高三数学三模试题徐州市宿迁市带答案.docx

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高三数学三模试题徐州市宿迁市带答案

2013年高三数学三模试题（徐州市、宿迁市带答案）

徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试2013.05.02

数学Ⅰ

参考公式：

样本数据的方差，其中；

锥体的体积公式：

，其中为锥体的底面面积，是高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知是虚数单位，若，则的值为▲．

2.某射击选手连续射击枪命中的环数分别为：

,,,，

则这组数据的方差为▲．

3.右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．

4.若集合，，则▲．

5.方程表示双曲线的充要条件是▲．

6．在中，已知，，则的值是▲．

7.已知实数满足则的最小值是▲．

8.已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为▲．

9.已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为▲．

10．已知为的外心，若，则等于▲．

11.已知数字发生器每次等可能地输出数字或中的一个数字，则连续输出的个数字之和能被3整除的概率是▲．

12.若，且，则的最小值为▲．

13．已知函数若，且，则的取值范围是▲．

14.已知曲线：

，直线：

，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.若的面积为，则的面积为▲．

二、解答题:

本大题共6小题，15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.如图，，均为圆的直径，圆所在的平面，.求证：

⑴平面平面；

⑵直线平面．

16．已知的面积为，角的对边分别为，．

⑴求的值；

⑵若成等差数列，求的值．

17．已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：

如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？

请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：

的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．

⑴求直线的方程；

⑵求的值；

⑶设为常数．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记和的面积分别为，，求的最大值．

19．已知数列满足：

，，．

⑴若，求数列的通项公式；

⑵设，数列的前项和为，证明：

．

20．已知函数，．

⑴若函数在其定义域内是单调增函数，求的取值范围；

⑵设函数的图象被点分成的两部分为（点除外），该函数图象在点处的切线为，且分别完全位于直线的两侧，试求所有满足条件的的值．

徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本大题包括A、B、C、D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1：

几何证明选讲

如图，已知圆，圆都经过点，是圆的切线，圆交于点，连结并延长交圆于点，连结.求证.

B．选修4-2：

矩阵与变换

已知，若矩阵所对应的变换把直线：

变换为自身，求.

C．选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线被圆截得的弦长为，求的值.

D．选修4-5：

不等式选讲

已知，且，求的最小值

22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在正三棱柱中，已知，，分别是棱，上的点，且，.

⑴求异面直线与所成角的余弦值；

⑵求二面角的正弦值.

23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知函数,．

⑴当时，求函数的极大值和极小值；

⑵是否存在等差数列，使得对一切都成立？

并说明理由．

徐州市、宿迁市高三年级第三次模拟考试

数学参考答案与评分标准

一、填空题

1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.1；

8.55；9.；10.；11.；12.；13.；14.

二、解答题

15.⑴因为圆所在的平面，圆所在的平面，

所以，………………………………………………………………………………2分

因为为圆的直径，点在圆上，所以，……………………………3分

因为，平面，

所以平面，………………………………………………………………………5分

因为平面，所以平面平面．…………………………………7分

⑵由⑴，又因为为圆的直径，

所以，

因为在同一平面内，所以，…………………………………………9分

因为平面，平面，所以平面．………………………11分

因为，同理可证平面，

因为，平面，

所以平面平面，

因为平面，所以平面．……………………………………………14分

16.⑴由，得，即．……………2分

代入，化简整理得，．……………………………………4分

由，知，所以．………………………………………6分

⑵由及正弦定理，得，

即，………………………………………………………………8分

所以．①

由及，得，……………………………………………10分

代入①，整理得．

代入，整理得，……………………………12分

解得或．

因为，所以．…………………………………………………………14分

17．如图甲，设，………2分

所以………………………………………………………………………4分

，

当且仅当时取等号，…………………………………………………6分

此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为．…………………………………………………7分

如图乙，设，则，，

所以，．…………………………………10分

设，则，

当时，，所以时，即点与点重合时，

的面积最大值为．………………………………………………………13分

因为，

所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为．…………14分

18．⑴连结，则，且，

又，所以.

所以，所以直线的方程为.……………………………………3分

⑵由⑴知，直线的方程为，的方程为，

联立解得.………………………………………………………………………5分

因为，即，所以，，故椭圆的方程为.

由解得，…………………………………………………………7分

所以．………………………………………………………………8分

⑶不妨设的方程为，

联立方程组解得，

所以；……………………………………………………………………10分

用代替上面的，得．

同理可得，，．…………………………………………13分

所以．………………………14分

因为，

当且仅当时等号成立，所以的最大值为．………………………………16分

19．⑴若时，，，所以，且．

两边取对数，得，……………………………………………………2分

化为，

因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分

所以，所以．………………………………………6分

⑵由，得，①

当时，，②

①②，得，…………………………………………8分

由已知，所以与同号．…………………………………………10分

因为，且，所以恒成立，

所以，所以．………………………………………………………12分

因为，所以，

所以

．…………………………………………………………16分

20．⑴，………………………………………2分

只需要，即，

所以．…………………………………………………………………………………4分

⑵因为．

所以切线的方程为．

令，则．

．………………………………………6分

若，则，

当时，；当时，，

所以，在直线同侧，不合题意；…………………………………8分

若，，

若，，是单调增函数，

当时，；当时，，符合题意；…10分

若，当时，，，

当时，，，不合题意；…………………………12分

若，当时，，，

当时，，，不合题意；……………………………14分

若，当时，，，

当时，，，不合题意．

故只有符合题意．………………………………………………………………16分

附加题

21．

A．由已知，，因为，

，，

所以，，

因为，所以，

所以.……………………………………………5分

延长交于点，连结，则，，

所以，所以，所以∽，

所以，所以，因为，

所以.…………………………………………………………………10分

B．对于直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下变换成点，

则，

因为，所以，………………………………………4分

所以解得

所以，…………………………………………………………………………7分

所以.………………………………………………………………10分

C．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，…………………………3分

圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，…………6分

因为截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，

即，因为，所以.………………………………………10分

D．由柯西不等式，得，

即，……………………………………………………5分

即.

所以，即的最小值为.…………………………………10分

22．⑴以的中点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图）.则，，，，，，，.

所以，.

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.…………………………………………5分

⑵平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，因为，，

由得令，则.

所以，

所以二面角的正弦值为.……………………………………………10分

23．

（1）=，

=，

令得，

因为，所以．…………………………………………………2分

当为偶数时的增减性如下表：

无极值

极大值

极小值

所以当时，；当时，．………4分

当为奇数时的增减性如下表：

极大值

极小值

无极值

所以时，；当时，．…………6分

（2）假设存在等差数列使成立，

由组合数的性质，

把等式变为，

两式相加，因为是等差数列，所以，

故，

所以．…………………………………………………………………8分

再分别令，得且，

进一步可得满足题设的等差数列的通项公式为．………10分