四年级上册数学思维训练修改稿.docx

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四年级上册数学思维训练修改稿

第1讲和差问题

（一）

【知识概述】和差问题的特征是：

已知大小两数的和及它们的差，求这两个数各是多少。

解答这类问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

【例题精选】学校有排球、足球共50个，排球比足球多4个，足球、排球各多少个？

思路点拨1：

我们用假设法来分析，已知排球比足球多4个，从线段图上看出，假设足球增加4个，和排球同样多，那么排球和足球的总和就是50+4=54（个）。

54个里面排球和足球同样多，也就是说排球和足球各27个，但是足球27个里面，有4个是假设增加的，必须从27里面减去4，即足球为27-4=23（个）。

用图表示：

例题解答：

思路点拨2：

也可以假设排球减少4个，那么就和足球同样多，这时排球和足球的总和就是50-4=46（个），46个里面排球和足球同样多，也就是排球和足球各23个，但是排球的个数假设比原来减少4个，所以必须加上4个，即23+4=27（个）。

用图表示：

例题解答：

【试一试】三

（1）班和三

（2）班共有学生82人，如果从三

（1）班调4个学生到三

（2）班，那么两班学生同样多，问三

（1）班和三

（2）班原来各有学生多少人？

【练一练】

1.洪洪和张亮共有连环画30本，王洪比张亮多4本，两人各有多少本？

2.期末考试小平和小玲算术成绩的总和是190分，小平比小玲少8分，两人各得多少分？

3.明明和红红共有邮票50张，如果明明给红红6张，则两人张数相等。

问明明和红红原来各有多少张？

4.哥哥和弟弟共有画片38张，弟弟给哥哥3张后还比哥哥多2张，哥哥和弟弟原来各有画片多少张？

第2讲和差问题

（二）

【知识概述】和差问题的特征是：

已知大小两数的和及它们的差，求这两个数各是多少。

解答这类问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

【例题精选】繁荣小学幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班。

大班比中班多分4千克，中班又比小班多分6千克，小班分得多少千克？

思路点拨：

这题从两个数量扩展到三个数量。

已知中班比小班多6千克，大班比中班多4千克，从线段图上清楚地看出，大班比小班多6+4=10（千克），如果中班减少6千克，大班减少10千克，那么大班、中班、小班总千克数就要减少6+10=16（千克），即49-（6+4+6）=33（千克），33千克相当于三个小班千克数的和，33除以3的商就是小班分得苹果的千克数。

用图表示：

例题解答：

【试一试】甲、乙两筐苹果共64千克，从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的苹果比乙筐的苹果还多2千克。

甲、乙两筐原有苹果各多少千克？

【练一练】

1.有两个车间共有工人78名，已知一车间比二车间多5名工人，每名工人每天可做50个零件。

求两个车间在一天内各生产个零件？

2.有梨子99千克，分给甲、乙、丙三个组，甲组比乙组多分4千克，乙组比丙组多分4千克，三个组各得多少千克？

3.把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段比前一段多3米。

求三段长度各是多少？

4.《红楼梦》分上、中、下共三册，全书共108元。

上册比中册贵11元，下册比中册便宜5元。

上、中、下三册书各是多少元？

第3讲升和毫升

【知识概述】

升和毫升是容量单位，经常用来表示容器里容纳的液体和体积。

认识容量以及容量单位升和毫升，联系实际初步形成1升和1毫升的容量观念，知道升和毫升之间的进率是1000，能够进行简单的换算。

【例题精选】

有两桶水，如果第二桶倒出8升水给第一桶，那么两桶水正好相等。

已知两桶水共有120升，两桶水原来各有多少升？

思路点拨：

在本题中从第二桶倒出8升水给第一桶，则两桶水相等，第二桶原来应比第一桶多16升水；或者倒完后，两桶水一样多，每桶都有60升，第一桶再倒出8升，第二桶再倒入8升。

例题解答：

【试一试】甲、乙两个容器一共可盛900毫升水，已知甲容器容量是乙容器容量的8倍，甲、乙两个容器的容量分别是多少毫升？

【练一练】

1.根据物品与日常使用的单位关系连线。

茶杯

水瓶升

水桶毫升

墨水瓶

2.在○里填上“＞”“＜”或“=”。

8500毫升○8升1001毫升○999升301毫升○3001毫升7000毫升○7升6000毫升○5升13升○1300毫升

3.将正确的答案的序号填在括号里。

（1）一瓶洗发水有750（）；一大瓶可乐有2（）。

A升B毫升

（2）一个纸杯可盛水200毫升，5个纸杯可盛水1（）。

A升B毫升

（3）1小瓶眼药水大约有（）毫升。

A1B10C100

4.解决实际问题。

（1）甲容器可盛水200毫升，乙容器比甲容器多盛水50毫升，丙容器的容量是乙容器的2倍，丙容器可盛水多少毫升？

（2）一瓶橙汁是500毫升，一听可乐是355毫升，李叔叔买了5瓶橙汁和4听可乐，一共有多少毫升？

（3）一辆汽车每行1千米大约需要耗油75毫升，这辆汽车从甲地到乙地共行了440千米，大约耗油多少毫升？

合多少升？

（4）有一种洗衣液，需在10升水中加16毫升洗衣液效果最好。

一台洗衣机的容量是100升，倒入多少毫升洗衣液效果才能达到最好？

第4讲等量代换

【知识概述】等量代换”是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础，这个数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础。

可以培养学生良好的逻辑思维能力。

【例题精选】例1△、○、□分别表示三个数，并且

（1）△＋△=□＋□＋□，

（2）□＋□＋□=○＋○＋○＋○，（3）△＋□＋○＋○=400，那么，△=（），○=（），□=（）。

思路点拨：

2个△等于3个□，3个□又等于4个○，那么２个△就等于４个○，也就是1个△等于2个○。

△＋□＋○＋○=400，这样的2个○等于１个△，算式又变成了△＋□＋△=400，这样2个△等于3个□，算式接着变成了□＋□＋□＋□=400，因此1个□就是400÷4=100。

把1个□＝100代入△＋△=□＋□＋□，得到△＋△=300（100×3=300），那么△=150（300÷2=150）。

因为1个△等于2个○，所以1个○=75（150÷2=75）

例题解答：

例2百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果2个纸箱同1个木箱的球鞋一样多，想一想：

每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

思路点拨：

我们根据“2个纸箱同1个木箱的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双鞋全部用纸箱装，不用木箱装。

根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。

这样。

题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？

”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。

也就能求出一个木箱装多少双球鞋。

例题解答：

【试一试】△＋☆＋○=24

△＋○=15

☆＋○=17

△=☆=○=

【练一练】

1.1筐梨＋1筐苹果=120千克1筐梨=（）千克

1筐梨＋1筐桔子=100千克1筐苹果=（）千克

1筐苹果＋1筐桔子=80千克1筐桔子=（）千克

2.1头大象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量等于3匹小马的重量，1匹小马的重量等于3头小猪的重量，1头大象的重量等于几头小猪的重量?

3.买6千克荔枝和8千克桂圆，共付312元。

已知5千克荔枝的价格等于2千克桂圆的价钱。

荔枝的单价是多少元？

桂圆的单价是多少元？

第5讲除法

（一）

【知识概述】三位数除以两位数，商可能是两位数，也可能是一位数。

当被除数的前两位比除数大，商是两位数；当被除数的前两位比除数小，商是一位数。

在有余数除法中，余数要比除数小。

【例题精选】例1在算式□73÷54中，要使商是两位数，□里最小填（）；要使商是一位数，□里最大填（）。

思路点拨：

对于第一个问题，要使商是两位数，那么被除数前两位上的数要比54（），所以□里最小填（）；而第二个问题，要使商是一位数，那么被除数前两位上的数要比54（），所以□里最大填（）。

【试一试】在算式7□2÷75中，要使商是两位数，□里最小填（）；要使商是一位数，□里最大填（）。

例2在有余数除法算式（）÷（）=32……15中，除数最小是（），这时被除数是（）。

思路点拨：

在有余数除法中，余数要比除数小，所以除数最小应是（），再根据被除数=（）×（）+（），可以算出答案。

【试一试】在有余数除法算式（）÷43=22……（）中，余数最大是（），这时被除数是（）。

【练一练】

一、填一填。

1.在算式654÷□7中，要使商是两位数，□里最大填（）；要使商是一位数，□里最小填（）。

2.在有余数除法算式（）÷47=12……（）中，余数最大是（），这时被除数是（）。

3.□37÷49要使商是一位数，□里可以填（）；要使商是两位数，□里最可以填（）。

4.在计算274÷38时，把除数看作（）试商，初商是（），偏（），需调成（）。

5.在计算274÷32时，把除数看作（）试商，初商是（），偏（），需调成（）。

6.被除数与除数都是12，商是（）；商与除数都是12，被除数是（）。

7.被除数和除数同时扩大10倍后，商是15，原来算式的商是（）。

二、解决问题。

1.小军在计算除法时，把除数36看成了63，结果得到的商是15，余数是8，正确的商和余数应该各是多少？

2.被除数是除数的12倍，除数与商的和是86，求被除数是多少？

第6讲除法

（二）

【知识概述】在解决实际问题中，遇到有余数的除法，应联系实际情况确定结果应“去尾法”取整，还是“进一法”取整。

【例题精选】例1乐乐是个小书迷，她在翻看带给欢欢的课外书，多多问她：

“你每天看多少页？

”乐乐说：

“这本书有186页，如果每天都看这么多的页数，15天后就只剩6页了。

”你知道乐乐每天看多少页吗？

思路点拨：

根据题意，我们可以列出算式：

186÷=15（天）……6（页），在这个算式中，是除数，代表的是（）。

尝试解答：

例2繁荣小学今年一年级有243名新生，如果40名同学分为一个班，可以分几个班？

如果是236新生，可以分几个班？

思路点拨：

要求分为几个班，可以用总人数÷每个班的人数，243÷40=6（个）……3（人），根据实际情况，3个人不可能分为一个班，所以可以分为6个班。

如果是236名新生，你会算了吗？

尝试解答：

【练一练】

1.一辆卡车运沙子，每次最多运25吨，418吨沙子至少要运多少次才能全部运完？

2.幼儿园买来142个苹果，小朋友们吃了两天，每天吃同样多的苹果，剩下的苹果能吃5天还多2个。

小朋友们每天吃几个苹果？

3.北京路加油站运来300吨汽油，如果每个储油罐能装18吨汽油，至少要准备多少个这样的储油罐？

4.粗心的马小跳和王老师去给班级买足球。

他算了算说：

“王老师，你带的钱只够买6个还剩40元”。

王老师说：

“你看错了，足球的单价不是54元，而是45元”。

细心的同学们，你能帮王老师算出到底能买多少个足球吗？

5.李军在读一本183页的故事书时，不小心合上了，他记得刚读完的两页页码之和是85页，他刚读完的两页页码分别是多少？

如果他每天读20页，剩下的还要几天读完？

第7课时求平均数

【知识概述】平均数在日常生活中应用广泛。

在有关平均数的问题中，通常用总数量÷总份数=平均数。

但有时候用“移多补少”的方法求平均数会更简便。

【例题精选】例1小兔队和小象队举行拔萝卜比赛。

小兔队每人拔了不到20个，小象队前4个队员平均每个队员拔了89个，第5只小象拔了94个。

问这5只小象平均每只拔萝卜多少个？

思路点拨：

用前4只小象拔萝卜的总个数加上第5只小象拔萝卜的个数，得到5只小象拔萝卜的总个数，再除以参加拔萝卜的小象数5，就得平均每只拔的个数；还可以这样想：

第5只小象拔94个，比前4只拔的平均数多5个，这5个平均分给5只，每人分1个，5只小象拔的平均数是89+1=90个。

尝试解答；

【试一试】长颈鹿组和小猴组举行摘桃比赛。

赢得第一的是小猴组。

前4只小猴摘桃的平均数是87个,5只小猴摘桃的平均数是88个。

第5只小猴摘桃多少个？

例2小动物们举行600米赛跑，绕场两圈。

小兔第一圈每秒跑6米，第二圈每秒跑3米。

问小兔跑这600米平均每秒跑多少米？

思路点拨：

用总路程600米除以跑完这600米用的总时间（跑第一圈用的时间加跑第二圈用的时间）就得到平均每秒跑的米数了。

尝试解答：

【练一练】

1.商店有蓝色气球和红色气球共43只，黄气球有20只，绿气球有33只。

平均每种气球多少只？

2.一小组同学量身高，小丽在数学成绩公布前的四门功课的平均成绩是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。

小丽的数学考了多少分？

3.甲到乙地相距30千米，爸爸骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从乙地回甲地每小时行10千米。

求爸爸往返的平均速度。

4.李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；峡山水，他沿原路返回，每分钟走75米。

求李大伯上下山的平均速度。

5.一组同学进行立定跳远，最远的跳了152厘米，最近的跳了144厘米，其余6名同学都跳了148厘米。

这一组同学的平均跳远成绩是多少？

6.甲、乙两个数的和是176。

如果加上丙数，这时3个数的平均数比甲、乙两数的平均数多3.丙数是多少？

第8讲和倍问题

（一）

【知识概述】解答和倍问题的关键是：

找出两个数的和以及与其相应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出其他的数。

【例题精选】陈梅家养了白兔和黑兔一共32只，白兔的只数是黑兔的3倍，陈梅家养的白兔和黑兔各有多少只？

思路点拨：

已知白兔的只数是黑兔的3倍，可见黑兔只数是1倍，而白兔的只数是3倍数。

用线段图表示，从线段图中看出，白兔和黑兔一共是32只，这32只相当于黑兔的1+3=4（倍），那么，1倍的只数即黑兔只数和3倍的只数也就是白兔的只数就很容易求出来了。

用图表示：

例题解答：

【试一试】一筐苹果、一筐梨和一筐葡萄共重40千克，知道苹果重量是梨的2倍，梨的重量是葡萄的3倍，算一算，苹果、梨和葡萄各是多少千克？

【练一练】

1.两数和是84，大数是小数的6倍，求这两个数？

2.甲乙两户果农共收橘子1000千克，甲农户收的是乙农户的3倍，甲、乙两农户各收了橘子多少千克？

3.明明和红红共有水彩笔36支，明明的水彩笔是红红的2倍。

问明明和红红各有水彩笔多少支？

4.三筐苹果共120个，第二篮的苹果是第一篮的3倍，第三篮内苹果是第二篮的2倍，问三篮苹果分别有多少个？

第9讲和倍问题

（二）

【知识概述】解答和倍问题的关键是：

找出两个数的和以及与其相应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出其他的数。

【例题精选】兄妹两人共植树15棵，哥哥植树的棵数比妹妹的2倍少3棵。

兄妹两人各植树多少棵？

思路点拨：

从“哥哥植树的棵树比妹妹的2倍少3棵”，可知妹妹植树的棵数是1倍数，而哥哥是妹妹植树棵数的2倍少3棵，画线段图分析：

从线段图中看出：

如果哥哥植树的棵数增加3棵，那么正好是妹妹植树棵数的2倍，哥哥的棵树增加3棵，两人植树的总数就要增加3棵，15+3=18（棵），正好是妹妹植树棵数的（1+2）倍，这样就可以求出1倍数，再求出几倍数。

例题解答：

【试一试】甲仓库存粮54吨，乙仓库存粮70吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库内运出多少吨放入甲仓库？

【练一练】

1.甲乙两人共有150张画片，甲的张数比乙的2倍还多30张，两人各有多少张画片？

2.新华书店去年出售560万册书，今年出售量比去年的2倍少40万册，今年出售多少万册？

3.甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶的油是乙桶的5倍？

4.有两个工程队，第一队有150人，第二队有147人，现因工作需要，要求第一队人数是第二队的2倍，应从第二队调出多少人到第一队？

第10讲行程问题

（一）（相遇问题）

【知识概述】解决行程问题时，可以画出反应“速度、时间、方向、出发点、结果”等众多要素的线段图，然后从图中找出数量之间的关系。

行程问题中的三个基本的数量关系式：

速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。

【例题精选】例1小华每分钟走50米，小明每分钟60米。

两人同时从自己家出发，向对方家走去，6分钟后两人在苏果便利店门口相遇。

两家相距多少米？

思路点拨：

求两家相距多远，其实就是求两人在6分钟内所行的路程和。

有两种方法求路程和：

小华走的路程+小明走的路程=相距的路程或（小华的速度+小明的速度）×时间=相距的路程。

尝试解答：

【试一试】小华和小明两家相距660米，小华每分钟走50米，小明每分钟60米。

两人在同一时刻从自己家里出发，相向而行，几分钟后两人相遇？

例2甲乙两艘轮船从相距600千米的两地相对开出，已知甲船每小时行42千米，乙船每小时行38千米。

几小时后两船相距40千米？

思路点拨：

两船相距40千米，有两种情况：

一种是相遇后继续向前行，路程和是（）+（）=（）；一种是还没相遇，路程和是（）-（）=（），再用路程和÷速度和=时间。

尝试解答：

【练一练】

1.一辆客车每小时行85千米，一辆货车每小时行65千米。

两辆车同时从甲乙两地相向而行，4小时相遇。

甲乙两地相距多少千米？

2.李大爷和张大爷从相距1400米的两地同时相对而行，10分钟后相遇，已知李大爷每分钟走65米，张大爷每分钟走多少米？

3.两只蜗牛同时从相距2米的两处向对方爬去，大蜗牛每分钟爬行3厘米，小蜗牛每分钟爬行2厘米。

30分钟后，两只蜗牛还相距多远？

4.学校操场的环形跑道长300米，王芳和李明同时从同一地点向相反方向走去，3分钟后两人相遇。

王芳每分钟走45米，李明每分钟走多少米？

5.甲乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行。

甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。

甲带着一只狗，狗每小时的奔跑速度是10千米。

这只狗同甲一起出发，向乙跑去，碰到乙时，它就掉头朝甲这边跑，再碰到甲时又掉头往乙那边跑。

。

。

直到两人相遇为止。

你知道这只狗共跑了多少千米吗？

第11讲行程问题

（二）（追及问题）

【知识概述】解决行程问题时，可以画出反应“速度、时间、方向、出发点、结果”等众多要素的线段图，然后从图中找出数量之间的关系。

【例题精选】小军骑自行车每小时行14千米，小明骑自行车每小时行12千米，两人分别从相距6千米的甲乙两地同时出发，同向而行。

小军几小时可以追上小明？

思路点拨：

当小军追上小明时，在相同的时间内小军比小明多行了6千米。

由条件可知小军每小时比小明多行（）-（）=（）千米，那么小军在多长时间内，才能比小明多行6千米呢？

尝试解答：

【试一试】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后，小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，小强骑自行车的速度是多少？

【练一练】

1.两匹马在相距50米的两地同时出发，出发时乙马在后，甲马在前，甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米。

几秒后，乙马追上甲马？

2.军事演习时，一个运动靶以每分钟60米的速度逃窜，试验鱼雷的速度是运动靶的10倍，如果要使鱼雷恰好2分钟后击中运动靶，就应在距运动靶多少米处立即发射鱼雷？

3.在长400米的环形跑道上，甲乙两人同时同地同向并排起跑，甲的速度为每秒16米，乙的速度为每秒12米。

两人起跑后，第一次相遇需要多少秒？

第二次相遇呢？

4.父子俩早晨从家跑步去公园晨练，儿子每分钟跑150米，父亲每分钟跑200米，儿子出发10分钟后父亲才出发，结果二人同时到达公园，问从家到公园有多少米？

5.大船以每小时16千米的速度从码头开出，经过3小时小船也从同一码头按照同一方向去追大船，已知小船经过12小时追上大船，求小船的速度。

第12讲统计与可能性

【知识概述】从事件发生的可能性体会游戏规则的公平性。

会用可能性大、可能性小来形容事件发生的可能性大小。

能辨别游戏规则是否公平，初步学会设计简单游戏的规则。

【例题精选】口袋中有6张红色纸片，4张黄色纸片，纸片的形状、大小相同，从中任意摸一张纸片，摸（）纸片的可能性大，如果想使两种颜色的纸片摸到的可能性相等，需要再往袋中放入（）张（）色纸片；如果想使摸到黄色纸片的可能性大，至少要往袋中放入（）纸片（）张。

思路点拨：

我们在做游戏时，要注意游戏的公平性问题。

只有条件相同的游戏才公平的。

纸片的形状、大小相同，说明这个游戏是公平的。

摸到纸片的可能性应由口袋中纸片的张数所决定。

纸片的张数越多，可能性越大；纸片的张数越少，可能性越小。

6＞4，摸到红色纸片的可能性大。

两种颜色纸片摸到的可能性相等，说明两种纸片的张数相等，应往袋中放入2张（6－4=2）黄色的纸片。

摸到黄色纸片的可能大，说明黄色纸片的张数大于红色纸片，至少要往袋中放入3张黄色纸片。

例题解答：

【试一试】袋中里放进红、蓝两种铅笔共8支。

任意摸一支，要想摸到红铅笔的可能性和摸到蓝铅笔的可能性相等，那么要在口袋里放（）支红铅笔，（）支蓝铅笔；要想摸到红铅笔的可能性比摸到蓝铅笔的可能性大，那么要在口袋里放（）支红铅笔，（）蓝铅笔；要想摸到红铅笔的可能性比摸到蓝铅笔的可能性小，那么要在口袋里放（）支红铅笔，（）蓝铅笔。

【练一练】

1.李明和张红做一个摸球的游戏，袋中放10个球，球的大小、质量均相同，只是颜色不同。

（1）规定每人摸10次，每次摸1个，摸后放回，摸到红球多算李明赢，摸到黄球多算张红赢。

如果希望两人打成平手，你如何给下面的10个球涂色？

○○○○○○○○○○

（2）规定每人摸10次，每次摸1个，摸后放回，摸到红球多算李明赢，摸到黄球多算张红赢。

如果希望张红赢，你如何给下面的10个球涂色。

○○○○○○○○○○

（3）规定每人摸10次，每次摸1个，摸后放回，摸到红球多算李明赢，摸到黄球多算张红赢。

如果希望李明赢，你如何给下面的10个球涂色。

○○○○○○○○○○

2.把Ａ，１,２,３,４,５,６,７,８这８张扑克牌打乱后，牌面朝下放在桌上。

每次任意拿出一张再放回，拿到比４大的算张强赢，拿到４不分输赢。

你认为这个游戏公平吗？

为什么？

如果你认为不公平，怎样修改游戏规则，才能使游戏公平？

（A看做1）

3.两个正方体，每个小正方体6个面都分别写着1～6这6个数字，两人各抛2次，两次数字相加小于6算小明赢，大于6算大军赢。

你觉得谁赢的可能性大一些？

为什么？

第13讲混合运算

【知识概述】联系解决实际问题的过程，理解并掌握三步混运算的顺序，认识中括号，并正确进行三步混合运算式题的计算。

用递等式进行混合运算时要特别注意运算顺序，如果只有加减运算或者只有乘除运算，就按照从左到右的顺序进行计算；如果含有加减乘除四则运算，就先算乘除法，后算加减法。

如果计算中有括号的，要先算小括号里的，再算中括号里的。

【例题精选】小马虎在计算480÷（□-18÷3）时，漏看了小括号，得到的结果是24。

你能帮他算出这道题正确的得数吗？

思路点拨：

本题中，小马虎漏