一元二次方程的应用 增长率问题有答案.docx

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一元二次方程的应用增长率问题有答案

一元二次方程的应用（增长率问题）

解答题

1.光华机械厂生产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，2001年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程；一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

本题是关于增产率的问题，设平均每年增长的百分率为x，由1999年的产量可知2000年和2001年的产量，根据题意列方程，可求出增长的百分率．

解答：

解：

设平均每年增产的百分率为x，因为1999年的产量为2000件，所以2000年的产量为2000（1+x）件，2001年的产量为2000（1+x）2件，依题意列方程：

2000（1+x）2=2420

解方程得：

（1+x）2=1.21

1+x=±1.1

1+x=1.1或1+x=-1.1

∴x=0.1=10%或x=-2.1（不合题意，舍去）

故增产率为10%．答：

平均每年增长的百分率为10%．

点评：

根据题意设平均每年增长的百分率为x，由1999年的产量可知2000年和2001年的产量，找出等量关系列出一元二次方程，解出一元二次方程，求出x．

2.某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．

（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；

（2）设

（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12-4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．

考点：

一元二次方程的应用；根与系数的关系．专题：

增长率问题．

分析：

（1）等量关系为：

2011年某市用于保障房建设资金×（1+增长率）2=2013年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可．

（2）理由上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得m的值即可．

解答：

解：

（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，

根据题意得：

3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5…（3分）

（2）由

（1）得，x2+3x-0.5=0…（4分）

由根与系数的关系得，x1+x2=-3，x1x2=-0.5…（5分）

又∵mx12-4m2x1x2+mx22=12（mx1的平方）

m[（x1+x2）2-2x1x2]-4m2x1x2=12

m[9+1]-4m2•（-0.5）=12

∴m2+5m-6=0

解得，m=-6或m=1…（8分）

点评：

考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

3.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：

打九折销售；

方案二：

不打折，每吨优惠现金200元．

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；

（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．

解答：

解

（1）设平均每次下调的百分率为x．

由题意，得5（1-x）2=3.2．

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．

因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，

符合题目要求的是x1=0.2=20%．

答：

平均每次下调的百分率是20%．

（2）小华选择方案一购买更优惠．

理由：

方案一所需费用为：

3.2×0.9×5000=14400（元），

方案二所需费用为：

3.2×5000-200×5=15000（元）．

∵14400＜15000，

∴小华选择方案一购买更优惠．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时注意其固定的等量关系．

4.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数5000（1+x）2万人次．根据题意得方程求解；

（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．

解答：

解：

（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得

5000（1+x）2=7200．

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，

则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．

答：

预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．

点评：

此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．

5.某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：

先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？

为什么？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；

（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较即可求解．

解答：

解：

（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，

7000（1-x）2=5670，

解得：

x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；

答：

平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1-5%）×（1-15%）

=95%×85%

=80.75%，

（1-x）2=（1-10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，

∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

点评：

此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：

原每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格．

6.2008年漳州市出口贸易总值为22.52亿美元，至2010年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长．

（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；

（2）按这样的速度增长，请你预测2011年漳州市的出口贸易总值．

（温馨提示：

2252=4×563，5067=9×563）

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；

2010年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；

（2）2011年出口贸易总值=50.67（1+x）．

解答：

解：

（1）设年平均增长率为x，依题意得…（1分）

22.52（1+x）2=50.67，…（3分）

1+x=±1.5，

∴x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）．…（5分）

答：

这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%；…（6分）

（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿美元）．…（9分）

答：

预测2011年漳州市的出口贸易总值76.005亿美元．…（10分）

点评：

此题考查一元二次方程的应用．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据．

7.国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．

请问哪种方案更优惠？

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）关系式为：

原价×（1-降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；

（2）①费用为：

总房价×9.810（10分之9.8）

；

②费用为：

总房价-2×12×1.5×平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可．

解答：

解：

（1）设平均每次下调的百分率为x．

5000×（1-x）2=4050．

（1-x）2=0.81，

∴1-x=±0.9，

∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．

答：

平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案一的总费用为：

100×4050×9.810=元；

方案二的总费用为：

100×4050-2×12×1.5×100=元；

∴方案一优惠．

点评：

主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．

8.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

考点：

一元二次方程的应用．专题：

增长率问题．

分析：

（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；

（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果

解答：

解：

（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）

根据题意，得：

2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，

整理，得：

x2+3x-1.75=0，（3分）

解之，得：

x=-3±9+4×1.752，（解含有根号）

∴x1=0.5，x2=-3.5（舍去），（5分）

答：

每年市政府投资的增长率为50%；（6分）

（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷28=38（万平方米）．（8分）（除8分之2）

点评：

主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．

9.随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3200人，截止到2010年底报名人数已达到5000人．

（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．

（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？

考点：

一元二次方程的应用．

分析：

（1）设增长率是x，则增长2次以后的报名人数是3200（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可；

（2）先求出2011年底的报名人数