垂线习题含答案.docx
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垂线习题含答案
2019年4月16日初中数学作业
学校:
:
班级：
考号：
一、单选题
1•如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后
脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B,然后记录AB的长度，这样做的理由是（）
A•过一点可以作无数条直线B.垂线段最短
C.过两点有且只有一条直线D.两点之间线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质：
垂线段最短进行解答即可.
【详解】
解：
这样做的理由是根据垂线段最短.
故选：
B•
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理.
2•下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为/1=Z2,所以/1与/2是对顶角；
③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做
点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等•其中正确的个数为（）
A•1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即
可•
【详解】
解：
一个角的余角一定是锐角，所以①正确；
相等的角不一定是对顶角，所以②错误；
过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误.
故本题答案应为：
A•
【点睛】
本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练
掌握数学基础知识是解题的关键•
【分析】先由垂直的定义得到/AOE=/BOE=90，则/DOE+/BOD=90，再根据对顶角相等得到/BOD=/AOC，所以/DOE+/AOC=90，然后根据互余的定义进行判断.
【详解】
解：
•••OE丄AB,
•••/AOE=/BOE=90,
•••/DOE+/BOD=90,
•••/BOD=/AOC,
•••/DOE+/AOC=90,
即/DOE与/COA互余.
故选：
C.
【点睛】
本题考查了垂线：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.也考查了对顶角和两角互余.
4.下列说确的是（）
C.射线AB的端点是A和BD.角的两边越长，角度越大
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本概念和公理，利用排除法求解.
【详解】
解：
A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；
B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；
C、射线AB的端点是A，故本选项错误；
D、角的角度与其两边的长无关，错误；
故选：
B.
【点睛】
本题考查了直线、射线和线段•相关概念：
直线：
是点在空间沿相同或相反方向运动的轨迹•向两个方向无限延伸•过两点有且只
有一条直线.
射线：
直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸.
5.如图，BD丄AC于点D,ECLAB于点E,AF丄BC点F,AF、BD、CE交于点0,则图
中能表示点A到直线0C的距离的线段长是（）
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答.
【详解】解：
点A到直线0C的距离的线段长是AE,
故选：
A.
【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念.
C.P,C两点之间的距离
6.如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若/1=60°/2=90°/3=120°
D.P,D两点之间的距离
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离的定义进行判断即可.
【详解】
•••/2=90°,
•••点P到直线
MN的距离是P,A两点之间的距离,
故选A.
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键.
【答案】A
O,OE丄AB于O,/EOC=35,则/AOD的度数为
D.35°
【解析】
【分析】
根据图形求得/COB=/COE+/BOE=125;然后由对顶角相等的性质，求/AOD的度
数.
【详解】
解：
•••EO丄AB,
又•••/COE=35,
•••/COB=/COE+/BOE=125.
•••/AOD=/COB（对顶角相等），
•••/AOD=125.
故选：
A.
【点睛】
本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点•本题也可以利用邻补角的定义先求得
/BOD=55，再由邻补角的定义求/AOD的度数.
8.下列说法中不正确的是U口
A.两点之间的所有连线中，线段最短
B.两点确定一条直线
C.小于平角的角可分为锐角和钝角两类
D.在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】
【分析】
利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选
项.
【详解】
解：
A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
B、两点确定一条直线，正确；
C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；
D、在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确
故选C.
【点睛】
本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类.
9.在同一平面，下列判断中错误的是（）
A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条
C.垂直于已知直线的垂线只有一条
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂线的定义和性质分析即可.
（1）过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已
知直线垂直；
（2）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
【详解】
A、B、D根据性质可知都是正确的，故不符合题意；
C中垂直于一直直线的垂线有无数条，本项错误，故符合题意;
故本题答案应为：
C
【点睛】本题考查了垂线的定义及性质，是基础题，熟记概念和性质是解题的关键
10.如图，直线a与b相交于点0,M0丄a,垂足为0,若/2=35°则/1的度数为（）
【答案】D
【解析】
【分析】根据平角和垂线的性质解答即可.
【详解】
•••/2=35「I,M0丄直线a,•••/1=180—9oLI-35_=55LI.
故选D.
【点睛】本题考查垂线，平角，熟练掌握垂线和平角的性质是解题的关键
11.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB丄CD）开始挖渠才能使水
渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）
C.两点确定一条直线D.垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂线段的性质：
垂线段最短进行解答.
【详解】
要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB丄CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短,这样做依据的几何学原理是：
垂线段最短，
故选：
D.
【点睛】
本题考查垂线段的性质：
垂线段最短.
12.如图，0M丄NP,ON丄NP，所以ON与0M重合，理由是（）
A•两点确定一条直线
B.经过一点有一条直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条直线
D.同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
利用在同一平面，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而得出答案即可.
【详解】
0M丄NP,ON丄NP,所以ON与0M重合，
理由是：
同一平面，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
故选D.
【点睛】
本题考查垂线，同一平面，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题
13.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC、OD,使OC丄OD,当/AOC=30o时,
ZBOD的度数是.°
【答案】60°或120°
【解析】
【分析】
此题可分两种情况，即OC,OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解.
【详解】
解：
①当OC、OD在AB的一旁时，
•/OCXOD,
\ZCOD=90,
•••ZAOC=30,
•/OCXOD,ZAOC=30,
•••ZAOD=60,
•••ZBOD=180-ZAOD=120.
故答案为：
60°或120°
【点睛】
此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析，理清图中的角之间的关系.
14.平面四条直线两两相交，最多有个交点.
【答案】6
【解析】
【分析】
画出符合条件的所有情况，即可得出答案.
【详解】四条直线两两相交有以下情况:
故答案为：
6.
【点睛】
本题考查了直线两两相交时交点的情况，关键是能画出符合的所有图形.
15•如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的
长度•
【答案】AP•
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断.
【详解】
解：
根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则，可得：
他的跳远成绩是线段AP的长度.
故答案为：
AP•
【点睛】
本题考查点到直线的距离，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定
义及跳远比赛的规则.
16•若/A与/B的两边分别垂直，则这两个角的等量关系为.
【答案】互补或相等
【解析】
【分析】
根据垂直的定义，作出草图即可判断.
【详解】
如图1，/A+/B=360-90°°2=180°,
如图2,由三角形外角的性质可得：
/1=/B+90。
=/A+90。
•••/A=/B.
【点睛】
考查了垂直的定义和角的比较，注意作出图形有助于题意的理解，更形象直观并且不容
易出错.
0,且AB丄CD,/1=30°则/2=
【分析】
根据题意由对顶角相等先求出/F0D，然后根据AB丄CD，/2与/F0D互为余角,求出即可
【详解】
•••CD、EF相交于点0
•••/F0D=/仁30°
•/AB丄CD
•••/2=90°/FOD=90°-30°=60°
故本题答案应为：
60°
【点睛】
对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键•
18•如图，直线AB,CD相交于点0,0E丄0F,0C平分/A0E,且/B0F=2/B0E,
则ZB0D=°.
【答案】75
【解析】
【分析】
首先根据0E丄OF,/BOF=2/BOE，求出/BOE=30;然后求出/AOE=150，再根
据OC平分/AOE，求出/AOC的度数；最后根据/BOD和/AOC互为对顶角，求出/BOD的度数即可.
【详解】
•/OE丄OF,
•••/EOF=90°,
•//BOF=2/BOE,
•••3/BOE=90°,
•••/BOE=90°-43=30°,
•••/AOE=180°-/BOE=180°-30°=150°
又•••OC平分/AOE,
•••/AOcJl/AOE士X150°=75°,
•••/BOD和/AOC互为对顶角，
•••/BOD=/AOC=75°.
故答案为：
75.
【点睛】
本题考查垂线，对顶角、角平分线，解题的关键是熟练掌握垂线,对顶角、角平分线
的性质•
三、解答题
【答案】118°
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到以必=山必=宅旳计,得至U+£匚。
卩=勺『1,根据已知条件
即可得到结论.
【详解】
解：
T_丄.；
•••山必==呱"|,
.•.汕0U+MS=血1
•.•"3UD-MOD二34*],
.•.饭"）=2诃，
.•.亡八0D=MUdCOD二11A.
【点睛】
本題考查了垂线以及角的计算，正确把握垂线的定义是解题关键^
20.如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上.
—过点C画线段AB的平行线CD;
—过点A画线段BC的垂线，垂足为E;
—过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F;
国线段AE的长度是点到直线的距离；
⑤线段AE、BF、AF的大小关系是Q用1叵1”连接M
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【答案】
（1）见解析
（2）见解析（3）见解析（4）线段AE的长度是点A到直线BC的距离（5）A，BC，^E【解析】
【分析】
L利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；
—利用垂线段的性质直接回答即可；
—利用垂线段最短比较两条线段的大小即可.
【详解】
—直线CD即为所求;
2］直线AE即为所求;
—直线AF即为所求;
故答案为：
A，BC,
【点睛】
解题的关键是理解有关垂线段的性质及能
考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识,进行简单的基本作图.
21.画图题：
（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C,不用量角器与三角尺，仅用直尺画线段AB的垂线CD和平行线CE（其中D、E为格点）.
（2）连接AC和BC,若图中每个最小正方形的边长为1,试求三角形ABC的面积是
【答案】
（1）见解析；
（2）4.
【解析】
【分析】
（1）过点C作3X1的矩形的对角线所在的直线，可得AB的垂线和平行线;
（2）设小方格的边长为1禾U用三角形的面积求解即可.
【详解】
解：
（1）如图所示，直线CD和CE即为所求；
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（2）如图，连接AC和BC,
设小方格的边长为1,则三角形ABC的面积=3X3电X1X30X2X2出X1X3=4.
故答案为：
4.
【点睛】
本题主要考查了基本作图，割补法求图形的面积等知识•解题的关键是利用方格纸的特
点正确的作出图形.
22.（认识概念）点P、Q分别是两个图形G1、G2上的任意一点，当P、Q两点之间的距离最小时，我们把这个最小距离叫作图形G1、G2的亲密距离，记为d（G1,G2）.例如，如果点M、N分别是两条相交直线a、b上的任意一点，贝Ud（a,b）=0
（初步运用）如图1,长方形四个顶点分别是点A、B、C、D,边AB=CD=5,AD=BC
=3.那么d（AB,CD）,d（AD,BC）,d（AD,AB）各等于多少.
（深入探究）
（1）在图1中，如果将线段CD沿它所在直线平移（边AB不动），且使d
（CD,AB）不变，那么线段CD的中点偏离它原来位置的最大距离为多少；
（2）如图2,线段AB//直线CD,AB=1，点A到CD的距离为3，将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB,则d（AB,CD）等于多少.
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【答案】【初步运用】d（AB,CD）=3,d（AD,BC）=5,d（AD,AB）=0;【深入
探究】
（1）CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：
5;
（2）d（AB',CD）=2或3,
【解析】
【分析】
［初步运用］根据图形Gi、G2的亲密距离的定义可得结论；
［深入探究］
（1）在图1中，注意线段CD平移的最远距离，可得结论；
（2）如图2,要分情况讨论，可以顺时针和逆时针旋转，根据亲密距离的定义解决问
题.
【详解】
解：
［初步运用］
如图1，•/AB与CD的距离为AD=3，
•••d（AB，CD）=3，
•••AD和BC的距离为5，
d（AD，BC）=5，
•••AD和AB交于点B，
d（AD，AB）=0，
［深入探究］
（1）如图所示：
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CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：
5;
（2）将线段AB绕点A旋转90°后的对应线段为AB'或AB''，如图2,延长AB”交CD
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AB=AB'=AB''=1,
•/AE=3,
.B”E=2,
则d（AB',CD）=2或3.
【点睛】
本题考查了学生的理解能力和创新能力，题过介绍“亲密距离”来引出学生对动态图象
最小距离的识别，这是新课标要求我们掌握的技能•在深度理解亲密距离定义、特点后难度并不高，并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程，是一道非常
值得学生锻炼的题目.
23.如图，已知直线AB以及直线AB外一点P.按下述要求画图并填空：
（1）过点P画直线MN//AB;
（2）过点P画直线PC丄AB，垂足为点；
【答案】
（1）如图，直线MN为所作；见解析；
（2）如图，PC为所作；见解析；（3）量得点P到直线AB的距离约是4.3cm.
【解析】
【分析】
（1）禾U用网格特点，过P点作小正方形的对角线得到MN//AB；
（2）禾悯网格特点，过P点作小正方形的对角线得到PC丄AB；
（3）用刻度尺测量PC的长即可.
【详解】
解：
（1）如图，直线MN为所作；
（2）如图，PC为所作；
（3）量得点P到直线AB的距离约是4.3cm（精确到0.1cm）.
【点睛】
45°角是关键.
本题考查了作图-基本作图：
熟练正方形网格的性质对角线与变成
24.如图，三角形ABC是钝角三角形，用三角尺按下列要求画图;
（1）画出过点A到线段BC所在直线的垂线段AE；
（2）画出表示点B到直线AC的距离的线段BF.
【解析】
【分析】
（1）
A，即可画出垂线段
把三角板的一条直角边与BC对齐，使另一条直角边经过点
AE；
（2）先延长CA,然后用三角板的两条直角边画图即可.
【详解】
【点睛】
本题考查了垂线段的画法•在解答此题时，用到的作图工具是三角尺，正确掌握基本作图的作法是作图的关键•同时考查了点到直线的距离的定义.
25.如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，A、B、C都在格点上，禾U用网格画
图：
（注：
所画线条用黑色签字笔描黑）
（1）过点C画AB的平行线；
（2）过点B画AC的垂线，垂足为点G;过点B画AB的垂线，交AC的延长线于H.
（3）点B到AC的距离是线段的长度，线段AB的长度是点到直线
的距离.
（4）线段BGAB的大小关系为：
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【答案】
（1）如图见解析；
（2）如图见解析；（3）BG、A、BH；（4）v，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【解析】
【分析】
（1）利用网格进而得出过点C画AB的平行线；
（2）利用网格得出过点B画AC的垂线，以及画AB的垂线，交AC的延长线于H；
（3）利用点的直线以及线段的距离定义得出答案；
（4）利用点到直线的距离性质得出答案.
【详解】
（1）如图所示：
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（2）如图所示：
（3）点B到AC的距离是线段BG的长度，线段AB的长度是点A到直线BH的距离.
故答案为：
BG、A、BH；
（4）线段BG、AB的大小关系为：
BGvAB,
理由是：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（填垂线段最短也算对）.
故答案为：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（填垂线段最短也
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