人教版九年级数学下册专题50 函数的应用.docx

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人教版九年级数学下册专题50函数的应用

专题50函数的应用

聚焦考点☆温习理解

1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．

2．利用函数知识解应用题的一般步骤：

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：

一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；

（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；

（4）利用函数的性质解决问题；

（5）写出答案．

3．利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、一次函数相关应用题

【例1】（2015.陕西省，第21题，7分）（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费。

假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人。

（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数

关系式；

（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，

帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

【答案】

（1）甲旅行社：

=

.

乙旅行社：

当

时，

=

.

当x>20时，

=

.

（2）胡老师选择乙旅行社.

【解析】

试题分析：

（1）首先根据优惠方案：

甲总费用y=人均报价的0.85倍×人数；

乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数×报价×打折率，列出y关于x的函数关系式，

（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.

考点：

一次函数的应用、分类思想的应用．

【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．

【举一反三】

（2015·黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路的距离忽略不计）。

一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s（单位：

米）与他所用的时间t（单位：

分钟）之间的函数关系如图所示。

已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上车到他到达学校共用10分钟。

下列说法：

①小明从家出发5分钟时乘上公交车②公交车的速度为400米/分钟

③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟④小明上课没有有迟到。

其中正确的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

【答案】D

考点：

一次函数的实际应用.

考点典例二、反比例函数相关应用题

【例2】某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．

（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：

天）与平均每天的工作量x（单位：

万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；

（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？

【答案】

（1）y=

（2≤x≤3）；

（2）原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．

【解析】

试题分析：

（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；

（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；

试题解析：

（1）由题意得，y=

把y=120代入y=

，得x=3

把y=180代入y=

，得x=2，

∴自变量的取值范围为：

2≤x≤3，

∴y=

（2≤x≤3）；

（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，根据题意得：

解得：

x=2.5或x=-3

经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去，

答：

原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．

考点：

反比例函数的应用；分式方程的应用．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

【举一反三】

甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．

（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？

（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=

），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？

请说明理由．

【答案】

（1）顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元．

（2）p与x之间的函数关系式为p=

，p随x的增大而减小；（3）250＜x＜400，乙商场花钱较少，200≤x＜250，甲商场花钱较少，x=250，两家商场花钱一样多．

【解析】

试题分析：

（1）根据题意直接列出算式510-200即可；

（2）根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况；

（3）先设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400），得出甲商场需花x-100元，乙商场需花0.6x元，然后分三种情况列出不等式和方程即可.

考点：

反比例函数的应用．

【点睛】此题考查了反比例函数的应用，用到的知识点是反比例函数的性质，一元一次不等式等，关键是根据题意求出函数的解析式．

考点典例三、二次函数相关应用题

【例3】（2015.山东青岛第22题，10分）（本小题满分10分）

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用

表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为

m。

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】

，拱顶D到地面OA的距离为10米；可以通过；4

【解析】

试题分析：

根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.

考点：

二次函数的实际应用.

【点睛】根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．

【举一反三】

（2015.安徽省，第22题，12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？

最大值是多少？

【答案】

（1）

（0＜x＜40）；

（2）当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米.

【解析】

试题分析：

（1）设AE=a，由AE·AD=2BE·BC，AD=BC可得BE=

a，AB=

a；根据周长为80米得方程2x+3a+2·

a=80，解得a=20—

x.由y=AB·BC代入即可求y与x之间的函数关系式；根据题意0＜BC+EF＜80，所以x的取值范围为0＜x＜40；

（2）把y与x之间的函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解.

考点：

二次函数的应用及性质.

课时作业☆能力提升

1.（2015.山东临沂第10题，3分）已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：

小时）关于行驶速度v（单位：

千米／小时）的函数关系式是（）

（A）

.（B）

.（C）

.（D）

.

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据行程问题的公式路程=速度×时间，可知汽车行驶的时间t关于行驶速度v的函数关系式为t=

.

考点：

函数关系式

5.（2015.山东莱芜第12题，3分）在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是（）

A．甲先到达终点

B．前30分钟，甲在乙的前面

C．第48分钟时，两人第一次相遇

D．这次比赛的全程是28千米

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据函数的图像，找到相关信息，然后可判断.

A、由横坐标看，甲用时86分，乙用时96分，甲先到达终点，说法正确；

B、由横坐标看，在30分钟以前，说明用相同的时间，甲走的路程多于乙的路程，那么甲在乙的前面，说法正确；

C、由图象上两点（30，10），（66，14）可得线段AB的解析式为y=

x+

，那么由图象可得路程为12时，出现交点，当y=12时，x=48，说法正确；

D、乙是匀速运动，速度为：

12÷48=

，那么全程为

×96=24千米，说法错误.

故选D

考点：

函数的图像的应用

3.（2015·湖北鄂州，9题，3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：

①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=

或

．其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C.

【解析】

试题分析：

由图象可知，A，B两城相距300千米,判断①正确；乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，判断②正确；先求出每段函数的解析式，再求出交点坐标即可判断③正确与否；列方程求解即可

试题解析：

由图象可知，A，B两城相距300千米,判断①正确；

乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，判断②正确；

设甲的解析式为y=k1x，把（5，300）代入，求得：

k1=60，所以y=60x；

设乙的解析式为：

y=k2x+b,

把（1，0）（4，300）代入y=k2x+b，可求得：

k2=100，b=－100，故y=100x－100，

联立

，解得：

x=2.5，y=150

由此知乙车出发后1.5小时追上甲车；故③错误；

分两种情况：

i）当乙在甲后时，设t小时后，两车相距50千米得：

60t－100（t－1）=50

解得：

t=

；

i）当乙在甲前时，设t小时后，两车相距50千米得：

100（t－1）－60t=50

解得：

t=

；故④正确

∴正确的结论有3个

故选C.

考点：

函数的图象．

4.（2015.山东潍坊，第11题，3分）如图，有一块边长为