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1、信号与系统第5章习题答案第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1Fs()F()T2()1TsnFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T()为单位冲激序列T(t)的频谱。可知抽样后信号的频谱()F由F()以s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果ss2，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果s2m，即抽样m间隔1Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。因此必须要求满足1Tsf2m，f(t

2、)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t（1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t（3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔Ts12f称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs2fm称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s2称为奈奎斯特频率。m（1）Sa(tu(50)u(50)，由此知m50rad/s，则50)5025f，m由抽样定理得：最低抽样频率50fs2fm，奈奎斯特间隔1T。sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最

3、低抽样频率m200fs2fm，奈奎斯特间隔1T。sf200s（3）Sa(50)(50)，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)u(100)u(100),该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100fs2fm，奈奎斯特间隔1T。sf100s（4）Sa(100t)u(100)u(100),该信号频谱的m1001002tSa(60)(1)，该信号频谱的m120rad/s601202t所以(100)(60)SatSa频谱的m120rad/s,则60f，由抽样定理得最m低抽样频率120f

4、s2fm，奈奎斯特间隔1T。sf120s5.3系统如题图5.3所示，f1(t)Sa(1000t)，f2(t)Sa(2000t)，p(t)(tnT)，f(t)f1(t)f2(t)，fs(t)f(t)p(t)。n（1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。（2）当TTmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs()。f1(tf(t)时域相乘时域抽样fs(t)f2(tp(t)题图5.3解：（1）先求f(t)的频谱F(j)。1f1(t)Sa(1000t)F1(j)u(1000)u(10001000)1f2(t)Sa(2000t)F2(j)u(2000)u(20002000)F(j)12

5、F(j1)F(j2)121(u(10001000)u(1000)12000(u(2000)u(2000)14610(3000)u(3000)u(1000)2000u(1000)u(1000)(3000)u(1000)u(3000)由此知F(j)的频谱宽度为6000，且radsm3000/，则fm1500Hz，抽样11的最大允许间隔sTmax2fm3000（2）p(t)(tnT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输n入信号f(t)的频谱密度为F()，而单位冲激序列的频谱密度为：2p()(n)其中sTns2T则根据频域卷积定理得抽样信号f(t)s的频谱为：11Fs()F()*

6、p()F(n)s2Tn2而TTmax，则s300026000rad/sTmax，幅度谱如下图所表示。t5.4对信号f(t)eu(t)进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。解：由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：F(j)11j其幅度频谱和相位频谱分别为1F(j)21()arctan单边非因果指数函数的波形f(t)、幅度谱F(j)、相位谱()如下图所示，其中a1。()单边指数信号的波形和频谱显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的1Ts而得到。图略。5.5题图5.5所示

7、的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的时域波形如何？以图解法说明。x(t)-50050t/ms题图5.5解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为幅度为E的三角形脉冲其频谱为E2Sa(4)2。其波形如图所示。X(j)E248480三角函数的频谱在x(t)中，100ms0.1s易求得x(t)的频谱为：2X(j)0.05ESa(0.025)4在kk40(k)处，X(j)为零，图略。为整数由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：X1s(j)XjnTnss11其中sTs0.05f20Hzs，s2fs40rad/s。抽样后的频

8、谱是将三角形频谱以s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的1Ts，可见发生了频谱混叠现象。5.6若连续信号f(t)的频谱F()是带状的(12)，利用卷积定理说明当221时，最低抽样频率只要等于2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为1Fs()F()T2()12F()*2Tsn(wns)1TsnFns抽样后的频谱是以抽样频率s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的1Ts。由于频谱F()是带状的且221，所以当s2时频谱不会混叠。5.7如题图5.7所示的系统。求：（1）求冲激响应函数h(t)与系统函数H(s)；（2）求系统频率响应函数H()，幅频特性H()和相频特性()

9、，并画出幅频和相频特性曲线；（3）激励f(t)u(t)u(tT)，求零状态响应y(t)，画出其波形；（4）激励fs(t)f(nT)(tnT)，其中T为奈奎斯特抽样间隔，f(nT)为点上n0f(t)的值，求响应y(t)。f(t)+y(t)-延迟T题图5.7解：（1）由图可知ytftftT*utTs1e两边求拉氏变换可得YsFssTs1e所以Hss（2）图略Ts1e（3）f(t)的拉氏变换为Fss2Ts1e零状态响应得拉氏变换为YsHsFs2s求拉氏反变换可得ytut2tTutTt2Tut2TTs1e（4）由Hs可得h(t)ututTs而ytfthtfnTtnTututTs*ssn0fnTustn

10、TustnTsTn0奔波在俗世里，不知从何时起，飘来一股清流，逼着每个人优秀。人过四十，已然不惑。我们听过别人的歌，也唱过自己的曲，但谁也逃不过岁月的审视，逃不过现实的残酷。如若，把心中的杂念抛开，苟且的日子里，其实也能无比诗意。借一些时光，寻一处宁静，听听花开，看看花落，翻一本爱读的书，悟一段哲人的赠言，原来，日升月落，一切还是那么美。洗不净的浮沉，留给雨天；悟不透的凡事，交给时间。很多时候，人生的遗憾，不是因为没有实现，而是沉于悲伤，错过了打开心结的时机。有人说工作忙、应酬多，哪有那么多的闲情逸致啊？记得鲁迅有句话：“时间就像海绵里的水，只要挤总是有的。”不明花语，却逢花季。一路行走，在渐

11、行渐远的时光中，命运会给你一次次洗牌，但玩牌的始终是你自己。坦白的说，我们遇到困扰，经常会放大自己的苦，虐待自己，然后落个遍体鳞伤，可怜兮兮地向世界宣告：自己没救了！可是，那又怎样？因为，大多数人关心的都是自己。一个人在成年后，最畅快的事，莫过于经过一番努力后，重新认识自己，改变自己。学会了独自、沉默，不轻易诉说。因为，更多的时候，诉说毫无意义。伤心也好，开心也好，过去了，都是曾经。每个人都要追寻活下去的理由，心怀美好，期待美好，这个世界，就没有那么糟糕。或许，你也会有这样的情节，两个人坐在一起，杂乱无章的聊天，突然你感到无聊，你渴望安静，你想一个人咀嚼内心的悲与喜。透过窗格，发着呆，走着神，

12、搜索不到要附和的词。那一刻，你明白了，这世间不缺一起品茗的人，缺的是一个与你同步的灵魂。没有了期望的懂，还是把故事留给自己吧！每个人都是一座孤岛，颠沛流离，浪迹天涯。有时候，你以为找到了知己，其实，你们根本就是两个世界的人。花，只有在凋零的时候，才懂得永恒就是在落红中重生；人，只有在落魄的时候，才明白力量就是在破土中崛起？.因为防备，因为经历，我们学会了掩饰，掩饰自己内心的某些真实，也在真实中，扬起无懈可击的微笑，解决一个又一个的困扰。人生最容易犯的一个错误，就是把逝去的当作最美的风景。所以，不要活在虚妄的世界，不要对曾经存在假设，不要指望别人太多。有些情，只可随缘，不可勉强；有些人，只可浅交

13、，不可入深；有些话，只可会意，不可说穿。或许，有这么一段情，陪你度过漫长冰冷的寒冬；有那样一个人，给你抑郁的天空画上了温暖的春阳。但时光，总会吹散很多往事，把过去一片片分割，移植到不同区域，并贴上标签，印着不同的定义，也定义着自己的人生态度。正如庄子所说：“唯至人乃能游于世不避，顺人而不失己。”外在的世界，只是一个形式，而你内在的世界，才是真正的江山。丰富自己，取悦自己，随缘，随顺，随境，你的心才会敞开，才会接纳更多的有可能。这样的人生，眼睛里的笑意，尽是踏实与真味。年少时，那些说给蓝天白云的梦想，早已遗忘在风中，再也飞不到岁月的枝头。褪去稚气与懵懂，我更喜欢现在的自己，心里撑着宽阔，却不动声色。即便，一份静谧的从容是多么的难，但我依旧期待。我相信，人生还会很长，还会一直邂逅，但最美的，必是那个明天的自己。