届高考数学考前回扣教材解析几何.docx

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届高考数学考前回扣教材解析几何

2017届高考数学考前回扣教材-解析几何

回扣7　解析几何1直线方程的五种形式

（1）点斜式：

－1＝（x－x1）（直线过点P1（x1，1），且斜率为，不包括轴和平行于轴的直线）

（2）斜截式：

＝x＋b（b为直线l在轴上的截距，且斜率为，不包括轴和平行于轴的直线）

（3）两点式：

－12－1＝x－x1x2－x1（直线过点P1（x1，1），P2（x2，2），且x1≠x2，1≠2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线）

（4）截距式：

xa＋b＝1（a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线）

（）一般式：

Ax＋B＋＝0（其中A，B不同时为0）

2直线的两种位置关系

当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：

（1）两直线平行l1∥l2⇔1＝2

（2）两直线垂直l1⊥l2⇔1•2＝－1

提醒：

当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略

3三种距离公式

（1）A（x1，1），B（x2，2）两点间的距离：

|AB|＝x2－x12＋2－12

（2）点到直线的距离：

d＝|Ax0＋B0＋|A2＋B2（其中点P（x0，0），直线方程为Ax＋B＋＝0）

（3）两平行线间的距离：

d＝|2－1|A2＋B2（其中两平行线方程分别为l1：

Ax＋B＋1＝0，l2：

Ax＋B＋2＝0）

提醒：

应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，的系数应对应相等

4圆的方程的两种形式

（1）圆的标准方程：

（x－a）2＋（－b）2＝r2

（2）圆的一般方程：

x2＋2＋Dx＋E＋F＝0（D2＋E2－4F>0）

直线与圆、圆与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系：

相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法

（2）圆与圆的位置关系：

相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法

6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

定义|PF1|＋|PF2|＝2a（2a>|F1F2|）||PF1|－|PF2||＝2a（2a<|F1F2|）|PF|＝|P|点F不在直线l上，P⊥l于

标准方程x2a2＋2b2＝1（a>b>0）

x2a2－2b2＝1（a>0，b>0）

2＝2px（p>0）

图形

几何性质范围|x|≤a，||≤b|x|≥ax≥0

顶点（±a，0），（0，±b）（±a，0）（0，0）

对称性关于x轴，轴和原点对称关于x轴对称

焦点（±，0）（p2，0）

轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b

离心率e＝a＝1－b2a2（0<e<1）

e＝a＝1＋b2a2（e>1）

e＝1

准线x＝－p2

渐近线＝±bax

7直线与圆锥曲线的位置关系

判断方法：

通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断

弦长公式：

|AB|＝1＋2|x1－x2|＝1＋12|1－2|

8范围、最值问题的常用解法

（1）几何法

①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度

②圆外一定点P到圆上各点距离的最大值为|P|＋R，最小值为|P|－R（R为圆的半径）

③过圆内一定点P的圆的最长的弦即为经过点P的直径，最短的弦为过点P且与经过点P的直径垂直的弦

④圆锥曲线上本身存在最值问题，如（ⅰ）椭圆上两点间最大距离为2a（长轴长）；（ⅱ）双曲线上两点间最小距离为2a（实轴长）；（ⅲ）椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－，a＋]，a－与a＋分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；（ⅳ）在抛物线上的点中，顶点与抛物线的准线距离最近

（2）代数法

把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解

9定点、定值问题的思路

求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点

求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条列出必要的方程（或不等式），消去参数，最后推出定值

10解决存在性问题的解题步骤

第一步：

先假设存在，引入参变量，根据题目条列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）；

第二步：

解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；

第三步：

得出结论1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错

2易忽视直线方程的几种形式的限制条，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋a＝1；再如，过定点P（x0，0）的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为－0＝（x－x0）等

3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0

4在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合

求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|1－2|A2＋B2，导致错解

6在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条

7易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解

8利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：

其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|如果不满足第一个条，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支

9易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，三者之间的关系，导致计算错误

10已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解

11直线与圆锥曲线相交的必要条是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：

二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行1直线2x－（2＋1）－＝0倾斜角的取值范围为（　　）

A[0，π）B[0，π4]∪[3π4，π）[0，π4]D[0，π4]∪（π2，π）

答案　

解析　由已知可得≥0直线的斜率＝22＋1当＝0时，＝0，当>0时，＝22＋1＝2＋1≤22•1＝1，又因为>0，所以0<≤1综上可得直线的斜率0≤≤1设直线的倾斜角为θ，则0≤tanθ≤1，因为0≤θ<π，所以0≤θ≤π4

2若直线l1：

ax＋2＋6＝0与直线l2：

x＋（a－1）＋a2－1＝0平行，则a等于（　　）

A2或－1B2－1D以上都不对

答案　

解析　由题意a（a－1）＝2，得a＝2或a＝－1当a＝2时，l1方程为2x＋2＋6＝0，即x＋＋3＝0，l2方程为x＋＋3＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当a＝－1时，直线l1，l2的方程分别为－x＋2＋6＝0，x－2＝0，符合题意所以a＝－1故选

3直线x＋＝3a与圆x2＋2＝a2＋（a－1）2相交于点A，B，点是坐标原点，若△AB是正三角形，则实数a等于（　　）

A1B－112D－12

答案　

解析　由题意得，圆的圆心坐标为（0，0），设圆心到直线的距离为d，

所以弦长为2r2－d2＝r，得4d2＝3r2

所以6a2＝3a2＋3（a－1）2，

解得a＝12，故选

4直线3x＋4－＝0与圆x2＋2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　）

A43B3323D3

答案　

解析　由于圆x2＋2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，而圆心（0，0）到直线3x＋4－＝0的距离d＝|－|32＋42＝1，∴|AB|＝2r2－d2＝24－1＝23

与圆1：

x2＋2＋4x－4＋7＝0和圆2：

x2＋2－4x－10＋13＝0都相切的直线条数是（　　）

A4B32D1

答案　B

解析　圆1（－2，2），r1＝1，圆2（2，），r2＝4，

∴|12|＝＝r1＋r2，∴圆1和圆2相外切，

∴与圆1和圆2相切的直线有3条故选B

6已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2＋2＝r2内的一点，直线是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋b＝r2，那么（　　）

A∥l，l与圆相交B⊥l，l与圆相切

∥l，l与圆相离D⊥l，l与圆相离

答案　

解析　以点P为中点的弦所在的直线的斜率是－ab，直线∥l，点P（a，b）是圆x2＋2＝r2内一点，所以a2＋b2<r2，圆心到ax＋b＝r2，距离是r2a2＋b2>r，故相离

7我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（　　）

A7－43B2－33－1D4－23

答案　B

解析　由题意设椭圆方程为x2a2＋2b2＝1，

双曲线方程为x2a21－2b21＝1，且＝1

由题意a•a1＝1，（*）

由∠F1PF2＝30°，由余弦定理得：

椭圆中42＝4a2－（2＋3）|PF1||PF2|，

双曲线中：

42＝4a21＋（2－3）|PF1||PF2|，

可得b21＝（7－43）b2，代入（*）式，

4＝a21a2＝（2－b21）a2＝（8－43）2a2－（7－43）a4，

即e4－（8－43）e2＋（7－43）＝0，

得e2＝7－43，即e＝2－3，故选B

8若椭圆x2a2＋2b2＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线2＝2bx的焦点分成∶3两段，则此椭圆的离心率为（　　）

A2B417173D4

答案　A

解析　∵＋b2－b2＝3，a2－b2＝2，＝2b，

∴2＝4a2，∴e＝a＝2＝2

9如图，已知F1，F2是双曲线：

x2a2－2b2＝1（a>0，b>0）的左，右焦点，|F1F2|＝4，点A在双曲线的右支上，线段AF1与双曲线左支相交于点B，△F2AB的内切圆与BF2相切于点E，若|AF2|＝2|BF1|，|BE|＝22，则双曲线的离心率为________答案　2

解析　设|AF2|＝2|BF1|＝2，

由题意得|AF1|＝2＋2a，|BF2|＝＋2a，

因此|AB|＝＋2a，2|BE|＝|AB|＋|BF2|－|AF2|＝4a，

即a＝2，又|F1F2|＝4ͤ＝2，所以离心率为a＝2

10已知F1，F2是双曲线x216－29＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________

答案　16

解析　由双曲线方程x216－29＝1知，2a＝8，

由双曲线的定义得，|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①

|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②

①＋②得|PF2|＋|QF2|－（|QF1|＋|PF1|）＝16，

∴|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16

11抛物线2＝4x的焦点到双曲线x2－23＝1的渐近线的距离是________

答案　32

解析　抛物线2＝4x的焦点为（1，0），双曲线x2－23＝1的渐近线为＝±bax，即＝±3x由于焦点（1，0）到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离d＝|3|3＋1＝32

12过抛物线2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝212，|AF|<|BF|，则|AF|＝________

答案　6

解析　∵1|AF|＋1|BF|＝2p＝2，

|AB|＝|AF|＋|BF|＝212，|AF|<|BF|，

∴|AF|＝6，|BF|＝4

13已知圆F1：

（x＋1）2＋2＝r2与圆F2：

（x－1）2＋2＝（4－r）2（0<r<4）的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与轴的正半轴相交于点若曲线E上相异两点A、B满足直线A，B的斜率之积为14

（1）求曲线E的方程；

（2）证明：

直线AB恒过定点，并求定点的坐标；

（3）求△AB的面积的最大值

解　

（1）设圆F1，圆F2的公共点为Q，

由已知得，|F1F2|＝2，|QF1|＝r，|QF2|＝4－r，

故|QF1|＋|QF2|＝4>|F1F2|，

因此曲线E是长轴长2a＝4，焦距2＝2的椭圆，且b2＝a2－2＝3，所以曲线E的方程为x24＋23＝1

（2）由曲线E的方程得，上顶点（0，3），记A（x1，1），B（x2，2），由题意知，x1≠0，x2≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝x1，故1＝－2，且21＝22＝3（1－x214），因此A•B＝1－3x1•2－3x2＝－21－3x21＝34，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：

＝x＋，代入椭圆E的方程x24＋23＝1，得（3＋42）x2＋8x＋4（2－3）＝0①

因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，

所以x1＋x2＝－83＋42，x1x2＝42－33＋42，

又A＝1－3x1＝x1＋－3x1，

B＝2－3x2＝x2＋－3x2，

由A•B＝14，

得4（x1＋－3）（x2＋－3）＝x1x2，

即（42－1）x1x2＋4（－3）（x1＋x2）＋4（－3）2＝0，

所以4（2－3）（42－1）＋4（－3）（－8）＋4（－3）2（3＋42）＝0，

化简得2－33＋6＝0，故＝3或＝23，

结合x1x2≠0知＝23，即直线AB恒过定点N（0，23）

（3）由Δ>0且＝23得<－32或>32，

又S△AB＝|S△AN－S△BN|＝12|N|•|x2－x1|

＝32x1＋x22－4x1x2

＝32－83＋422－4•42－33＋42

＝642－93＋42＝642－9＋1242－9≤32，

当且仅当42－9＝12，即＝±212时，△AB的面积最大，最大值为32