数学阶段性整理1.docx

数学阶段性整理1.docx

《数学阶段性整理1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学阶段性整理1.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学阶段性整理1

第二题:

如图,在△ABC中,∠BAC=60∘,∠ABC=90∘,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为___.

过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，在Rt△ABC中运用三角函数可得

BC

AB

=

3

，易证△AEB∽△BFC，运用相似三角形的性质可求出FC，然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC，再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值．

如图,过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F，如图。

∵∠BAC=60∘,∠ABC=90∘，

∴tan∠BAC=BCAB=3√.

∵直线l1∥l2∥l3，

∴EF⊥l1,EF⊥l3，

∴∠AEB=∠BFC=90∘.

∵∠ABC=90∘，

∴∠EAB=90∘−∠ABE=∠FBC，

∴△BFC∽△AEB，

∴FCEB=BCAB=3√.

∵EB=1,∴FC=3√.

在Rt△BFC中，

BC=BF2+FC2−−−−−−−−−−√=22+（3√）2−−−−−−−−−√=7√.

在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAC=3√2，

AC=2BC3√=27√3√=221−−√3.

故答案为221−−√3.

相似三角形的判定与性质，平行线之间的距离，勾股定理

第二题:

如图,在△ABC中,∠BAC=60∘,∠ABC=90∘,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为___.

第三题

如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A. D关于点F对称,过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为___.

先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．

∵点A. D关于点F对称，

∴点F是AD的中点。

∵CD⊥AB,FG∥CD，

∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，

∴CG=12AC=9.

∵点E是AB的中点，

∴GE是△ABC的中位线，

∵CE=CB=12，

∴GE=12BC=6，

∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27.

故答案为：

27.

三角形中位线定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质

第三题

如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A. D关于点F对称,过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为___.

第四题

2014?

玉林）给定直线l：

y=kx，抛物线C：

y=ax2+bx+1．

（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶�

（2014?

玉林）给定直线l：

y=kx，抛物线C：

y=ax2+bx+1．

（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；

（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．

①求此抛物线的解析式；

②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：

OP=PQ．

（1）∵l：

y=kx，C：

y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，

∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1-k）x+1=0．

∵B与A关于原点对称，

∴0=xA+xB=

k?

1

a

，

∴k=1．

∵y=ax2+x+1=a（x+

1

2a

）2+1-

1

4a

，

∴顶点（-

1

2a

，1-

1

4a

）在y=x上，

∴-

1

2a

=1-

1

4a

，

解得a=-

1

4

．

（2）①∵无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点，

∴k=1时，k=2时，直线l′与抛物线C都只有一个交点．

当k=1时，l′：

y=x+2，

∴代入C：

y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-1）x-1=0，

∵△=（b-1）2+4a=0，

∴（b-1）2+4a=0，

当k=2时，l′：

y=2x+5，

∴代入C：

y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-2）x-4=0，

∵△=（b-2）2+16a=0，

∴（b-2）2+16a=0，

∴联立得关于a，b的方程组 

（b?

1）2+4a＝0

（b?

2）2+16a＝0

，

解得 

a＝?

1

4

b＝0

或 

第四题

2014?

玉林）给定直线l：

y=kx，抛物线C：

y=ax2+bx+1．

（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶�

（2014?

玉林）给定直线l：

y=kx，抛物线C：

y=ax2+bx+1．

（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；

（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．

①求此抛物线的解析式；

②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：

OP=PQ．

第五题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点（1,-1）,且对称轴为直线x=2,点P、Q均在抛物线上,点P位于对称轴右侧,点Q位于对称轴左侧,PA垂直对称轴于点A,QB垂直对称轴于点B,且QB=PA+1,设点P的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式

（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）

（3）请探究PA+QB=AB是否成立,并说明理由

（4）抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点,若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1：

5的两部分,直接写出此时m的值．

解:

（1）∵抛物线y=

+bx+c经过点（1，-1），且对称轴为在线x=2，

 ∴ 

，解得 

.

 ∴这条抛物线所对应的函数关系式y=

-4x+2;

（2）∵抛物线上点P的横坐标为m， 

∴P（m，

-4m+2）， 

∴PA=m-2，

QB=PA+1=m-2+1=m-1，

 ∴点Q的横坐标为2-（m-1）=3-m，

点Q的纵坐标为

-4（3-m）+2=

-2m-1，

 ∴点Q的坐标为（3-m，

-2m-1）; 

（3）PA+QB=AB成立.理由如下:

∵P（m，m2-4m+2），Q（3-m，

-2m-1），

 ∴A（2，

-4m+2），B（2，

-2m-1）， 

∴AB=（

-2m-1）-（

-4m+2）=2m-3， 

又∵PA=m-2，QB=m-1，

 ∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3，

 ∴PA+QB=AB;

 （4）∵抛物线y=

+

x+

（

≠0）经过Q、B、P三点， 

∴抛物线y=

+

x+

的对称轴为QB的垂直平分线， 

∵对称轴把四边形PAQB分成面积为1:

5的两部分， 

∴

×

×

=

×[

（2m-3）]×（2m-3），

整理得，（2m-3）（m-3）=0，

 ∵点P位于对称轴右侧，

 ∴m＞2，

 ∴2m-3≠0，

 ∴m-3=0，

 解得m=3.

第五题

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点（1,-1）,且对称轴为直线x=2,点P、Q均在抛物线上,点P位于对称轴右侧,点Q位于对称轴左侧,PA垂直对称轴于点A,QB垂直对称轴于点B,且QB=PA+1,设点P的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式

（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）

（3）请探究PA+QB=AB是否成立,并说明理由

（4）抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点,若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1：

5的两部分,直接写出此时m的值．

第六题

如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60∘，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.

（1）求证：

△ADP∽△BDA；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长。

（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；

（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；

（3）利用△ADP∽△BDA，得出

AD

BD

=

DP

DA

=

AP

AB

，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则

AP

CP

=

DP

AP

，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．

（1）证明：

作⊙O的直径AE，连接PE，

∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，

∴∠DAE=∠APE=90∘，

∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90∘，

∴∠PAD=∠E，

∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，

∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，

∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，

证明：

在线段PC上截取PF=PB，连接BF，

∵PF=PB,∠BPC=60∘，

∴△PBF是等边三角形，

∴PB=BF,∠BFP=60∘，

∴∠BFC=180∘−∠PFB=120∘，

∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120∘，

∴∠BPA=∠BFC，

在△BPA和△BFC中,⎧⎩⎨⎪⎪∠PAB=∠FCB∠BPA=∠BFCPB=FB，

∴△BPA≌△BFC（AAS），

∴PA=FC，AB=CB，

∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）∵△ADP∽△BDA，

∴ADBD=DPDA=APBA，

∵AD=2，PD=1，

∴BD=4，AB=2AP，

∴BP=BD−DP=3，

∵∠APD=180∘−∠BPA=60∘，

∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，

∴∠PAD=∠PCA，

∴△ADP∽△CAP，

∴APCP=DPAP，

∴AP2=CP⋅PD，

∴AP2=（3+AP）⋅1，

解得：

AP=1+13−−√2或AP=1−13−−√2（舍去），

∴BC=AB=2AP=1+13−−√.

圆的综合题，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质

第六题

如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60∘，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.

（1）求证：

△ADP∽△BDA；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长。