校本课程常用的巧算和速算方法.docx

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校本课程常用的巧算和速算方法

*****校本课程数学计算方法

第一讲生活中几十乘以几十巧算方法

   1.十几乘十几：

口诀：

头乘头，尾加尾，尾乘尾。

例：

12×14=？

解:

1×1=1

　２＋４＝６

　２×４＝８

12×14=168

注：

个位相乘，不够两位数要用0占位。

２.头相同，尾互补（尾相加等于10）：

口诀：

一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：

23×27=？

解：

２＋１＝３

　　２×３＝６

　　３×７＝21

23×27=621

注：

个位相乘，不够两位数要用0占位。

３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：

口诀：

一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：

37×44=？

解：

3+1=4

4×4=16

7×4=28

37×44=1628

注：

个位相乘，不够两位数要用0占位。

４.几十一乘几十一：

口诀：

头乘头，头加头，尾乘尾。

例：

21×41=？

解：

2×4=8

2+4=6

1×1=1

21×41=861 

５.11乘任意数：

口诀：

首尾不动下落，中间之和下拉。

例：

11×23125=？

解：

2+3=5

3+1=4

1+2=3

2+5=7

2和5分别在首尾

11×23125=254375

注：

和满十要进一。

６.十几乘任意数：

口诀：

第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。

例：

13×326=？

解：

13个位是3

3×3+2=11

3×2+6=12

3×6=18

13×326=4238

注：

和满十要进一。

第二讲常用巧算速算中的思维与方法

（1）

【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。

例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为

1+2+……+99+100

所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100

=101×100÷2

=5050

“3+5+7+………＋97+99=？

3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2=2499。

这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《丘建算经》。

丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：

“今有女子不善织，日减功，迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。

问织几何？

”

题目的意思是：

有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。

她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。

问她一共织了多少布？

丘建在《算经》上给出的解法是：

“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。

”“答曰：

二匹一丈”。

这一解法，用现代的算式表达，就是

1匹=4丈，1丈=10尺，

90尺=9丈=2匹1丈。

丘建这一解法的思路，据推测为：

如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是：

5＋…………＋1

在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。

若把这个式子反过来，则算式便是：

1+………………＋5

此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。

同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。

假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”

这一特点，那么，就会出现下面的式子：

所以，加得的结果是6×30=180（尺）

但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。

所以，这妇女30天织的布是

180÷2=90（尺）

可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。

第三讲常用巧算速算中的思维与方法

（2）

方法一：

分组计算

一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。

例如：

求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。

这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。

什么是“数字之和”？

例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是

1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。

显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。

怎么办呢？

我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。

然后，将它们分组：

0和999，999，999；1和999，999，998；

2和999，999，997；3和999，999，996；

4和999，999，995；5和999，999，994；

………………

依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如

0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81

1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81

………………

最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。

所以，此题的计算结果是

（81×500，000，000）＋1

=40，500，000，000＋1

=40，500，000，001

方法二：

由小推大

计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。

例如：

（1）计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。

不妨先化大为小，再由小推大。

先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。

容易看到，对角线上五个“5”之和为25。

这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。

所以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。

于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。

（2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。

最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。

那么2002出现在哪一列：

因为从2到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。

从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。

所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个。

故2002应排在第二列。

方法三：

凑整巧算

用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。

例如

（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111

（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）

=10＋100＋1000

=1110

（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125

=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5

=125×8-5

=1000-5

=995

第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）

方法一：

巧妙试商

除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。

（1）用“商五法”试商。

当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。

如70÷14=5，125÷25=5。

当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。

“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“5”。

例如1248÷24=52，2385÷45=53

（2）同头无除商八、九。

“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。

“无除”仍指被除数前两位不够除。

这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9。

5742÷58=99，4176÷48=87。

（3）用“商九法”试商。

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”。

一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n时，n除m的商才是9。

同样地，10n≤m＋n＜11n。

这就是我们上述做法的根据。

例如4508÷49=92，6480÷72=90。

（4）用差数试商。

当除数是11、12、13…………18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

若差数是1或2，则初商为9；差数是3或4，则初商为8；差数是5或6，则初商为7；差数是7或8，则初商是6；差数是9时，则初商为5。

若不准确，只要调小1就行了。

例如

1476÷18=82（18与14差4，初商为8，经试除，商8正确）；

1278÷17=75（17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确）。

为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：

差一差二商个九，差三差四八当头；

差五差六初商七，差七差八先商六；

差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

方法二：

恒等变形

恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。

它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。

例如

（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）

=1800＋100

=1900

（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）

=359.8-10

=349.8

第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）

方法一：

拆数加减

在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大简化运算。

（1）拆成两个分数相减。

例如

又如

（2）拆成两个分数相加。

例如

又如

方法二：

同分子分数加减

同分子分数的加减法，有以下的计算规律：

分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。

分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。

例如

（注意：

分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。

）

由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，

根据这一关系，我们也可以简化运算过程。

例如

方法三：

先借后还

“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。

例如

做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。

现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。

第六讲常用巧算速算中的思维与方法（5）

方法一：

个数折半

下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。

（1）分母相同的所有真分数相加。

求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。

这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。

（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。

比方

（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折

半法”求得数。

比方

方法二：

带分数减法

带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。

（1）减数凑整。

例如

（2）交换位置。

例如

在这两种方法中，第

（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。

例如