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专题06立体几何1高考数学理高频考点热点题型归类强化
专题06立体几何
—2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
（1）加强对空间几何体结构特征的理解，掌握各种几何体的体积、表面积公式；掌握空间几何三视图的画法规则，掌握几何直观图中各个元素之间的关系以及三视图中长宽之间的关系．
（2）掌握球及球的截面的性质．
（3）加强对空间几何体概念及位置关系的理解、掌握三个公理以及它们的推论；掌握各种判定定理、性质定理的条件与结论，并且会应用．
（4）掌握利用线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系；掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
（5）加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等，掌握各种角与向量之间的关系，并会应用；掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法．
考向预测：
（1）已知空间几何体的三视图或空间几何体中各元素间的关系，求空间几何体的体积、表面积．
（2）给出球体与多面体，利用球的性质求解球的体积、表面积等．
（3）空间几何体中各种垂直、平行关系的证明．
必备知识
（4）二面角的求法；或已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直；给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在．
一、空间几何体的三视图、表面积及体积
1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称
体积
表面积
棱柱
V棱柱＝Sh
（S为底面积，h为高）
S棱柱＝2S底面＋S侧面
棱锥
V＝1Sh
棱锥
3
（S为底面积，h为高）
S棱锥＝S底面＋S侧面
棱台
V＝1（S＋SS′＋S′）
棱台h
3
（S、S′为底面积，h为高）
S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面
圆柱
V圆柱＝πr2h
（r为底面半径，h为高）
S圆柱＝2πrl＋2πr2
（r为底面半径，l为母线长）
圆锥
V＝1πr2h
圆锥
3
（r为底面半径，h为高）
S圆锥＝πrl＋πr2
（r为底面半径，l为母线长）
圆台
V122
圆台＝πh（r＋rr′＋r′）
3
（r、r′为底面半径，h为高）
S圆台＝π（r＋r′）l＋πr2＋πr′2
球
V＝4πR3（R为
球
3
球的半径）
S球＝4πR2（R为球的半径）
2.空间几何体的三视图和直观图
（1）空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．
画三视图的基本要求：
正（主）俯一样长，俯侧（左）一样宽，正（主）侧（左）一样高．
三视图排列规则：
俯视图放在正（主）视图的下面；侧（左）视图放在正（主）视图的右面．
（2）空间几何体的直观图
空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°（或
135°），平行长不变，垂直长减半”．二、点、直线、平面之间的位置关系
1．线面平行与垂直的判定与性质
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
平面外一条直线与平
a⊄α⎫
b⊂α⎪⇒a//α
⎬
a//b⎪
⎭
线面平行的判定定理
面内的一条直线平
行，则这条直线与此
平面平行
一条直线与一个平面
a∥α，a⊂β，α∩β＝b，
⇒a∥b
平行，则过这条直线
线面平行的性质定理
的任何一个平面与此
平面的交线与该直线
平行
线面垂直的判定定理
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α
线面垂直的性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
a⊥α，b⊥α⇒a∥b
2.面面平行与垂直的判定与性质
定理名称
文字语言
图形语言
符号语言
面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β且γ∩α＝a且γ∩β
＝b⇒a∥b
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
a⊥α，a⊂β，⇒α⊥β
面面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
α⊥β，b⊂β，α∩β＝a，b⊥a⇒b⊥α
3.三种平行关系的转化
4．三种垂直关系的转化
三、用空间向量的方法解立体几何问题
1．向量法求空间角
（1）异面直线所成的角：
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cosθ＝|a·b|.
|a||b|
（2）线面角
设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sinθ＝|c·n|.
|c||n|
（3）二面角
AB
CD
①如图（ⅰ），AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈→，→〉.
②如图（ⅱ）（ⅲ），n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ
＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.（4）点到平面的距离的向量求法
→
.
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB·n|
|n|
2．利用向量方法证明平行与垂直
设直线l，m的方向向量分别为a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）．平面α，β的法向量分别为μ＝（a3，b3，
c3），v＝（a4，b4，c4）．
（1）线线平行
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
（2）线线垂直
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
（3）线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.
（4）线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3.（5）面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.（6）面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
3．模、夹角和距离公式
（1）设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
1
2
3
|a|＝a·a＝a2＋a2＋a2，
cos〈a，b〉＝a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
|a||b|
a2＋a2＋a2b2＋b2＋b2
123123
（2）距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
→
|AB|＝x1－x2
2＋y1－y2
2＋z1－z22.
【易错警示】
1．未注意三视图中实、虚线的区别
在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．
2．不能准确分析组合体的结构致误
对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行．
3．忽略判定定理和性质定理中的条件
应用线面平行判定定理时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件；应用线面垂直及面面平行的判定定理时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件，应用面面垂直的性质定理时忽略“直线在平面内”“直线垂直于两平面的交线”的条件等．
4．把平面几何中的相关结论推广到空间直接利用
如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行，这个结论在空间中不成立．
5．不能准确掌握判定定理和性质定理
如线面平行的性质定理中是过与平面平行的直线的平面与该平面的交线与已知直线平行，而非作出的直线；面面平行的性质定理中平行的两条直线一定是第三个平面与两平行平面的交线等．
6．在建立空间直角坐标系时，易忽略说明或证明建系的条件．忽略异面直线的夹角与方向向量夹角的区别：
两条异面直线所成的角是锐角或直角，与它们的方向向量的夹角不一定相等．不能区分二面角与两法向量的夹角：
求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．
真题体验
一、选择题
1、（2020新课标Ⅰ卷·理科T3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
A.5-1
4
B.5-1
2
C.5+1
4
D.5+1
2
PE2-OE2
b2-a
2
4
【答案】C
【解析】如图，设
CD=a,PE=b
，则PO==，
b2b
由题意PO2=1ab，即b2-a2=14（）-2⋅-1=0
，化简得，
ab
242aa
解得b=1+
5
（负值舍去）。
故选：
C.
a4
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
2、（2020新课标Ⅰ卷·理科T10）已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为ABC的外接圆，若
⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为（）
A.64πB.48πC.36πD.32π
【答案】A
【解析】设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2=4π,∴r=2，
3
由正弦定理可得AB=2rsin60︒=2，
3
∴OO1=AB=2，根据圆截面性质OO1⊥平面ABC，
∴OO⊥OA,R=OA=
OO2+OA2
11
OO2+r2
1
==4，
11
∴球O的表面积S=4πR2=64π.
故选：
A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3、（2020新课标Ⅱ卷·理科T7）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）
A.EB.FC.GD.H
【答案】A
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，
D1D4上的点在正视图中都对应点M,直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N,
∴在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是D4,线段D3D4,上的所有点在侧试图中都对应E,∴点
D4在侧视图中对应的点为E.故选：
A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还
原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
93
4
4、（2020新课标Ⅱ卷·理科T10）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.
若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
3
3
A.B.
2
C.1D.3
2
【答案】C
【解析】
设球O的半径为R，则4πR2=16π，解得：
R=2.
设ABC外接圆半径为r，边长为a，
93
4
ABC是面积为
的等边三角形，
3
93
a-
2
a2
4
9-9
4
1222
3
∴a⨯=，解得：
a=3，∴r=⨯=⨯=，
22433
∴球心O到平面ABC的距离d=
R2-r2
4-3
==1.
故选：
C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
5、（2020新课标Ⅲ卷·理科T8）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
2
A.6+4
B.4+4
C.6+2
3
D.4+2
2
3
【答案】C
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
S△ABC
=S△ADC
=S△CDB
=1⨯2⨯2=2
2
2
根据勾股定理可得：
AB=AD=DB=2
2
∴△ADB是边长为2
的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
3
S=1AB⋅AD⋅sin60︒=1（22）2⋅3=2
△ADB
222
3
∴该几何体的表面积是：
3⨯2+2
3
=6+2.
故选：
C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
6、（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T4）同（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
A.20°B.40°
C.50°D.90°
【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB⊥m..
由于∠AOC=40︒,m//CD，所以∠OAG=∠AOC=40︒，由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90︒，
所以∠BAE=∠OAG=40︒，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40︒.
故选：
B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
7、（2020北京卷·T4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．
3
3
3
3
A6+B.6+2C.12+D.12+2
【答案】D
【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
3
则其表面积为：
S=3⨯（2⨯2）+2⨯⎛1⨯2⨯2⨯sin60︒⎫=12+2.
ç2⎪
⎝⎭
故选：
D.
【点睛】
（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3
8、（2020天津卷·T5）若棱长为2
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A.12πB.24πC.36πD.144π
【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
（23）2+（23）2+（2
3）2
即R==3，
2
所以，这个球的表面积为S=4πR2=4π⨯32=36π.
故选：
C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：
（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
9、（2020浙江卷·T5）某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：
cm3）是（）
714
A.B.
33
C.3D.6
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，
棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，
1
⨯⎛1
⨯2⨯1⎫⨯1+⎛1
⨯2⨯1⎫⨯2=
1
+2=
7
3
ç2
⎪
⎭
ç2
⎪
⎭
3
3
所以几何体的体积为：
.
⎝⎝
故选：
A
【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.
二、填空题
1、（2020新课标Ⅲ卷·理科T15）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．
【答案】2π
3
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC=2,AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为O，
由于AM=
=2，故S=1⨯2⨯2
=2，
32-12
2
2
△ABC2
2
设内切圆半径为r，则：
S△ABC
=S△AOB
+
S△BOC
+
S△AOC
=1⨯AB⨯r+1⨯BC⨯r+1⨯AC⨯r
222
=1⨯（3+3+2）⨯r=22，
2
解得：
r=
2，其体积：
V=4πr3=2π.
233
故答案为：
2π.
3
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
2、（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T16）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1
5
为球心，
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．
【答案】2π.
2
【解析】如图：
取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G，
因为∠BAD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以
D1E=3，D1E⊥B1C1，
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，
因为BB1B1C1=B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB，
3
设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，则D1E⊥EP，
因为球的半径为
，D1E=，所以|EP|=
|DP|2-|DE|2
1
1
5-3
2
==，
5
2
所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为，
2
因为|EF|=|EG|=，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，
因为∠BEF=∠CEG=π，所以∠FEG=π，
114
2
所以根据弧长公式可得FG=π⨯=
2
2π.
22
故答案为：
2π.
2
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
3、（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T13）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB
的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为
1
【答案】
3
【解析】
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点
所以V
A-NMD1
=VD-AMN
=1⨯1⨯1⨯1⨯2=1
323
1
1
故答案为：
3
【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.
4、（2020江苏卷·T9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm.
3
【答案】12-π
2
【解析】正六棱柱体积为6⨯
3⨯22⨯2=12
3
4
圆柱体积为
（1）2⋅2=π
π
22
3
所求几何体体积为12-π
2
3
故答案为：
12-π
2
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
5、（2020天津卷·T15）如图，在四边形ABCD中，∠B=60︒,AB=3，BC=6，且
⋅=-3，则实数λ的值为，若M,N是线段BC上的动点，且|MN|=1，
AD=λBC,
ADAB
2
则DM⋅DN的最小值为．
1
【答案】
（1）.
6
13
（2）.
2
【解析】AD=λBC，∴AD//BC，∴∠BAD=180-∠B=120，
AB⋅AD=λBC⋅AB=λBC⋅AB
cos120
=λ⨯
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