版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4152.docx

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版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4152

　任意角

学习目标　.了解角的概念.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.

知识点一　角的相关概念

思考　用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？

答案　角的构成要素有始边、顶点、终边.

思考　将射线绕着点旋转到位置，有几种旋转方向？

答案　有顺时针和逆时针两种旋转方向.

思考　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

答案　不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.

梳理　

（）角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.点是角的顶点，射线，分别是角α的始边和终边.

（）按照角的旋转方向，分为如下三类：

类型

定义

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

知识点二　象限角

思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置？

答案　终边可能落在坐标轴上或四个象限内.

梳理　在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.

象限角：

终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：

终边落在坐标轴上的角.

知识点三　终边相同的角

思考　假设°的终边是，那么－°，°的终边与°的终边有什么关系，它们与°分别相差多少？

答案　它们的终边相同.－°＝°－×°，°＝°＋°，故它们与°分别相差了－个周角及个周角.

思考　如何表示与°终边相同的角？

答案　°＋·°（∈）.

梳理　终边相同角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}，

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

类型一　任意角概念的理解

例　（）给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③第二象限角是钝角；

④小于°的角是钝角、直角或锐角.

其中正确说法的序号为.（把正确说法的序号都写上）

（）将时钟拨快分钟，则分针转过的度数是.

答案　（）①　（）－°

解析　（）锐角指大于°小于°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于°的角还有负角、零角，所以②③④错误.

（）分针每分钟转°，由于顺时针旋转，所以分钟转了－°.

反思与感悟　解决此类问题要正确理解锐角、钝角、°～°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.

跟踪训练　写出下列说法所表示的角.

（）顺时针拧螺丝圈；

（）将时钟拨慢小时分，分针转过的角.

解　（）顺时针拧螺丝圈，螺丝顺时针旋转了周，因此所表示的角为－°.

（）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢小时分，分针转过的角为°.

类型二　象限角的判定

例　在°～°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

（）－°；（）°；（）－°′.

解　（）因为－°＝－°＋°，所以在°～°范围内，与－°角终边相同的角是°角，它是第三象限角.

（）因为°＝°＋°，所以在°～°范围内，与°角终边相同的角是°角，它是第四象限角.

（）因为－°′＝－×°＋°′，所以在°～°范围内，与－°′角终边相同的角是°′角，它是第二象限角.

引申探究

确定（∈*）的终边所在的象限.

解　一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这个区域依次标上，，，，…，，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.

反思与感悟　判断象限角的步骤：

（）当°≤α<°时，直接写出结果；

（）当α<°或α≥°时，将α化为·°＋β（∈，°≤β<°），转化为判断角β所属的象限.

跟踪训练　下列各角分别是第几象限角？

请写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式－°≤β<°的元素β写出来.

（）°；（）－°.

解　（）°角是第一象限角，所有与°角终边相同的角的集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，中适合－°≤β<°的元素是°＋（－）×°＝－°，°＋×°＝°，°＋×°＝°.

（）－°角是第四象限角，所有与－°角终边相同的角的集合＝{ββ＝－°＋·°，∈}，中适合－°≤β<°的元素是－°＋×°＝－°，－°＋×°＝°，－°＋×°＝°.

类型三　终边相同的角

命题角度　求与已知角终边相同的角

例　在与角°终边相同的角中，求满足下列条件的角.

（）最大的负角；（）最小的正角；（）[°，°）的角.

解　与°终边相同的角的一般形式为β＝·°＋°（∈），

（）由－°＜·°＋°＜°，得－°＜·°＜－°，解得＝－，故所求的最大负角为β＝－°.

（）由°＜·°＋°＜°，得－°＜·°＜－°，解得＝－，故所求的最小正角为β＝°.

（）由°≤·°＋°＜°，得－°≤·°＜－°，解得＝－，故所求的角为β＝°.

反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值.

跟踪训练　写出与α＝－°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－°≤β＜°的元素β写出来.

解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－°终边相同的角的集合为{ββ＝·°－°，∈}.

∵－°≤β＜°，

即－°≤·°－°＜°（∈），

∴≤＜（∈），故取＝，，.

当＝时，β＝×°－°＝－°；

当＝时，β＝×°－°＝－°；

当＝时，β＝×°－°＝°.

命题角度　求终边在给定直线上的角的集合

例　写出终边在直线＝－上的角的集合.

解　终边在＝－（<）上的角的集合是＝{αα＝°＋·°，∈}；

终边在＝－（≥）上的角的集合是＝{αα＝°＋·°，∈}.

因此，终边在直线＝－上的角的集合是＝∪＝{αα＝°＋·°，∈}∪{αα＝°＋·°，∈}，

即＝{αα＝°＋·°，∈}∪{αα＝°＋（＋）·°，∈}＝{αα＝°＋·°，∈}.

故终边在直线＝－上的角的集合是＝{αα＝°＋·°，∈}.

反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分≥和<两种情况讨论，最后再进行合并.

跟踪训练　写出终边在直线＝上的角的集合.

解　终边在＝（≥）上的角的集合是＝{αα＝°＋·°，∈}；

终边在＝（<）上的角的集合是＝{αα＝°＋·°，∈}.

因此，终边在直线＝上的角的集合是＝∪＝{αα＝°＋·°，∈}∪{αα＝°＋·°，∈}，

即＝{αα＝°＋·°，∈}∪{αα＝°＋（＋）·°，∈}＝{αα＝°＋·°，∈}.

故终边在直线＝上的角的集合是＝{αα＝°＋·°，∈}.

类型四　区域角的表示

例　如图所示.

（）写出终边落在射线，上的角的集合；

（）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

解　（）终边落在射线上的角的集合是{αα＝·°＋°，∈}.

终边落在射线上的角的集合是{αα＝·°＋°，∈}.

（）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α·°＋°≤α≤·°＋°，∈}.

反思与感悟　解答此类题目应先在°～°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.

跟踪训练　如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.

解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.

①{α·°＋°≤α<·°＋°，∈}.

②{α·°＋°≤α<·°＋°，∈}.

∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即

＝{α·°＋°≤α<·°＋°，∈}

∪{α·°＋°≤α<·°＋°，∈}

＝{α·°＋°≤α<·°＋°，∈}

∪{α（＋）°＋°≤α<（＋）°＋°，∈}

＝{α·°＋°≤α<·°＋°或（＋）·°＋°≤α<（＋）°＋°，∈}

＝{α·°＋°≤α<·°＋°，∈}.

.下列说法正确的是（　　）

.终边相同的角一定相等

.钝角一定是第二象限角

.第一象限角一定不是负角

.小于°的角都是锐角

答案　

.与－°角终边相同的角的集合是（　　）

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°＋°，∈}

.{αα＝·°－°，∈}

答案　

解析　－°＝－×°＋°，故选.

°是第象限角.

答案　三

解析　因为°＝×°＋°，故°是第三象限角.

.与－°终边相同的最大负角是.

答案　－°

解析　∵－°＝－×°－°，

∴与－°终边相同的最大负角为－°.

.写出终边落在坐标轴上的角的集合.

解　终边落在轴上的角的集合：

＝{ββ＝·°，∈}；

终边落在轴上的角的集合：

＝{ββ＝·°＋°，∈}.

∴终边落在坐标轴上的角的集合：

＝∪＝{ββ＝·°，∈}∪{ββ＝·°＋°，∈}

＝{ββ＝·°或β＝（＋）·°，∈}＝{ββ＝·°，∈}.

.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.

.关于终边相同的角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

注意：

（）α为任意角；

（）·°与α之间是“＋”号，·°－α可理解为·°＋（－α）；

（）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差°的整数倍；

（）∈这一条件不能少.

课时作业

一、选择题

.把－°化成·°＋α（°≤α＜°，∈）的形式是（　　）

°－×°°－×°

.－°－×°.－°－×°

答案　

解析　可以估算－°介于－×°与－×°之间.

∵°≤α＜°，∴＝－，则α＝°.

.若α是第四象限角，则°－α是（　　）

.第一象限角.第二象限角

.第三象限角.第四象限角

答案　

解析　可以给α赋一特殊值－°，

则°－α＝°，故°－α是第三象限角.

.设＝{θθ为锐角}，＝{θθ为小于°的角}，＝{θθ为第一象限的角}，＝{θθ为小于°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

＝＝

＝＝

答案　

解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.

.时针走过了小时分，则分针转过的角度是（　　）

°.－°

°.－°

答案　

解析　分针转过的角是负角，且分针每转一周是－°，故共转了－°×（＋）＝－°.

.若α与β的终边关于轴对称，则α可以用β表示为（　　）

π＋β（∈）π－β（∈）

π＋β（∈）π－β（∈）

答案　

解析　∵α与β的终边关于轴对称，

∴α＋β＝π（∈），

∴α＝π－β（∈）.故选.

.设集合＝{αα＝°＋·°，∈}∪{αα＝°＋·°，∈}，集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，则（　　）

∩＝∅

＝

答案　

解析　对于集合，

α＝°＋·°＝°＋·°

或α＝°＋·°＝°＋°＋·°

＝°＋（＋）·°.

∵∈，

∴表示所有的偶数，＋表示所有的奇数，

∴集合＝{αα＝°＋·°，∈}，

又集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，

∴＝.故选.

二、填空题

.已知角α＝－°，则与α终边相同的最小正角是.

答案　°

解析　与α＝－°终边相同的角的集合为

{θθ＝－°＋·°，∈}，

令－°＋·°>°，解得>，

故当＝时，θ＝°满足条件.

.如图，终边落在的位置上的角的集合是；终边落在的位置上，且在－°～°