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1、完整版实变函数第四章可测函数第四章 可测函数 (总授课时数 14 学时)由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数 Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构 . 1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义 . 它是一类范围广泛的函数 , 并且有很好的运算封闭性 . 可测函数可以用简单函数逼近 , 这是可测函数的构造性特征 . 本节难点 可测函数与简单函数的关系 .授课时数 4学时1 可测函数定义定义：设 f(x) 是可测集 E上的实函数 (可取 )，若 a R,Ef a可测，则称 f (x)是 E 上的可测函数 .2

2、可测函数的性质性质 1零集上的任何函数都是可测函数。注： 称外测度为 0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质 2简单函数是可测函数n若 E Ei ( Ei可测且两两不交) ， f (x) 在每个 Ei 上取常值 ci ，则称 f (x)是 E上的i1简单函数；n 1 x Ei f(x) i 1ci Ei(x) 其中 Ei(x) 0 x E Ei注： Dirichlet 函数是简单函数性质 3 可测集 E上的连续函数 f (x) 必为可测函数设 f (x)为E上有限实函数，称 f(x)在 x0 E处连续若 0,0,使得f (O(x0, ) E) O(f(x0), )对比：设 f

3、(x) 为 a,b 上有限实函数， f(x)在x0 (a,b)处连续 若 lim f(x) f (x0 )x x0即 0, 0,当 |x x0 | 时，有 | f (x) f (x0) |即 0, 0,当x O(x0, )时，有 f (x) O( f (x0), )即 0, 0,使得f(O(x0, ) O(f(x0), )f(x)在 x0 a,b 处连续 (对闭区间端点则用左或右连续 )证明： 任取 x E f a , 则 f x a, 由连续性假设知，对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x, x) E) O(f (x), ) (a, )即O(x, x) E Ef a.令G O(x,

4、 x)则 G为开集，当然为可测集，x E f a x且另外G E (xE O(x, x) E x E (O(x, x) E) Ef ax E f a x E f a 所以Ef a (x E O(x, x) E G E ， f a 故 E f a G E 为可测集性质 4 R中的可测子集 E上的单调函数 f(x) 必为可测函数。证明： 不妨设 f 单调增，对任意 aR令 Iainf x| f(x) a. 由 f 单调增知下面的集合为可测集EIa,)当Iax| f(x) aE f a E(Ia,)当Iax| f(x) a可测函数的等价描述定义： 设 f （ x）是可测集 E上的实函数，则 f（x）

5、在 E上可测（即（1） a R,Ef a 可测）(2)aR,Efa可测(3)aR,Efa可测(4)aR,Efa可测(5) a,b R,a b,Ea f b可测(充分性要求 | f (x) |证明： 利用( 1)与( 4)，(2)与( 3)互为余集，以及 可测函数的性质若 f (x)是 E上的可测函数 可测函数关于子集、并集的性质x 在 E 上也是可测函数。E1 E,E1可测，则 f (x) 限制在 E1上也是可测函数；反之，若 E En , f (x) 限制在 En上是可测函数，则n1E1 f a E f a E1E f a n 1 En f a注： 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可

6、测性 即： 设 f(x) g(x) a.e. ( almost everywhere )于 E， f(x)在 E上可测，则 g(x) 在 E 上也可测证明：令E1 Ef g ,E2 Ef g ，则 mE1 0，从而 g (x)在E1上可测，另外 f (x)在E2上可测，从而 g(x)在 E2上也可测 ，进一步 g x 在E E1UE2上也 可测.注： 用到了可测函数关于子集、并集的性质 可测函数类关于四则运算封闭若 f (x),g(x)是 E上的可测函数 ,则 f (x) g(x), f (x) g(x), f(x) g(x),f(x)/g(x)仍为 E上的可测函数 .证明：只要证 a R,E

7、f g a Ef a g 可测，任取 x Ef a g ，则 f x a g x从而rQ,使 f(x) rag(x),即xrQ(E f r E g a r )从而E f a grQ(EfrEg ar)，反之r Q(E frEg ar)Efa g也成立，从而fa g r Q(E f rEga r )可测类似可证：设f x ,g x 是 E上可测函数，则Efg为可测集 .若 f x ,g x是E 上的可测函数 , 则fxgx 仍为 E上的可测函数 .证明： 首先 f 2x在 E 上可测，因为对任意aRE f 2 aEa0EfaEfaa0再利用 f x g122xf x g xfxgx2 即可4作业

8、： 若 f x ,g x 是 E 上的可测函数 , 则 f x g x , f x /g x 为 E 上的可 测函数可测函数类关于确界运算和极限运算封闭 .若 fn x 是 E上的可测函数 , 则下列函数仍为 E 上的可测函数 .limsup fn (x) inf sup fm(x) n n m nE a n 1Efn a E a n 1E fn a推论： 可测函数列的极限函数仍为可测函数(连续函数列的极限函数不一定为连续函 数)。对上式的说明：比较：1n nE f a n 1 E f a 1 n 1E f a n1例： R1 上的可微函数 f x 的导函数 f x 是可测函数证明： 由于从而

9、 f x 是一列连续函数(当然是可测函数)的极限，故 f x 是可测函数 . 利用了 可测函数列的极限函数仍为可测函数例 设 fn 是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集lim fn 和 lim f n是可测函数即可 n可测函数与简单函数的关系可测函数 f(x) 总可表示成一列简单函数的极限f (x)是E上的可测函数 ,则 f (x)总可表示成一列简单函数 n(x) 的极限f(x) lim n(x)，而且还可办到 | 1(x)| | 2(x) | L nn (x)2n x E kn f kn1 k 0,1,2,L ,n 2n 1n x Ef n注：当 f (x)是有界函数时，上述收

10、敛可做到一致收敛作业 ：P98 3, 4, 6练习题2 已知“若 f (x) 在E上可测，则a R1,E f a可测”，反之，若 a R1,E f a 可测，能断定 f (x) 在E上可测吗？3 从函数 f2(x)或 f(x) 可测能否推出 f(x)在E上可测？4 由 f (x) g(x)可否推出 f(x)、g(x)都可测？5 能否断定“零集上任何函数均可测”？ 2 叶果洛夫定理教学目的 1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”(由叶果洛夫定理结论引出) 等概念，弄清它们之间的区别与联系 .2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明 .教学要点 “几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定

11、理的内容 . 本节难点 叶果洛夫定理的证明 .授课时数 3学时在数学分析中， 我们已经知道， 即使函数列在每一点收敛， 也不能保证一致收敛， 因此， 对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛 .例：函数列 fn(x) xn,n 1,2,L 在(0,1) 上处处收敛到 f (x) 0 ,但不一致收敛，究 其原因是自变量越靠近 0 越收敛速度慢， 只有更慢没有最慢， 从而不可能一致收敛。 但去掉 一小测度集合 1 ,1 , 在留下的集合上一致收敛。 著名的俄国数学家叶果落夫( ) 任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立 .引理： 设mE ， fn， f 在E上几乎处处有限且可

12、测，若 fn f a.e.于 E，则0, 有 Nlim m(n N E|fn f| ) 0证明：由于 E*从而有：E|f| ( E|fn| )为零测度集，故不妨令 fn, f 在E上处处有限， n 1 nf a.e.于 E mE f f 0m(k1N 1nN E|fn f| k1 ) 01m(N 1n N E|fn f| k1 )0(k1)m( E| fn f| )N 1n N n0()从而当 mE 时， 0有定理1 ( ) 设mE，fn, f 在E上几乎处处有限且可测， 若 fn f a.e. 于E ，则 f nf a.u.于 E （即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）f a.e.

13、于 E ，即 mE fn f 0 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛f a.u.于 E即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛证明：由引理知0有Nlim m(n NE|fnf| )0 ，从而有0,0,N k 0, m(n N k E| ff| k1 )2kE|ff|1） ，则 e可测， e kE，故 k1 ，me即 fn(x) 在E上一致收敛到k 1m(n N kEeEx E ，有| fn (x)f (x)E| fnf|1)k1(nf (x) |注： 叶果洛夫定理的逆定理成立， 无论 mEE，则 fn f a.e.于 E证明： 由条件知 1, 存在可测集 EnnE，且

14、fn x 在En上一致收敛于 f （x） ，m(EEn)当然 fn x 在 En 上点点收敛于 f x ，令从而m(E E ) m( EEn)1En11 2kE| fnf|k1)或 mE，则0(n，即：若 fn f a.u. 于），m(E E ) 0 另外显然 fn x 在 E En上点点收敛于 f(x)所以 fn x 在E上a.e.收敛于 f(x) .注 : 叶果洛夫定理中条件 mE 不可少 .1 x (0,n例 fn(x) 在 R 上处处收敛于 f (x) =1 , 但 fn x 不几乎一致收敛于n 0 x (n, ) nf(x) 于 R .几乎一致收敛 : 去掉某个小(任意小)测度集，在

15、留下的集合上一致收敛| fn(x) f (x) |不几乎一致收敛：去掉任意小(适当小)测度集，在留下的集合上任不一致收敛注： 叶果洛夫定理中的结论 me 不能加强到 me 0.e仍然以 1为聚点从而可找到 E e即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上 fn x 仍不一致收敛于 f x .说明：去掉任意一个零测度集 e ，留下的集合 0,1| fn(xn) f (x)| (xn)n从而 E e上 fn x 不一致收敛于 f(x) .作业 ：P99 71 叶果洛夫定理的条件“ mE练习题是否可以取消？f(x) ”？3 叶果洛夫定理的逆定理是否成立？3 可测函数的构造教学目的 本节将考察欧氏空间上的

16、可测函数和连续函数关系 . 本节将证明重要的 Lusin 定理, 它表明 Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近 .这个结果在有些情况下是很有用的 .本节要点 一方面 , L 可测集上的连续函数是可测的 , 另一方面 , Lusin 定理表明， Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近 . Lusin 定理有两个等价形式 . 另外 , 作为准 备定理 Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果 .本节难点 Lusin 定理的证明 .授课时数 3学时可测集 E 上的连续函数定为可测函数，但可测函数不一定连续 . 本节讨论可测函数和连续函数之间的关系，从而揭示可测函数的结构 .

17、我们已经知道可测函数 Dirichlit 函数在 0,1 上处处间断， 这是否意味着这样的函数与连 续不沾边呢？否！ 事实上， 它是在充分接近于定义域的范围内相对连续的。 这就是著名的鲁 津( )定理鲁津( )定理： 设 f (x) 为 E 上几乎处处有限的可测函数，则0,对每个 Ei，作 Ei中的闭子集 Fi，使m(Ei Fi) (i 1,2,L ,n)n当 x Ei时， f(x) ci，所以 f (x) 在Fi上连续，n而 Fi 为两两不交闭集，故 f(x) 在 F Fi 上连续i1 显然 F 为闭集，且有nn m(E F) m(Ei Fi )i1 i 1n(2) 当 f(x) 为有界可测

18、函数时，存在简单函数列 n(x) 在E上一致收敛于 f(x)，利用(1) 的结果知0, 及每个 n (x ) ，存在闭集 Fn E ，使且 n (x) 在 Fn 上连续 .令 F Fn ，则 F E 且n1连续函数类关于四则运算封闭)注：对f(x)在F 连续的说明：若 f (x)在 Fi上连续，而证明： 任取 x FFi 为两两不交闭集，则 f (x) 在 F Fi 上连续i1nFi 则存在 i0 ，使得 x Fi0 ， f(x) ci0 ， i1又 Fi 为两两不交闭集，从而 x在开集 ( Fi )c中 i i0所以存在 0, 使得O(x, ) (i i Fi )ci i0从而nO(x, )

19、 F O(x, ) (i 1Fi ) O(x, ) Fi0故对任意 x O(x, )I F ，有| f(x) f(x)| 0，故 f 连续条件 Fi 为两两不交闭集必不可少，如：R上处处不连续函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在说明： 取闭集的原因在于闭集的余集为开集， 开集中的点为内点， 从而可取 x Fi 足够小 的邻域不含其他 Fi 中的点 .注 鲁津定理推论 ：若 f (x)为 E R上几乎处处有限的可测函数，则0, 闭集F E， 及 R 上 的 连 续 函 数 g(x) 使 得 在 F 上 g(x) f(x) 且 m(E F) (对 n维空间也成立)(在某个小测度集上改

20、变取值并补充定义变成连续函数)鲁津定理(限制定义域) (即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续) 鲁津定理的第二形式： 若 f (x) 在 E 上的几乎处处有限的可测函数， 则对 0，存在闭集F E及整个直线上的连续函数 g(x) (F 及g(x) 依赖于 )使在 F 上g(x) f (x)， 且 m(E F)证明略其实， 以上两定理结果也是可测函数的本质特征， 即具有上述结果的函数一定是可测函 数，证明留作习题。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示我们： 尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多， 但通过牛顿莱布尼兹公式计算积分仍为 主渠道。作业 ：P99 8练习题m(

21、E F) 0，且 f 在F 上连续.”？2 当 mE 时鲁津定理是否依然成立？3 鲁津定理的逆定理是否成立？ 鲁津定理能否改为： “ f 为 E 上几乎处处有限的可测函 数，则 0，存在闭集 F E，使 m(E F) ，且 f 在F上可表为多项式”？4试作 E 0,1上的可测函数 f (x) ，使对任何连续函数 g(x)都有 mE f g 0，此结 果与鲁津定理有无矛盾？ 4 依测度收敛教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性 . 本节讨论几乎处处收敛 , 依测度收敛和几乎 一致收敛 . 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系 . 通过本节的学习 , 可以使学生对可测函数 列的几种收敛性和相互关系有一个

22、较全面的了解 .教学要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性 . 特别是依测度收 敛是一种全新的收敛 , 与熟知的处处收敛有很大的差异 . Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示 了这几种收敛之间的关系 . Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了 一座桥梁 .本节难点 依测度收敛的概念及各种收敛之间的关系 .授课时数 4学时改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对 ( R) 积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“ fn(x)在 E上一致收敛于f(x) ”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处

23、收敛”是一种思路，在此介 绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。从集合论的角度讲：“ fn(x)在 E上一致收敛于 f(x)”是指 0， N0 0，当n N0时， E | fn(x) f (x)| ，之所以我们认为“一致收敛”条件苛刻，就在于 它要求 E | fn(x) f (x) | 从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正 测度集，但必须满足mE | fn(x) f (x)| 0(n )呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生 .一、依测度收敛1 定义： fn(x)是E Rq上的一列 a.e.有限的可测函数 .若有 E上a.e.有限的可测函数 f (x) 满足下列关系：对 0,有

24、lim mE| fn f| 0 ，则称函数列 fn(x) 依测度收敛于 f(x) .度量收敛到f(x) ，记为： fn f .( N)语言： , 0, N( , ) 0,当n N( , )时， mE| fn f| .2测度收敛的性质 (唯一性和四则运算)定理 1 令mE ， fn f 于 E， gn g 于E，则(1) 若又有 fn h于E, 则 f (x) h(x) a.e. 于E.(2) fn gn f g于 E(3)fn gn f g于 E(4) | fn| | f |于E对 (3) 来说不可少注： (1),(2),(4) 当 mE 时, 也成立；条件 mE3依测度收敛与几乎处处收敛的关

25、系依测度收敛与处处收敛或几乎处处收敛的概念是有很大区别的例 1 依测度收敛，但处处不收敛的函数列 .fn(x) f2k i(x) i i 1 (x) 处处不收敛2 i (2k,2k 但子列 fnk(x) f2k 1(x) 1 (x)处处收敛于 f (x) 0,k 2 1 (0, 2k 例 2 不依测度测度收敛但收敛的函数列：从而于 E，则 fn f 于 E二、函数列几种收敛之间的关系先归纳一下几种收敛的定义 .1函数列的几种收敛定义点点收敛 : 记作 fn f 于 Ex E, 0, N x 0, n N x,有| fn(x) f(x)|一致收敛 :0, N 0, n N , x E,有| fn

26、(x) f (x)|注： 近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 . 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制例：函数列 fn(x) xn,n 1,2,L 在(0,1) 上处处收敛到 f (x) 0 ,但不一致收敛， 但去 掉一小测度集合 (1- ,1), 在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛 : 记作 fn f a.e.于 E ( almost everywhere ) 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛几乎一致收敛 : 记作 fn f a.u. 于 E (almost uniformly)即：去掉某个小(任意小)测度集，在留下的集合上一致收敛 .0,存在可测子集 e E

27、,me , 使得 fn在 E E e上一致收敛于 f0,存在可测子集 e E,me , 0, N 0, n N , x E e, 有| fn(x) f (x) |(5)依测度收敛 : fn f 于 E0,有 lnim mE|fn f| 02 数列几种收敛之间的关系作业 ：P99 9， 10， 11， 12练习题1 勒贝格定理中的条件 mE 能否改为 mE ？2 在数学分析里， 函数列的极限具有唯一性， 那么对于 fn f a.e.于E 及 fn f于E又无 类似的结果？3 几乎处处有限的可测函数列 fn(x) 依测度收敛的充要条件是： , 0, N( , ) 0,当n N,m N时， mE| fn fm|