整理经典数学笔记.docx
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整理经典数学笔记
高等数学
3.柯西收敛准则：
数列{xn}收敛的充要条件是：
对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当m，n>N时，有|xm-xn|<ε。
1.3函数的极限性质：
极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1.夹逼法则：
若limf（x）=limh（x）=A，且存在x0的某一去心邻域
和差角公式和差化积公式
sin（a±b）=sinacosb±cosasinbsina+sinb=2sina+bcosa-b
x®x0
oo
x®x0
cos（a±b）=cosacosbb
22
a+ba-b
U（x0,d），使得"xÎU（x0,d），均有f（x）≤g（x）≤h（x），则limg（x）=A。
x®x0
sinasin
tg（a±b）=tga±tgb
sina-sinb=2cos
sin
22
2.单调收敛原理：
单调有界函数必收敛。
tgatgb
1×a+ba-b
3.柯西收敛准则：
函数f（x）收敛的充要条件是：
∀ε>0,∃>0,∀x’,x’’∈
o,
U（x0,d）
ctg（a±b）=ctga×ctgb
cosa+cosb=2cos
cos
22
ctgb±ctga
cosa-cosb=-2sina+bsina-b
22
有|f（x’）-f（x’’）|<ε。
4.海涅（Heine）归结原则：
limf（x）=A的充要条件是：
对于任何满足
1
积化和差公式倍角公式
sin2a=2sinacosa=
2tana
1+tan2a
x®x0
limxn=x0的数列{xn}，都有limf（xn）=A。
sinacosb=1[sin（a+b）+sin（a-b）]
2
cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a
1-tan2a
n®¥
n®¥
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个
cosasinb=1[sin（a+b）-sin（a-b）]
2
=cos2a-sin2a=
1+tan2a
2
收敛于该点的自变量x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f（xn）}却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f（xn）},{f（xn）}却具有不同的极限。
cosacosb=1[cos（a+b）+cos（a-b）]tg2a=
2
2tga
1-tg2a
ctg2a=ctga-1
2ctga
1.4无穷小与无穷大
1sin3a=3sina-4sin3a
sinasinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]
ì=0
2cos3a=4cos3a-3cosa
若lima（x）=l，当ï
时，则称x→x0时称α（x）是β（x）的
tg3a=
3tga-tg3a
1-3tg2a
x®x0b（x）
lí¹0
ï=1
î
半角公式
sina=±1-cosa
cosa=±1+cosa
ì高阶无穷小，记作a（x）=o（b（x））
ï
í同阶无穷小，记作a（x）=O（b（x））
î
2222
ï等阶无穷小，记作a（x）~b（x）
tga=±
1-cosa=1-cosa=
sina
常用等价无穷小
21+cosa
sina
1+cosa
sinxtanxarcsinxarctanxex-1ln（1+x）~x
ctga=±1+cosa=1+cosa=
sina
1
21-cosa
sina
1-cosa
1-cosx~
x2（1+x）a-1~axax-1~xlna
2
1f（0）x
2
V=SHV=1SHV=1H（S+
SS¢+S¢）
棱柱棱锥3
棱台3
若f（x=0）,f’（0）≠0,则òx
f（t）dt¢2
球的表面积：
4πR2球的体积：
4
3
第1章极限与连续
1.1集合、映射、函数
pR3
椭圆面积：
πab椭球的体积：
4
3
pabc
0
确定等价无穷小的方法：
1.洛必达法则，2.泰勒公式
1.5连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：
1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：
凡有上（下）界的非空数集必有有限的上（下）确界。
映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数
1.2数列的极限性质：
1.（唯一性）收敛数列的极限必唯一。
2.（有界性）收敛数列必为有界数列。
3.（子列不变性）若数列收敛于a，则其任何子列也收敛于a。
注1.一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。
闭区间上连续函数的性质：
有界性，最值性，介值性，零点存在定理。
1.6常见题型求极限的方法：
1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.
泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；
求极限limxn,就要将数列xn放大与缩小成：
zn≤xn≤yn.
n®¥
8.求递归数列的极限
注2.若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。
注3.性质3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：
若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。
4.（对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于a，则改变{xn}中的有限项所得到的新数列仍收敛于a。
（1）先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设limxn
n®¥
归方程an+1=f（an）取极限得A=f（A）,最后解出A即可。
=A,再对递
5.（保序性）若limx=a,limy=b，且aN时，有
（2）先设limxn=A，对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明
xn判别法则：
n®¥n
n®¥n
n®¥
liman=A。
n®¥
1.夹逼法则：
若∃N,当n>N时，xn≤yn≤zn，且limxn=limzn=a,则limyn=a。
第2章导数与微分
2.单调收敛原理：
单调有界数列必收敛。
注：
任何有界的数列必存在收敛的子数列。
n®+¥
n®+¥
n®+¥
2.1求导法则和求导公式求导法则：
1.四则运算法则
[αu（x）+βv（x）]’=αu’（x）+βv’（x）[u（x）v（x）]’=u’（x）v（x）+u（x）v’（x）
[u（x）]¢=u¢（x）v（x）-u（x）v¢（x）
第3章中值定理和泰勒公式
3.1中值定理
v（x）
2.复合函数求导
v2（x）
费马定理：
若是x0是f（x）的一个极值点，且f’（x0）存在，则必有f’（x0）=0（可微函数的极值点必为驻点），
1.罗尔定理：
若函数f（x）满足以下条件；（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在开区间
（f[j（x）]）¢=f¢[j（x）]j¢（x）
关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量
（a,b）内可导；（iii）f（a）=f（b），则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f’（ξ）=0.
2.拉格朗日定理：
若函数f（x）满足以下条件；（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在开
区间（a,b）内可导，则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
3.反函数求导
4.隐函数求导
5.参数式求导
[f-1（y）¢]=
1
f¢（x）
f（b）-f（a）=f¢（x）.
b-a
3.柯西定理：
若函数f（x）和g（x）满足以下条件；（i）在闭区间[a,b]上连续；（ii）在
开区间（a,b）内可导；（iii）∀x∈（a,b）,g’（x）≠0，则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
ìx=x（t）dyy¢（t）
d2yy¢¢（t）x¢（t）-y¢（t）x¢¢（t）
f（b）-f（a）=f¢（x）
í,=,=
îy=y（t）dxx¢（t）
6.对数求导法
7.分段函数求导
dx2
[x¢（t）]3
3.2泰勒公式
g（b）-g（a）
g¢（x）
（1）按求导法则求连接点处的左右导数
设ìg（x）,x-df（x）=,若g¢（x）=h¢（x）=A,则f¢（x）=A.
求泰勒公式的方法：
1.泰勒公式（拉格朗日余项）：
f（x）=
nf（k）（x）
0（x-x）+
f（n+1）（x）
（x-x）
íh（x）,x
+00
å
k=0
kn+1
k!
0（n+1）!
0
î0
2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）
（2）按定义求连接点处的左右导数
xx2
+（-1）n
ex=1+++
nxn+1
eqx
+x+
n!
设ìg（x）,x-dg（x）与f（x）在点x处无定义，
1!
2!
（n+1）!
352n-12n+1
f（x）=ï
A,x=x
0
x=x-x+x
+-1x
+-nxqx
í0可按定义求g¢（x）与h¢（x）
sin
3!
5!
（2n-1）!
（1）
cos
（2n+1）!
ïh（x）,x
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