浙江专版高中物理第十一章机械振动第4节单摆学案新人教版选修340529262.docx

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浙江专版高中物理第十一章机械振动第4节单摆学案新人教版选修340529262

第4节单____摆

单摆、单摆的回复力

[探新知·基础练]

1．单摆

用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。

单摆是实际摆的理想化模型。

2．单摆的回复力

（1）回复力的提供：

摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

（2）回复力的特点：

在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－

x。

（3）单摆的运动规律：

单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。

[辨是非]（对的划“√”，错的划“×”）

1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。

（×）

2．单摆的回复力是重力和拉力的合力。

（×）

3．一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。

（×）

[释疑难·对点练]

1．单摆

（1）单摆是实际摆的理想化模型。

（2）实际摆看作单摆的条件

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多；

②悬线的质量与摆球质量相比小得多；

③摆球的直径与摆线长度相比小得多。

2．单摆的回复力

如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：

F＝G1＝mgsinθ。

3．单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sinθ≈

，又回复力F＝mgsinθ，所以单摆的回复力为F＝－

x（式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反），由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

[试身手]

1．（多选）制作一个单摆，合理的做法是（　　）

A．摆线细而长　　　　　　　　B．摆球小而不太重

C．摆球外表面光滑且密度大D．端点固定且不松动

解析：

选ACD　根据构成单摆的条件判断，易知A、C、D正确。

单摆的周期

[探新知·基础练]

1.探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响

（1）探究方法：

控制变量法。

（2）实验结论：

①单摆振动的周期与摆球质量无关；

②振幅较小时周期与振幅无关；

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．周期公式

荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：

T＝2π

。

[辨是非]（对的划“√”，错的划“×”）

1．荷兰物理学家惠更斯发现单摆振动的周期与振幅无关。

（×）

2．单摆在振幅较小时周期较大。

（×）

3．单摆的周期公式都可以用T＝2π

求解。

（×）

[释疑难·对点练]

1．对周期T的理解

（1）单摆的周期T＝2π

为单摆的固有周期，相应地f＝

为单摆的固有频率。

（2）单摆的周期公式在最大偏角小于5°时成立。

（3）周期为2s的单摆叫秒摆。

2．对单摆周期公式中摆长l和重力加速度g的理解

（1）l为单摆的摆长：

因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。

如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，而且OO′＝

l，求各摆的周期。

甲：

等效摆长l′＝lsinα，T甲＝2π

。

乙：

等效摆长l′＝lsinα＋l，T乙＝2π

。

丙：

摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变为O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为（l－

），即为

l，则单摆丙的周期为T丙＝π

＋π

。

（2）等效重力加速度g不一定等于9.8m/s2

g由单摆所在的空间位置决定。

由g＝G

知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。

g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆球处于超重状态，沿轨迹圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g′＝g＋a，若升降机加速下降，则g′＝g－a。

单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。

[试身手]

2．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙（α甲、α乙都小于5°），在同一地点由静止开始同时释放，则（　　）

A．甲先到达平衡位置B．乙先到达平衡位置

C．甲、乙同时到达平衡位置D．无法判断

解析：

选C　由单摆的周期公式T＝2π

，可知周期T只与l、g有关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故甲、乙同时到达平衡位置，C正确。

探究单摆周期与摆长的关系

[探新知·基础练]

1．实验原理图

2．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

（1）探究方法：

控制变量法。

（2）实验结论

①单摆振动的周期与摆球的质量无关；

②振幅较小时，周期与振幅无关；

③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

3．定量探究单摆的周期与摆长的关系

（1）周期的测量：

用停表测出单摆做N（30～50）次全振动所用的时间t，利用T＝

计算它的周期。

（2）摆长的测量：

用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋

求出摆长。

（3）数据处理：

改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出Tl、Tl2或T

图象，得出结论。

4．周期公式

（1）公式的提出：

周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

（2）公式：

T＝2π

，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。

（3）应用——测重力加速度：

由T＝2π

得g＝

，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。

[辨是非]（对的划“√”，错的划“×”）

1．测量单摆周期时，应在摆球摆到最高处开始计时，并数准全振动的次数。

（×）

2．用毫米刻度尺量出放在桌面的细线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。

（×）

3．小球应该选择体积小、密度大的金属球。

（√）

[释疑难·对点练]

1．实验所需器材

带孔小钢球一个、细线一条（约1m长）、铁架台、刻度尺、停表、游标卡尺等。

2．实验步骤

（1）做单摆：

①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；

②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。

（2）测摆长：

用毫米刻度尺量出悬线长l′，以毫米为单位记录数据；用游标卡尺测量出摆球的直径D，以毫米为单位记录数据；则l＝l′＋

，即为单摆的摆长。

（3）测周期：

将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。

计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。

（4）秒表的读数方法

所测时间超过半分钟时，半分钟的整数倍部分由分针读出，不足半分钟的部分由秒针读出，总时间为两针示数之和。

如图甲所示，小圆刻度盘上分针所指示的刻度数值超过了1.5min，指针在1.5min和2min之间，其分针指示时间数可记为t1＝1.5min，而大圆刻度盘上秒针所指示的刻度线为21.4，故秒针所测得的数值为t2＝21.4s，所测时间读数为：

t＝t1＋t2＝1min30s＋21.4s＝1min51.4s。

图乙的读数是2min7.6s。

（5）变摆长：

将单摆的摆长变短（或变长），重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。

（6）作图象，探规律。

3．实验操作注意事项

（1）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。

（2）摆球在同一平面内振动且摆角小于10°。

（3）选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。

（4）小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。

（5）选用长一米左右的细线。

[试身手]

3．（多选）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是（　　）

A．适当加长摆线

B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的

C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大

D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期

解析：

选AC　适当加长摆线有利于测量摆长，使相对误差减小，另外有利于控制摆角不过大，因此选项A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，选项B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，因为若偏角太大，单摆的运动就不能看作简谐运动，选项C正确；经过一次全振动后停止计时，所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，选项D错误。

对单摆回复力的理解

[典例1]　振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是（　　）

A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点

B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线

C．合力不为零，方向沿轨迹的切线

D．回复力为零，合力也为零

[解析]选A　单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）。

故A正确。

（1）单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。

单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。

（2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。

（3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

单摆周期的应用

[典例2]　若单摆的摆长不变，摆球的质量由20g增加为40g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的（　　）

A．频率不变，振幅不变

B．频率不变，振幅改变

C．频率改变，振幅不变

D．频率改变，振幅改变

[解析]选B　单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T＝2π

不变，频率f＝

不变；摆长不变时，摆角越小，振幅越小，选项B正确。

（1）在运用T＝2π

时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时对应的周期。

（2）改变单摆振动周期的途径：

①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度（如改变单摆的位置或让单摆失重或超重）。

（3）明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。

探究影响单摆周期的因素

[典例3]　某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。

（1）（多选）他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。

这样做的目的是________（填字母代号）。

A．保证摆动过程中摆长不变

B．可使周期测量得更加准确

C．需要改变摆长时便于调节

D．保证摆球在同一竖直平面内摆动

（2）他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.9990m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为________mm，单摆摆长为________m。

（3）下列振动图象真实地描述了对摆长约为1m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________（填字母代号）。