信号与系统第5章习题答案.docx
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信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化
5.1试证明时域抽样定理。
证明：
设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
T（t）（tnT）
sn
由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
1
Fs（）F（）T
2
（）
1
T
s
n
Fn
s
式中F（）为原信号f（t）的频谱，T（）为单位冲激序列T（t）的频谱。
可知抽样后信
号的频谱（）
F由F（）以s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果
s
s2，抽样后的信号fs（t）就包含了信号f（t）的全部信息。
如果s2m，即抽样
m
间隔
1
T
sf
2
m
，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建
原信号。
因此必须要求满足
1
T
sf
2
m
，f（t）才能由fs（t）完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：
2t
（1）Sa（50t）
（2）Sa（100）
2t（3）Sa（50t）Sa（100t）（4）（100）（60）
SatSa
解：
抽样的最大间隔
Ts12f称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs2fm称为奈奎
m
斯特速率，最低采样频率
s2称为奈奎斯特频率。
m
（1）Sa（t[u（50）u（50）]，由此知m50rad/s，则
50）
50
25
f，
m
由抽样定理得：
最低抽样频率
50
fs2fm，奈奎斯特间隔
1
T。
sf
50
s
2t
（2））
Sa（100）（1
100200
脉宽为400，由此可得rads
m200/，则
100
f，由抽样定理得最低抽样频率
m
200
fs2fm，奈奎斯特间隔
1
T。
sf
200
s
（3）Sa[（50）（50）]，该信号频谱的m50rad/s
（50t）uu
50
Sa（100t）[u（100）u（100）],该信号频谱的m100rad/s
100
50
Sa（50t）Sa（100t）信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低
m
抽样频率
100
fs2fm，奈奎斯特间隔
1
T。
sf
100
s
（4）Sa（100t）[u（100）u（100）],该信号频谱的m100
100
2t
Sa（60）
（1），该信号频谱的m120rad/s
60120
2t
所以（100）（60）
SatSa频谱的m120rad/s,则
60
f，由抽样定理得最
m
低抽样频率
120
fs2fm，奈奎斯特间隔
1
T。
sf
120
s
5.3系统如题图5.3所示，f1（t）Sa（1000t），f2（t）Sa（2000t），
p（t）（tnT），f（t）f1（t）f2（t），fs（t）f（t）p（t）。
n
（1）为从fs（t）中无失真地恢复f（t），求最大采样间隔Tmax。
（2）当TTmax时，画出fs（t）的幅度谱Fs（）。
f1（tf（t）
）
时域相乘时域抽样
fs（t）
f2（tp（t）
）
题图5.3
解：
（1）先求f（t）的频谱F（j）。
1
f1（t）Sa（1000t）F1（j）[u（1000）u（
1000
1000）]
1
f2（t）Sa（2000t）F2（j）[u（2000）u（
2000
2000）]
F（j）
1
2
F（j
1
）F（j
2
）
1
2
1
[（u（
1000
1000）u（1000））
1
2000
（u（
2000
）
u（
2000
）]
1
4
6
10{（3000）[u（3000）u（1000）]
2000[u（1000）u（1000）]（3000）[u（1000）u（3000）]}
由此知F（j）的频谱宽度为6000，且rads
m3000/，则fm1500Hz，抽样
11
的最大允许间隔s
T
max
2fm3000
（2）p（t）（tnT），所以为用冲激序列对连续时间信号为f（t）进行采样，设原输
n
入信号f（t）的频谱密度为F（），而单位冲激序列的频谱密度为：
2
p（）（n）其中
s
T
n
s
2
T
则根据频域卷积定理得抽样信号f（t）
s的频谱为：
11
Fs（）[F（）*p（）]F（n）
s
2T
n
2
而TTmax，则s300026000rad/s
T
max
，幅度谱如下图所表示。
t
5.4对信号f（t）eu（t）
进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？
画出其抽样信号的
频谱。
解：
由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
F（j）
1
1
j
其幅度频谱和相位频谱分别为
1
F（j）
2
1
（）arctan
单边非因果指数函数的波形f（t）、幅度谱F（j）、相位谱（）如下图所示，其中a1。
（）
单边指数信号的波形和频谱
显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。
抽样后
的频谱是将原信号频谱以抽样频率
s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的
1
T
s
而得到。
图
略。
5.5题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的
时域波形如何？
以图解法说明。
x（t）
-50050t/ms
题图5.5
解：
三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。
由此可知，脉宽为幅度为E的三角形脉冲其频谱为
E
2
Sa（
4
）
2
。
其波形如图所示。
X（j）E
2
4
848
0
三角函数的频谱
在x（t）中，100ms0.1s易求得x（t）的频谱为：
2
X（j）0.05ESa（0.025）
4
在kk40（k）处，X（j）为零，图略。
为整数
由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：
X
1
s（j）Xjn
T
n
s
s
11
其中s
Ts0.05
f20Hz
s
，s2fs40rad/s。
抽样后的频谱是将三角形
频谱以s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
1
T
s
，可见发生了频谱混叠现象。
5.6若连续信号f（t）的频谱F（）是带状的（1～2），利用卷积定理说明当221时，
最低抽样频率只要等于2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
证明：
由频域卷积定理的抽样信号的频谱为
1
Fs（）F（）T
2
（）
1
2
[F（）*
2
T
s
n
（w
n
s
）]
1
T
s
n
Fn
s
抽样后的频谱是以抽样频率
s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
1
T
s
。
由于频谱
F（）是带状的且221，所以当s2时频谱不会混叠。
5.7如题图5.7所示的系统。
求：
（1）求冲激响应函数h（t）与系统函数H（s）；
（2）求系统频率响应函数H（），幅频特性H（）和相频特性（），并画出幅频和
相频特性曲线；
（3）激励f（t）u（t）u（tT），求零状态响应y（t），画出其波形；
（4）激励fs（t）f（nT）（tnT），其中T为奈奎斯特抽样间隔，f（nT）为点上
n0
f（t）的值，求响应y（t）。
f（t）+
y（t）
-
延迟T题图5.7
解：
（1）由图可知ytftftT*ut
Ts
1e
两边求拉氏变换可得YsFs
s
Ts
1e
所以Hs
s
（2）图略
Ts
1e
（3）f（t）的拉氏变换为
Fs
s
2
Ts
1e
零状态响应得拉氏变换为
YsHsFs
2
s
求拉氏反变换可得ytut2tTutTt2Tut2T
Ts
1e
（4）由Hs
可得h（t）ututTs
而ytfthtfnTtnTututT
s**
ss
n0
f
nTu
s
tnTu
s
t
nT
s
T
n0
奔波在俗世里，不知从何时起，飘来一股清流，逼着每个人优秀。
人过四十，已然不惑。
我们听过别人的歌，也唱过自己的曲，但谁也逃不过岁月的审视，逃不过现实的残酷。
如若，把心中的杂念抛开，苟且的日子里，其实也能无比诗意。
借一些时光，寻一处宁静，听听花开，看看花落，翻一本爱读的书，悟一段哲人的赠言，原来，日升月落，一切还是那么美。
洗不净的浮沉，留给雨天；悟不透的凡事，交给时间。
很多时候，人生的遗憾，不是因为没有实现，而是沉于悲伤，错过了打开心结的时机。
有人说工作忙、应酬多，哪有那么多的闲情逸致啊？
记得鲁迅有句话：
“时间就像海绵里的水，只要挤总是有的。
”
不明花语，却逢花季。
一路行走，在渐行渐远的时光中，命运会给你一次次洗牌，但玩牌的始终是你自己。
坦白的说，我们遇到困扰，经常会放大自己的苦，虐待自己，然后落个遍体鳞伤，可怜兮兮地向世界宣告：
自己没救了！
可是，那又怎样？
因为，大多数人关心的都是自己。
一个人在成年后，最畅快的事，莫过于经过一番努力后，重新认识自己，改变自己。
学会了独自、沉默，不轻易诉说。
因为，更多的时候，诉说毫无意义。
伤心也好，开心也好，过去了，都是曾经。
每个人都要追寻活下去的理由，心怀美好，期待美好，这个世界，就没有那么糟糕。
或许，你也会有这样的情节，两个人坐在一起，杂乱无章的聊天，突然你感到无聊，你渴望安静，你想一个人咀嚼内心的悲与喜。
透过窗格，发着呆，走着神，搜索不到要附和的词。
那一刻，你明白了，这世间不缺一起品茗的人，缺的是一个与你同步的灵魂。
没有了期望的懂，还是把故事留给自己吧！
每个人都是一座孤岛，颠沛流离，浪迹天涯。
有时候，你以为找到了知己，其实，你们根本就是两个世界的人。
花，只有在凋零的时候，才懂得永恒就是在落红中重生；人，只有在落魄的时候，才明白力量就是在破土中崛起？
.
因为防备，因为经历，我们学会了掩饰，掩饰自己内心的某些真实，也在真实中，扬起无懈可击的微笑，解决一个又一个的困扰。
人生最容易犯的一个错误，就是把逝去的当作最美的风景。
所以，不要活在虚妄的世界，不要对曾经存在假设，不要指望别人太多。
有些情，只可随缘，不可勉强；有些人，只可浅交，不可入深；有些话，只可会意，不可说穿。
或许，有这么一段情，陪你度过漫长冰冷的寒冬；有那样一个人，给你抑郁的天空画上了温暖的春阳。
但时光，总会吹散很多往事，把过去一片片分割，移植到不同区域，并贴上标签，印着不同的定义，也定义着自己的人生态度。
正如庄子所说：
“唯至人乃能游于世不避，顺人而不失己。
”外在的世界，只是一个形式，而你内在的世界，才是真正的江山。
丰富自己，取悦自己，随缘，随顺，随境，你的心才会敞开，才会接纳更多的有可能。
这样的人生，眼睛里的笑意，尽是踏实与真味。
年少时，那些说给蓝天白云的梦想，早已遗忘在风中，再也飞不到岁月的枝头。
褪去稚气与懵懂，我更喜欢现在的自己，心里撑着宽阔，却不动声色。
即便，一份静谧的从容是多么的难，但我依旧期待。
我相信，人生还会很长，还会一直邂逅，但最美的，必是那个明天的自己。
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