三元一次方程及其解法.docx

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三元一次方程及其解法

专题：

三元一次方程及其解法

---一次性方程

序言：

方程

含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：

等式两边同时加［或减］同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式

用字母表示为：

若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。

则：

［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ

［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ

等式的基本性质２：

等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是等式

３若a=b,则b=a（等式的对称性）

４若a=b,b=c则a=c（等式的传导性）

方程：

含有未知数的等式叫做方程

方程的解：

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

解方程：

求方程的解的过程叫做解方程

移项：

把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质１。

一元一次方程

一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=0（a，b为常数，a不等于零）

１去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数

２去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率

３移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

４合并同类项将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式

５系数化１方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解

同解方程：

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程

方程的同解原理：

１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程

２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程

列一元一次方程解应用题的一般步骤：

１认真审题

２分析已知和未知的量

３找一个等量关系

４解方程

５检验

６写出答，解

二元一次方程

二元一次方程：

如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。

二元一次方程组：

把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。

二元一次方程的解：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解

消元：

将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想

消元的方法有两种：

代入消元法加减消元法

三元一次方程

三元一次方程：

含有三个未知数的一次方程

三元一次方程组：

由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组

三元一次方程组的解：

利用消元思想使三元变二元，再变一元

方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。

定义：

方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组．

解题思路：

三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．

一、三元一次方程组之特殊型

例1：

解方程组

分析：

方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。

解法1：

代入法，消x.

把③分别代入①、②得

解得

把y=2代入③，得x=8.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：

有表达式，用代入法型.

针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。

解法2：

消z.

①×5得5x+5y+5z=60④

④-②得4x+3y=38⑤

由③、⑤得

解得

把x=8,y=2代入①得z=2.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型二：

缺某元，消某元型.

例2：

解方程组

分析：

通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。

具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。

解：

由①+②+③得4x+4y+4z=48，

即x+y+z=12.④

①-④得x=3，

②-④得y=4，

③-④得z=5，

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

解：

由①+②+③得2（x+y+z）=60，

即x+y+z=30.④

④-①得z=10，

④-②得y=11，

④-③得x=9，

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型三：

轮换方程组，求和作差型.

例3：

解方程组

分析1：

观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:

y=1:

2得y=2x；由x:

z=1:

7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即

，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。

解法1：

由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.

把x=1，代入y=2x，得y=2；

把x=1，代入z=7x，得z=7.

∴

是原方程组的解.

分析2：

由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:

y:

z=1：

2：

7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。

解法2：

由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.

把k=1，代入x=k，得x=1；

把k=1，代入y=2k，得y=2；

把k=1，代入z=7k，得z=7.

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

分析1：

观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=

y；由③得z=

.从而利用代入法求解。

解法1：

略.

分析2：

受例3解法2的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:

y:

z的形式呢？

通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:

x=15:

10，由③×3得y:

z=15:

12,于是得到x:

y:

z=10:

15:

12,转化为学生熟悉的方程组形式，学生就会解决了。

解法2：

由②、③得x:

y:

z=10:

15:

12.

设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.

把k=3，代入x=10k，得x=30；

把k=3，代入y=15k，得y=45；

把k=3，代入z=12k，得z=36.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型四：

遇比例式找关系式，遇比设元型.

二、三元一次方程组之一般型

例4：

解方程组

分析：

对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：

一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：

（一）消元的选择

1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；

2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。

（二）方程式的选择

采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。

解：

（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）

①+③得5x+2y=16，④（体现第一次使用在①③后做记号√）

②+③得3x+4y=18，⑤（体现第二次使用在②③后做不同记号△）

由④、⑤得

解得

把x=2，y=3代人②，得z=1.

∴

是原方程组的解.

典型例题举例：

解方程组

分析：

通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。

以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。

解：

②×2得6x－4y+10z=22，④

2x+4y+3z=9，①

①+④得8x+13z=31.⑤

②×3得9x－6y+15z=33，⑥

5x－6y+7z=13，③

⑥－③得4x+8z=20.

x+2z=5.⑦

由⑤、⑦得

解得

把x=-1，z=3代人①，得

.

∴

是原方程组的解.

在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。

三元一次方程组的实际应用

EG01:

某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？

共有多少套？

解：

设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得

x+y+z=60

24x/9=20y/15=16z/12

解得x=12,y=24,z=24

24×12/9=32

答：

安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.

EG02:

甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。

解:

设甲是x，乙是y，丙是z

则x+y+z=35

（1）

甲数的2倍比乙数大5

2x-y=5

（2）

乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2

y/3=z/2（3）

由

（2）和（3）得到

y=2x-5,z=2y/3=（4x-10）/3

代入

（1）

x+2x-5+4x/3-10/3=35

13x/3=130/3

x=10

y=2x-2=15

z=2y/3=10

所以

甲是10，乙是15，丙是10

EX:

1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。

问甲乙丙每件各多少元？

2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？

去时上下坡路各有多少公里？

3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。

求三个年级各有多少人？

AW:

1式子：

3x+7y+z=31.54x+10y+z=42x+y+z=10.5

答案：

这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5）就行，真不知楼上怎么算出来的。

。

2：

去时上坡x平路y下坡z

x+y+z=142x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7答案：

x=42y=30z=70

3:

初一：

x初二：

y初三：

zx+y+z=651y=1.1zx=1.05y答案：

x=231y=220z=200

训练集中营1。

现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？

2。

甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。

平路。

下坡的路程各是多少？

3。

水费价格：

不超过6立方米部分，每立方米2元。

超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。

超过10立方米部分，每立方米8元。

某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？

如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？

4。

某足球联赛一个赛