河南版中考数学第二节 一元二次方程.docx

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河南版中考数学第二节一元二次方程

第二节　一元二次方程

A组　基础题组

一、选择题

1.（2017河南检测

（二））方程x2=4x的解是（　　）

A.x=4B.x=2

C.x=4或x=0D.x=0

2.（2017山东泰安）一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为（　　）

A.（x-3）2=15B.（x-3）2=3

C.（x+3）2=15D.（x+3）2=3

3.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x（x-2）=0,从而得到两个一元一次方程:

3x=0,x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是（　　）

A.转化思想B.函数思想

C.数形结合思想D.公理化思想

4.（2017安徽）一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足（　　）

A.16（1+2x）=25B.25（1-2x）=16

C.16（1+x）2=25D.25（1-x）2=16

5.（2018河南郑州二模）如图,某小区有一块长为30m,宽为24m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,两块绿地的面积之和为480m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行道,设人行道的宽度为xm,根据题意,下面所列方程正确的是（　　）

A.（30-3x）（24-2x）=480

B.（30-3x）（24-x）=480

C.（30-2x）（24-2x）=480

D.（30-x）（24-2x）=480

6.（2018河南南阳一模）关于x的一元二次方程（a-1）·x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为（　　）

A.1或-1B.1C.-1D.0

7.（2018安徽）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为（　　）

A.-1B.1C.-2或2D.-3或1

8.（2018河南焦作第一次联合质量检测）下列关于x的一元二次方程中,有两个相等的实数根的是（　　）

A.x2+1=0B.x2+x-1=0

C.x2+2x-3=0D.4x2-4x+1=0

9.（2017河南新乡一调）若关于x的一元二次方程（x+1）（x-3）=m有实数根,则m的最小整数值为（　　）

A.-4B.-3C.-2D.4

二、填空题

10.（2018湖南长沙）已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为　　　　. 

11.（2016河南,11,3分）若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是　　　　. 

12.（2017河南濮阳一模）若关于x的一元二次方程（a-1）x2-x+1=0有实数根,则a的取值范围为　　　　　　　　. 

13.（2018江苏南通）若关于x的一元二次方程

x2-2mx-4m+1=0有两个相等的实数根,则（m-2）2-2m（m-1）的值为　　　. 

三、解答题

14.（2018黑龙江齐齐哈尔）解方程:

2（x-3）=3x（x-3）.

15.（2017河南郑州一模）已知关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根.

（1）求m的取值范围;

（2）若方程有一个根为x=1,求m的值及另一个根.

16.（2018四川成都）若关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.

17.（2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

（1）当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;

（2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.

B组　提升题组

一、选择题

1.（2018河南平顶山第一次调研）已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,若k为非负整数,则k等于（　　）

A.0B.1C.0,1D.2

2.（2017中原名校第二次大联考）关于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（　　）

A.-1

C.m>1D.m<1且m≠0

3.（2016内蒙古呼和浩特）已知a≥2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则（m-1）2+（n-1）2的最小值是（　　）

A.6B.3C.-3D.0

4.（2018泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5的根的情况是（　　）

A.无实数根

B.有一个正根,一个负根

C.有两个正根,且都小于3

D.有两个正根,且有一个根大于3

5.（2018乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?

设房价定为x元,则有（　　）

A.（180+x-20）

=10890

B.（x-20）

=10890

C.x

-50×20=10890

D.（x+180）

-50×20=10890

二、填空题

6.（2018黔西南州）三角形的两边长分别为3、6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的解,则此三角形的周长是　　　. 

三、解答题

7.（2017河南郑州二模）已知关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0.

（1）若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;

（2）若k=4,且方程的两根恰好是一个矩形的两邻边长,求该矩形的周长.

8.阅读下面的材料,回答问题:

解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:

设x2=y,那么x4=y2,

于是原方程可化为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.

当y=1时,x2=1,∴x=±1;

当y=4时,x2=4,∴x=±2.

∴原方程有四个解:

x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.

（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用　　　法达到　　　的目的,体现了数学的转化思想; 

（2）解方程:

（x2+x）2-4（x2+x）-12=0.

9.（2017四川眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:

生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品?

（2）由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?

10.（2016河南信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0.

（1）求证:

无论k取何实数,该方程总有实数根;

（2）若等腰△ABC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根,求△ABC的周长.

11.（2017河南仿真预测）已知关于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-1=0（m≠0）.

（1）求证:

方程总有实数根;

（2）若Rt△ABC的一边长为2,另两边长恰好是该方程的两个根,求Rt△ABC的周长及此时对应的m的值.

答案精解精析

A组　基础题组

一、选择题

1.C　移项,得x2-4x=0,分解因式,得x（x-4）=0,解得x=4或x=0.

2.A　∵x2-6x-6=0,∴x2-6x=6,

x2-6x+9=6+9,（x-3）2=15.故选A.

3.A

4.D　第一次降价后的单价为25（1-x）元,第二次降价后的单价为25（1-x）2元,

∴25（1-x）2=16,故选D.

5.A　根据题意,利用平移法可得（30-3x）·（24-2x）=480.故选A.

6.C　由题意可知x=0是关于x的一元二次方程的一个根,∴a2-1=0且a-1≠0,解得a=-1.故选C.

7.A　原方程可化为x2+（a+1）x=0,由题意得Δ=（a+1）2=0,解得a=-1,故选A.

8.D　A中,b2-4ac=02-4×1×1=-4<0,

∴此方程无实根;

B中,b2-4ac=12-4×1×（-1）=5>0,

∴此方程有两个不相等的实数根;

C中,b2-4ac=22-4×1×（-3）=16>0,

∴此方程有两个不相等的实数根;

D中,b2-4ac=（-4）2-4×4×1=0,∴此方程有两个相等的实数根.故选D.

9.A　化简方程为x2-2x-（3+m）=0.由题意得Δ≥0,即（-2）2+4（3+m）≥0,解得m≥-4,∴m的最小整数值是-4,故选A.

二、填空题

10.答案　2

解析　设方程的另一个根为t,

∵关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,

∴1+t=3,解得t=2.

故方程的另一个根为2.

11.答案　k>-

解析　根据题意得Δ=b2-4ac=9+4k>0,所以k>-

.

12.答案　a≤

且a≠1

解析　∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-x+1=0有实根,∴Δ≥0,即（-1）2-4（a-1）≥0.

解得a≤

.

又∵a-1≠0,∴a≠1.

故答案为a≤

且a≠1.

13.答案　

解析　由题意可知Δ=4m2-2（1-4m）=4m2+8m-2=0,

∴m2+2m=

.

∴（m-2）2-2m（m-1）

=-m2-2m+4

=-

+4

=

.

故答案为

.

三、解答题

14.解析　原方程可化为2（x-3）-3x（x-3）=0,

整理得（x-3）（2-3x）=0,

即x-3=0或2-3x=0,

解得x1=3,x2=

.

15.解析　

（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根,

∴Δ=b2-4ac=22-4×1×[-（m-2）]≥0,

解得m≥1.

即实数m的取值范围为m≥1.

（2）因为方程有一个根为x=1,代入原方程得1+2-（m-2）=0,得m=5.

所以原方程为x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3.

所以此方程的另一个根为x=-3.

16.解析　由题意可知Δ=[-（2a+1）2]-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1.

∵原方程有两个不相等的实数根,∴4a+1>0,∴a>-

.

17.解析　

（1）依题意,得Δ=（a+2）2-4a=a2+4>0.

故方程有两个不相等的实数根.

（2）由题意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0.

答案不唯一,如:

当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,

∴（x+1）2=0,

∴x1=x2=-1.

B组　提升题组

一、选择题

1.B　由题意得4-4k≥0且k≠0,

解得k≤1且k≠0.

又∵k为非负整数,

∴k=1.故选B.

2.B　∵关于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,

∴Δ>0且|m|≠0,即（-2）2-4|m|>0且|m|≠0,

解得-1

3.A　由题意知m,n可看作一元二次方程x2-2ax+2=0的两个实数根,所以m+n=2a,mn=2.

则（m-1）2+（n-1）2=m2+n2-2（m+n）+2

=（m+n）2-2（mn+m+n）+2

=4a2-4a-2=4

-3.

因为a≥2,所以当a=2时,4

-3有最小值6,

即（m-1）2+（n-1）2的最小值是6.故选A.

4.D　（x+1）（x-3）=2x-5,

整理得x2-2x-3=2x-5,

则x2-4x+2=0,

（x-2）2=2,

解得x1=2+

>3,x2=2-

故有两个正根,且有一个根大于3.

故选D.

5.B　当房价定为x元时,空闲的房间有

个,所以有游客居住的房间有

个,则宾馆当天的利润为

（x-20）元,故B正确.

二、填空题

6.答案　13

解析　∵x2-6x+8=0,

∴（x-2）（x-4）=0,

∴x-2=0或x-4=0,

解得x1=2,x2=4,

当x=2时,2+3<6,不符合三角形的三边关系定理,所以x=2舍去,

当x=4时,符合三角形的三边关系定理,三角形的周长是3+6+4=13,

故答案为13.

三、解答题

7.解析　

（1）∵关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根,

∴Δ>0,即[-（2k+1）]2-4（k2+1）>0,解得k>

.

∴k的取值范围是k>

.

（2）当k=4时,原方程可化为x2-9x+17=0,

设方程的两根分别是x1、x2,则矩形的两邻边的长分别是x1、x2,

∵x1+x2=9,∴矩形的周长为2（x1+x2）=2×9=18.

8.解析　

（1）换元;降次.

（2）设x2+x=y,原方程可化为y2-4y-12=0,

解得y1=6,y2=-2.

由x2+x=6,得x1=-3,x2=2.

由x2+x=-2,得方程x2+x+2=0,

Δ=b2-4ac=1-4×2=-7<0,此时方程无实根.

所以原方程的解为x1=-3,x2=2.

9.解析　

（1）（14-10）÷2+1=3.

答:

此批次蛋糕属第3档次产品.

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品,

根据题意,得[10+2（x-1）]·[76-4（x-1）]=1080,

整理,得x2-16x+55=0,

解得x1=5,x2=11（舍）.

经检验符合题意.

答:

该烘焙店生产的是第5档次的产品.

10.解析　

（1）证明:

Δ=[-（k+3）]2-4×3k=（k-3）2≥0,故无论k取何实数,该方程总有实数根.

（2）分两种情况:

①当等腰△ABC的底边长为2时,方程有两个相等的实数根,即（k-3）2=0,解得k=3,∴原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3,即腰长为3,显然2,3,3能构成三角形.故△ABC的周长为2+3+3=8;

②当等腰△ABC的一腰长为2时,方程有一根为2,代入原方程可知k=2,

∴原方程可化为x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,显然2,2,3能构成三角形,故△ABC的周长为2+2+3=7.

综上可知,△ABC的周长为8或7.

11.解析　

（1）证明:

∵Δ=[-（m-1）]2-4m×（-1）=（m+1）2≥0.

∴方程总有实数根.

（2）由

（1）知,Δ=（m+1）2.

∴一元二次方程mx2-（m-1）x-1=0的根为x=

=1或x=

=-

由Rt△ABC的边长分别为1,2,-

可知12+

=22或12+22=

-

>0.

∴m=-

或m=-

.

此时对应的Rt△ABC的周长分别为3+

或3+

.