一次方程的应用；数轴．

分析：

（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三个玩具火车长是12-3=9，则一个玩具火车长为3个单位长度；

（2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小明与奶奶的年龄差看做玩具火车AB，类似奶奶和小明一样大时看做当B点移动到A点时，此时A′点所对应的数为-40，小明和奶奶一样时看做当A点移动到B点时，此时B′点所对应的数为116，由此可知奶奶的年龄；

（3）根据

（1）可知DA=3，由于两列玩具火车分别从O和A同时出发向右移动，根据速度可知两玩具火车每秒的路程差是1-0.5=0.5个单位，设x秒后两火车头A与C相距10个单位，根据题意可得方程3+（1-0.5）x=10再解方程即可．

解答：

解：

（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为12-3=9，

则一个玩具火车长为9÷3=3．

故答案为：

3；

（2）借助数轴，把奶奶的年龄差看做玩具火车AB，

类似奶奶和小明一样大时看做当B点移动到A点时，

此时A′点所对应的数为-40．

小明和奶奶一样时看做当A点移动到B点时，

此时B′点所对应的数为116．

∴可知奶奶比小明大[116-（-40）]÷3=52，

可知奶奶的年龄为116-52=64，

答：

奶奶的年龄是64岁；

（3）由

（1）得：

AD=3，设x秒后两火车头A与C相距10个单位，由题意得：

3+（1-0.5）x=10，

解得：

x=14，

答：

14秒后两火车头A与C相距10个单位．

点评：

此题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系．