机械原理使用矩阵法对图所示机构进行运动分析.docx
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机械原理使用矩阵法对图所示机构进行运动分析
机械原理使用矩阵法对图所示机构进行运动分析
机械原理作业
使用矩阵法对图所示机构进行运动分析，写出C点的位置，速度及加速度方程。
由封闭形ABCDEA与AEFA得L6+L4+L3=L1+L2
L1’=L6+L4’
（1）位置分析
机构的封闭矢量方程式写成在两坐标上的投影表达式：
由以上方程求出θ2θ3θ4L1’
利用非线性超越方程组牛顿—辛普森求解方法原理：
设：
f1（θ2θ3θ4L1’）=L2cosθ2-L3cosθ3+L4cosθ4-L1cosθ1-L6=0
f2（θ2θ3θ4L1’）=L2sinθ2-L3sinθ3+L4sinθ4-L1θ1=0
f3（θ2θ3θ4L1’）=-L4’θ4+L1’cosθ1-L6=0
f3（θ2θ3θ4L1’）=-L4’sinθ4+L1’sinθ1=0
J=[-x（6）*sin（theta2）x（7）*sin（theta3）-x（8）*sin（theta4）0;
x（6）*cos（theta2）-x（7）*cos（theta3）x（8）*cos（theta4）0;
00x（10）*sin（theta4）cos（x
（1））;
00-x（10）*cos（theta4）sin（x
（1））]
（2）速度分析
对位置方程组求导：
-L2*w2*sinθ2+L3*w3*sinθ3-L4*w4*sinθ4+L1*w1sinθ1=0
L2*w2*cosθ2-L3*w3*cosθ3+L4*w4*cosθ4-L1*w1cosθ1=0
L4’*w4*sinθ4+L1’’*cosθ1-L1’*w1*sinθ1=0
-L4’*w4*cosθ4+L1’’*sinθ1+L1’*w1*cosθ1=0
可得w2、w3、w4、L1’’。
上式表达为矩阵形式：
-L2*sinθ2L3*sinθ3-L4*sinθ40w2-L1*sinθ1
L2*cosθ2-L3*cosθ3L4*cosθ40w3L1*cosθ1
00L4’*sinθ4cosθ1w4L1’*sinθ1
00-L4’*cosθ4sinθ1L1’’-L1’*cosθ1
（3）加速度分析
将速度方程求导，可得加速度关系式
≈
-L2*w2*cosθ2L3*w3*cosθ3-L4*w4*cosθ40w2
-L2*w2*sinθ2L3*w3*sinθ3-L4*w4*sinθ40w3
00L4’*w4*cosθ4-w1*sinθ1w4
00-L4’*w4*sinθ4w1*cosθ1L1’’
-L2*sinθ2L3*sinθ3-L4*sinθ40α2
+L2*cosθ2-L3*cosθ3L4*cosθ40α3
00L4’*sinθ4cosθ1α4
00-L4’*cosθ4sinθ1L1’’’
-L1*w1*cosθ1
w1-L1*w1*sinθ1
L1’’*sinθ1+L1’*w1*cosθ1
-L1’’*cosθ1+L1’*w1*sinθ1
用MATLAB编程运行
（1）对位置方程进行求解
在此机构中，因为FE杆是定值60mm、AE为定值70mm，当DE杆垂直于BF杆时，θ1达到最大值，即sinθ1（max）=EF/AE=60/70，可得θ1（max）=58.99*pi/180。
编制程序如下：
functiony=rrrposi（x）
%
%ScriptusedtoimplementNewton-Raphonmechodfor
%solvingnonlinearpositionofRRRbargroup
%
%Inputparameters
%
%x
（1）=theta-1
%x
（2）=theta-2guessvalue
%x（3）=theta-3guessvalue
%x（4）=theta-4guessvalue
%x（5）=r1
%x（6）=r2
%x（7）=r3
%x（8）=r4
%x（9）=r5
%x（10）=r6
%x（11）=r7guessvalue
%
%Outputparamenters
%
%y
（1）=theta-2
%y
（2）=theta-3
%y（3）=theta-4
%y（4）=r7
%
theta2=x
（2）;
theta3=x（3）;
theta4=x（4）;
r8=x（11）
%
epsilon=1.0E-6;
%
f=[-x（5）*cos（x
（1））+x（6）*cos（theta2）-x（7）*cos（theta3）+x（8）*cos（theta4）-x（9）;
-x（5）*sin（x
（1））+x（6）*sin（theta2）-x（7）*sin（theta3）+x（8）*sin（theta4）;
-x（9）-x（10）*cos（theta4）+r8*cos（x
（1））;
-x（10）*sin（theta4）+r8*sin（x
（1））];
%
whilenorm（f）>epsilon
J=[-x（6）*sin（theta2）x（7）*sin（theta3）-x（8）*sin（theta4）0;
x（6）*cos（theta2）-x（7）*cos（theta3）x（8）*cos（theta4）0;
00x（10）*sin（theta4）cos（x
（1））;
00-x（10）*cos（theta4）sin（x
（1））];
dth=inv（J）*（-1.0*f）;
theta2=theta2+dth
（1）;
theta3=theta3+dth
（2）;
theta4=theta4+dth（3）;
r8=r8+dth（4）;
%
f=[-x（5）*cos（x
（1））+x（6）*cos（theta2）-x（7）*cos（theta3）+x（8）*cos（theta4）-x（9）;
-x（5）*sin（x
（1））+x（6）*sin（theta2）-x（7）*sin（theta3）+x（8）*sin（theta4）;
-x（9）-x（10）*cos（theta4）+r8*cos（x
（1））;
-x（10）*sin（theta4）+r8*sin（x
（1））];
norm（f）;
end;
y
（1）=theta2;
y
（2）=theta3;
y（3）=theta4;
y（4）=r8;
>>x1=linspace（43*pi/180,58*pi/180,15）;
x=zeros（length（x1）,11）;
forn=1:
15
x（n,:
）=[x1（:
n）30*pi/180160*pi/180120*pi/18040507535706066];
end;
p=zeros（length（x1）,4）;
fork=1:
15
y=rrrposi0（x（k,:
））;
p（k,:
）=y;
end;
p
r8=66
p=
0.68382.59271.670687.5390
0.67252.61091.715985.3559
0.66142.63001.761783.1049
0.65042.64981.808080.7822
0.63942.67051.855178.3827
0.62852.69201.903075.9002
0.61762.71461.951873.3264
0.60662.73822.001770.6505
0.59532.76312.053067.8576
0.58362.78952.106164.9269
0.57132.81782.161461.8275
0.55792.84842.219758.5110
0.54272.88242.282654.8943
0.52412.92202.352650.8105
0.49762.97272.437345.8116
结果依次表示为：
θ2*pi/180、θ3*pi/180、θ4*pi/180、L1’的值。
（2）速度方程求解：
编程如下：
functiony=rrrvel（x）
%
%Inputparameters
%
%x
（1）=theta-1
%x
（2）=theta-2
%x（3）=theta-3
%x（4）=theta-4
%x（5）=dtheta-1
%x（6）=r1
%x（7）=r2
%x（8）=r3
%x（9）=r4
%x（10）=r5
%x（11）=r6
%
%Outputparameters
%
%y
（1）=dtheta-2
%y
（2）=dtheta-3
%y（3）=dtheta-4
%y（4）=dr1
%
A=[-x（8）*sin（x
（2））x（9）*sin（x（3））-x（10）*sin（x（4））0;
x（8）*cos（x
（2））-x（9）*cos（x（3））x（10）*cos（x（9））0;
00x（11）*sin（x（4））cos（x
（1））;
00-x（11）*cos（x（4））sin（x
（1））];
B=[-x（7）*sin（x
（1））;x（7）*cos（x
（1））;x（6）*sin（x
（1））;-x（6）*cos（x
（1））]*x（5）;
y=inv（A）*B;
输入数据
>>x2=[x1'p（:
1）p（:
2）p（:
3）10*ones（15,1）p（:
4）40*ones（15,1）50*ones（15,1）75*ones（15,1）35*ones（15,1）60*ones（15,1）];
q=zeros（4,15）;
form=1:
15
y2=rrrvel（x2（m,:
））;
q（:
m）=y2;
end;
q
q=
1.0e+003*
Columns1through9
-0.0156-0.0158-0.0161-0.0164-0.0166-0.0170-0.0173-0.0177-0.0182
0.00190.00190.00190.00180.00180.00180.00170.00160.0015
0.02410.02430.02460.02500.02540.02580.02640.02700.0279
-1.1499-1.1853-1.2225-1.2621-1.3047-1.3511-1.4025-1.4607-1.5282
Columns10through15
-0.0188-0.0196-0.0208-0.0227-0.0261-0.0352
0.00130.00120.00100.00080.00070.0009
0.02890.03030.03220.03520.04030.0526
-1.6090-1.7101-1.8440-2.0378-2.3631-3.1197
结果纵向依次为：
w2、w3、w4、L1’’（v）的值。
（3）加速度的分析
编程如下
functiony=rrra（x）
%
%inputparameters
%
%x
（1）=th1
%x
（2）=th2
%x（3）=th3
%x（4）=th4
%x（5）=dth1
%x（6）=dth2
%x（7）=dth3
%x（8）=dth4
%x（9）=r1
%x（10）=r2
%x（11）=r3
%x（12）=r4
%x（13）=r5
%x（14）=r6
%x（15）=r7
%
%y
（1）=ddth2
%y
（2）=ddth3
%y（3）=ddth4
%y（4）=dr1
%
A=[-x（11）*sin（x
（2））x（12）*sin（x（3））-x（13）*sin（x（4））0;
x（11）*cos（x
（2））-x（12）*cos（x（3））x（13）*cos（x（4））0;
00x（14）*sin（x（4））cos（x
（1））;
00-x（14）*cos（x（4））sin（x
（1））];
B=[-x（11）*x（6）*cos（x
（2））x（12）*x（7）*cos（x（3））-x（13）*x（8）*cos（x（4））0;
-x（11）*x（6）*sin（x
（2））x（12）*x（7）*sin（x（3））-x（13）*x（8）*sin（x（4））0;
00x（14）*x（8）*cos（x（4））-x（5）*sin（x
（1））;
00x（14）*x（8）*sin（x（4））x（5）*cos（x
（1））];
C=[x（6）;x（7）;x（8）;x（9）];
D=[-x（9）*x（5）*cos（x
（1））;-x（9）*x（5）*sin（x
（1））;x（9）*sin（x
（1））+x（9）*x（5）*cos（x
（1））;-x（9）*cos（x
（1））+x（9）*x（5）*sin（x
（1））];
y=inv（A）*D*x（5）-inv（A）*B*C;
输入数据
>>x3=[x1'p（:
1）p（:
2）p（:
3）10*ones（15,1）q（1,:
）'q（2,:
）'q（3,:
）'q（4,:
）'40*ones（15,1）50*ones（15,1）75*ones（15,1）35*ones（15,1）p（:
4）60*ones（15,1）];
f=zeros（4,15）;
form=1:
15
y3=rrra（x3（m,:
））;
f（:
m）=y3;
end;
f
f=
1.0e+005*
Columns1through12
-0.0068-0.0071-0.0074-0.0078-0.0083-0.0089-0.0095-0.0104-0.0115-0.0129-0.0149-0.0180
0.02090.02170.02250.02340.02440.02550.02680.02840.03030.03270.03590.0408
0.00330.00350.00370.00390.00420.00460.00510.00560.00640.00750.00910.0119
-1.6862-1.7217-1.7602-1.8025-1.8498-1.9039-1.9672-2.0434-2.1384-2.2625-2.4343-2.6931
Columns13through15
-0.0233-0.0351-0.0817
0.04890.06620.1309
0.01740.03120.0943
-3.1360-4.0878-7.5791
结果为：
a2、a3、a4、L1’的加速度。
位置，速度，加速度数据总表：
θ1
θ2
θ3
θ4
L1’
w2
W3
W4
v（L1’）
α2
α3
α4
a（L1’）
rad
mm
rad/s
rad/s
rad/s
mm/s
rad/sˇ2
mm/sˇ2
0.75049
0.68378
2.5927
1.6706
87.539
-0.0156
0.0019
0.0241
-1.1499
-0.0068
0.0209
0.0033
-1.6862
0.76919
0.6725
2.6109
1.7159
85.356
-0.0158
0.0019
0.0243
-1.1853
-0.0071
0.0217
0.0035
-1.7217
0.78789
0.66138
2.63
1.7617
83.105
-0.0161
0.0019
0.0246
-1.2225
-0.0074
0.0225
0.0037
-1.7602
0.80659
0.65036
2.6498
1.808
80.782
-0.0164
0.0018
0.025
-1.2621
-0.0078
0.0234
0.0039
-1.8025
0.82529
0.63943
2.6705
1.8551
78.383
-0.0166
0.0018
0.0254
-1.3047
-0.0083
0.0244
0.0042
-1.8498
0.84399
0.62853
2.692
1.903
75.9
-0.017
0.0018
0.0258
-1.3511
-0.0089
0.0255
0.0046
-1.9039
0.86269
0.6176
2.7146
1.9518
73.326
-0.0173
0.0017
0.0264
-1.4025
-0.0095
0.0268
0.0051
-1.9672
0.88139
0.60656
2.7382
2.0017
70.651
-0.0177
0.0016
0.027
-1.4607
-0.0104
0.0284
0.0056
-2.0434
0.90009
0.59529
2.7631
2.053
67.858
-0.0182
0.0015
0.0279
-1.5282
-0.0115
0.0303
0.0064
-2.1384
0.91879
0.58362
2.7895
2.1061
64.927
-0.0188
0.0013
0.0289
-1.609
-0.0129
0.0327
0.0075
-2.2625
0.93749
0.5713
2.8178
2.1614
61.827
-0.0196
0.0012
0.0303
-1.7101
0.0149
0.0359
0.0091
-2.4343
0.95619
0.55791
2.8484
2.2197
58.511
-0.0208
0.001
0.0322
-1.844
-0.018
0.0408
0.0119
-2.6931
0.97489
0.54271
2.8824
2.2826
54.894
-0.0277
0.0008
0.0352
-2.0378
-0.0233
0.0489
0.0174
-3.316
0.99359
0.52411
2.922
2.3526
50.811
-0.0261
0.0007
0.0403
0.0526
-0.0351
0.0662
0.0312
-4.0878
1.0123
0.49762
2.9727
2.4373
45.812
-0.0352
0.0009
0.0526
-3.1197
-0.0817
0.1309
0.0943
-7.5791
输出图像如下：
>>plot（x1,p（1,:
）,'--',x1,p（2,:
）,':
',x1,p（3,:
）,'*'）
即θ2、θ3、θ4关于θ1的函数图。
>>plot（x1,p（4,:
））
即L1’关于θ1的函数图。
>>plot（x1,q（1,:
）,'--',x1,q（2,:
）,':
',x1,q（3,:
）,'*'）
即w2、w3、w4关于θ1的函数图。
>>plot（x1,f（4,:
））
即杆L1’的速度关于θ1的函数图。
>>plot（x1,f（1,:
）,'p',x1,f（2,:
）,x1,f（3,:
）,'*'）
即α2、α3、α4关于θ1的函数图。
>>plot（x1,f（4,:
））
即杆L1’的加速度关于θ1的函数图。
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