完整版《实变函数》第四章可测函数.docx
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完整版《实变函数》第四章可测函数
第四章可测函数（总授课时数14学时）
由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue可测函数，并讨论其性质和结构.
§1可测函数及其性质
教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质
教学要点可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好
的运算封闭性.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.本节难点可测函数与简单函数的关系.
授课时数4学时
1可测函数定义
定义：
设f（x）是可测集E上的实函数（可取），若aR,E[fa]可测，则称f（x）
是E上的可测函数.
2可测函数的性质
性质1
零集上的任何函数都是可测函数。
注：
称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集
性质2
简单函数是可测函数
n
若EEi（Ei可测且两两不交），f（x）在每个Ei上取常值ci，则称f（x）是E上的
i1
简单函数；
n1xEif（x）i1ciEi（x）其中Ei（x）0xEEi
注：
Dirichlet函数是简单函数
性质3可测集E上的连续函数f（x）必为可测函数
设f（x）为E上有限实函数，称f（x）在x0E处连续
若0,
0,使得f（O（x0,）E）O（f（x0）,）
对比：
设f（x）为a,b上有限实函数，f（x）在x0（a,b）处连续若limf（x）f（x0）
xx0
即0,0,当|xx0|时，有|f（x）f（x0）|
即0,0,当xO（x0,）时，有f（x）O（f（x0）,）
即0,0,使得f（O（x0,））O（f（x0）,）
f（x）在x0[a,b]处连续（对闭区间端点则用左或右连续）
证明：
任取xEfa,则fxa,由连续性假设知，
对f（x）a,x0,使得
f（O（x,x）E）O（f（x）,）（a,）
即O（x,x）EE[fa].令GO（x,x）则G为开集，当然为可测集，
xE[fa]x
且另外
GE（xEO（x,x））ExE（O（x,x）E）E[fa]
xE[fa]xE[fa]
所以
E[fa]（xEO（x,x））EGE，
[fa]
故E[fa]GE为可测集
性质4R中的可测子集E上的单调函数f（x）必为可测函数。
证明：
不妨设f单调增，对任意a
R令Ia
inf{x|f（x）a}.由f单调增知下面
的集合为可测集
E
[Ia,
）
当Ia
{x|f（x）a}
E[fa]E
（Ia,
）
当Ia
{x|f（x）a}
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：
设f（x）是可测集E上的实函数，则f（x）在E上可测
（即
（1）aR,E［fa］可测）
（2）
a
R,E[f
a］可测
（3）
a
R,E[f
a］可测
（4）
a
R,E[f
a］可测
（5）a,bR,ab,E[afb]可测（充分性要求|f（x）|
证明：
利用
（1）与（4），
（2）与（3）互为余集，以及
⒋可测函数的性质
若f（x）是E上的可测函数
⑴可测函数关于子集、并集的性质
x在E上也是可测函数。
E1E,E1可测，则f（x）限制在E1上也是可测函数；
反之，若EEn,f（x）限制在En上是可测函数，则
n1
E1[fa]E[fa]E1
E[fa]n1En[fa]
注：
在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性即：
设f（x）g（x）a.e.（almosteverywhere）于E，f（x）在E上可测，
则g（x）在E上也可测
证明：
令E1Efg,E2Efg，则mE10，从而g（x）在E1上可测，
另外f（x）在E2上可测，从而g（x）在E2上也可测，进一步gx在EE1UE2上也可测.
注：
用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵可测函数类关于四则运算封闭
若f（x）,g（x）是E上的可测函数,则f（x）g（x）,f（x）g（x）,f（x）g（x）,
f（x）/g（x）仍为E上的可测函数.
证明：
只要证aR,EfgaEfag可测，任取xEfag，则fxagx
从而
r
Q,使f（x）r
a
g（x）,
即x
rQ
（E[fr]E[gar]）
从而
E[fag]
r
Q（E[f
r]
E[ga
r]），
反之
rQ（E[f
r]
E[ga
r]）
E[f
ag]
也成立，从而
[f
ag]rQ（E[fr]
E[g
ar]）可测
类似可证：
设
fx,gx是E上可
测函数，
则
E[f
g］为可测集.
若fx,gx
是
E上的可测函数,则
f
xg
x仍为E
上的可测函数.
证明：
首先f2
x
在E上可测，因为对
任
意a
R
E[f2a]
E
a
0
E[f
a]
E[f
a]
a0
再利用fxg
1
2
2
x
fxgx
f
x
gx
2即可
4
作业：
若fx,gx是E上的可测函数,则fxgx,fx/gx为E上的可测函数
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.
若fnx是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数.
limsupfn（x）infsup{fm（x）}nnmn
E[a]n1E[fna]E[a]n1E[fna]
推论：
可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
对上式的说明：
比较：
1n]n
E[fa]n1E[fa1]n1E[fan
1
例：
R1上的可微函数fx的导函数f'x是可测函数
证明：
由于
从而f'x是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f'x是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数
例设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集
limfn和limfn是可测函数即可n
可测函数与简单函数的关系
可测函数f（x）总可表示成一列简单函数的极限
f（x）是E上的可测函数,则f（x）总可表示成一列简单函数{n（x）}的极限
f（x）limn（x），而且还可办到|1（x）||2（x）|Ln
n（x）
2nxE[knfkn1]k0,1,2,L,n2n1
nxE[fn]
注：
当f（x）是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
作业：
P983,4,6
练习题
2已知“若f（x）在E上可测，则
aR1,E[fa]可测”，反之，若aR1,E[fa]可
测，能断定f（x）在E上可测吗？
3从函数f2（x）或f（x）可测能否推出f（x）在E上可测？
4由f（x）g（x）可否推出f（x）、g（x）都可测？
5能否断定“零集上任何函数均可测”？
§2叶果洛夫定理
教学目的1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）等概念，弄清它们之间的区别与联系.
2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明.
教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容.本节难点叶果洛夫定理的证明.
授课时数3学时
在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛.
例：
函数列fn（x）xn,n1,2,L在（0,1）上处处收敛到f（x）0,但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。
但去掉一小测度集合1,1,在留下的集合上一致收敛。
著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРО）В任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立.
引理：
设mE，fn，f在E上几乎处处有限且可测，若fnfa.e.于E，则
0,有Nlimm（nNE[|fnf|]）0
证明：
由于E*
从而有：
E[|f|]（E[|fn|]）为零测度集，故不妨令fn,f在E上处处有限，n1n
fa.e.于EmE[ff]0
m（k
1N1n
NE[|fnf|k1]）0
1
m（N1nNE[|fnf|k1]）
0
（
k1）
m（E[|fnf|]）
N1nNn
0
（
）
从而当mE时，0有
定理1（ЕгОРО）В设mE
，fn,f在E上几乎处处有限且可测，若f
nfa.e.于
E，则fn
fa.u.于E（即：
可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）
fa.e.于E，即mE[fnf]0即：
去掉某个零测度集，在留下的集合上处处
收敛
fa.u.于E
即：
去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
证明：
由引理知
0有Nlimm（nNE[|fn
f|]）
0，从而有
0,
0,
Nk0,m（nNkE[|f
f|k1]）
2k
E[|f
f|
1]），则e可测，ek]
E，
故k1，
me
即{fn（x）}在E
上一致收敛到
k1m（nNk
EeE
xE，有
|fn（x）
f（x）
E[|fn
f|
1]）
k
1（n
f（x）|
注：
叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE
E，则fnfa.e.于E
证明：
由条件知1,存在可测集En
n
E，
且fnx在En上一致收敛于f（x），
m（E
En）
当然fnx在En上点点收敛于fx，令
从而
m（EE）m（E
En）
1En
1
12k
E
[|fn
f|
k1]）
或mE
，则
0（n
，即：
若fnfa.u.于
），
m（EE）0另外显然fnx在EEn上点点收敛于f（x）
所以fnx在E上a.e.收敛于f（x）.
注:
叶果洛夫定理中条件mE不可少.
1x（0,n]
例fn（x）在R上处处收敛于f（x）=1,但fnx不几乎一致收敛于
n0x（n,）n
f（x）于R.
几乎一致收敛:
去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
|fn（x）f（x）|
不几乎一致收敛：
去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛
注：
叶果洛夫定理中的结论me不能加强到me0.
e仍然以1为聚点从而可找到Ee
即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fnx仍不一致收敛于fx.
说明：
去掉任意一个零测度集e，留下的集合0,1
|fn（xn）f（x）|（xn）n
从而Ee上fnx不一致收敛于f（x）.
作业：
P997
1叶果洛夫定理的条件“mE
练习题
是否可以取消？
f（x）”？
3叶果洛夫定理的逆定理是否成立？
§3可测函数的构造
教学目的本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节将证明重要的Lusin定理,它表明Lebesgue可测函数可以用性质较好连续函数逼近.这个结果在有些情况下
是很有用的.
本节要点一方面,L可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近.Lusin定理有两个等价形式.另外,作为准备定理Tietze扩张定理本身也是一个很有用的结果.
本节难点Lusin定理的证明.
授课时数3学时
可测集E上的连续函数定为可测函数，但可测函数不一定连续.本节讨论可测函数和连续函数之间的关系，从而揭示可测函数的结构.
我们已经知道可测函数Dirichlit函数在[0,1]上处处间断，这是否意味着这样的函数与连续不沾边呢？
否！
事实上，它是在充分接近于定义域的范围内相对连续的。
这就是著名的鲁津（луз）и定н理
鲁津（луз）и定н理：
设f（x）为E上几乎处处有限的可测函数，则
0,对每个Ei，作Ei中的闭子集Fi，使
m（EiFi）（i1,2,L,n）
n
当xEi时，f（x）ci，所以f（x）在Fi上连续，
n
而Fi为两两不交闭集，故f（x）在FFi上连续
i1显然F为闭集，且有
nnm（EF）m（EiFi）
i1i1n
（2）当f（x）为有界可测函数时，
存在简单函数列n（x）在E上一致收敛于f（x），利用
（1）的结果知
0,及每个n（x），存在闭集FnE，使
且n（x）在Fn上连续.
令FFn，则FE且
n1
连续函数类关于四则运算封闭）
注：
对f（x）在F连续的说明：
若f（x）在Fi上连续，而
证明：
任取xF
Fi为两两不交闭集，则f（x）在FFi上连续
i1
n
Fi则存在i0，使得xFi0，f（x）ci0，i1
又Fi为两两不交闭集，从而x在开集（Fi）c中ii0
所以存在0,使得
O（x,）（iiFi）c
ii0
从而
n
O（x,）FO（x,）（i1Fi）O（x,）Fi0
故对任意xO（x,）IF，有|f（x'）f（x）|0，故f连续
条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：
R上处处不连续
函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在
说明：
取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取xFi足够小的邻域不含其他Fi中的点.
注鲁津定理推论：
若f（x）为ER上几乎处处有限的可测函数，则
0,闭集FE，及R上的连续函数g（x）使得在F上g（x）f（x）且m（EF）（对n维空间也成立）
（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）
鲁津定理（限制定义域）（即：
去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）鲁津定理的第二形式：
若f（x）在E上的几乎处处有限的可测函数，则对0，存在闭
集FE及整个直线上的连续函数g（x）（F及g（x）依赖于）使在F上g（x）f（x），且m（EF）
证明略
其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一定是可测函数，证明留作习题。
可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示我们：
尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹公式计算积分仍为主渠道。
作业：
P998
练习题
m（EF）0，且f在F上连续.”？
2当mE时鲁津定理是否依然成立？
3鲁津定理的逆定理是否成立？
鲁津定理能否改为：
“f为E上几乎处处有限的可测函数，则0，存在闭集FE，使m（EF），且f在F上可表为多项式”？
4试作E[0,1]上的可测函数f（x），使对任何连续函数g（x）都有mE[fg]0，此结果与鲁津定理有无矛盾？
§4依测度收敛
教学目的可测函数列可以定义各种收敛性.本节讨论几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛.几种收敛性之间存在一些蕴涵关系.通过本节的学习,可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解.
教学要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egorov定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
本节难点依测度收敛的概念及各种收敛之间的关系.
授课时数4学时
改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。
对（R）积分
而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：
“fn（x）在E上一致收敛于
f（x）”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收敛”是一种思路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。
从集合论的角度讲：
“fn（x）在E上一致收敛于f（x）”是指0，N00，当
nN0时，E|fn（x）f（x）|，之所以我们认为“一致收敛”条件苛刻，就在于它要求E|fn（x）f（x）|从某项以后永远为空集。
能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足
mE|fn（x）f（x）|0（n）
呢？
这就导致了一个新的收敛概念的产生.
一、依测度收敛
1定义：
{fn（x）}是ERq上的一列a.e.有限的可测函数.若有E上a.e.有限的可测函
数f（x）满足下列关系：
对0,有limmE[|fnf|]0，则称函数列{fn（x）}依测度收敛于f（x）.度量收敛到
f（x），记为：
fnf.
（N）语言：
0,N（,）0,当nN（,）时，mE[|fnf|].
2．测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
定理1令mE，fnf于E，gng于E，则
（1）若又有fnh于E,则f（x）h（x）a.e.于E.
（2）fngnfg于E
（3）fngnfg于E
（4）|fn||f|于E
对（3）来说不可少
注：
（1）,
（2）,（4）当mE时,也成立；条件mE
3．依测度收敛与几乎处处收敛的关系
依测度收敛与处处收敛或几乎处处收敛的概念是有很大区别的
例1依测度收敛，但处处不收敛的函数列.
fn（x）f2ki（x）ii1（x）处处不收敛
2i（2k,2k]
但子列fnk（x）f2k1（x）1（x）处处收敛于f（x）0,
k21（0,2k]
例2不依测度测度收敛但收敛的函数列：
从而
于E，则fnf于E
二、函数列几种收敛之间的关系
先归纳一下几种收敛的定义.
1．函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛:
记作fnf于E
xE,0,Nx0,nNx,有|fn（x）f（x）|
⑵一致收敛:
0,N0,nN,xE,有|fn（x）f（x）|
注：
近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制.近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制
例：
函数列fn（x）xn,n1,2,L在（0,1）上处处收敛到f（x）0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合（1-δ,1）,在留下的集合上一致收敛
⑶几乎处处收敛:
记作fnfa.e.于E（almosteverywhere）即：
去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:
记作fnfa.u.于E（almostuniformly）
即：
去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛.
0,存在可测子集eE,me,使得fn在EEe上一致收敛于f
0,存在可测子集eE,me,0,N0,nN,xEe,有
|fn（x）f（x）|
（5）依测度收敛:
fnf于E
0,有lnimmE[|fnf|]0
2数列几种收敛之间的关系
作业：
P999，10，11，12
练习题
1勒贝格定理中的条件mE能否改为mE？
2在数学分析里，函数列的极限具有唯一性，那么对于fnfa.e.于E及fnf于E又无类似的结果？
3几乎处处有限的可测函数列{fn（x）}依测度收敛的充要条件是：
0,N（,）0,
当nN,mN时，mE[|fnfm|]
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