23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23.docx

资源描述

23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23.docx

《23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23.docx

23离散型随机变量的均值与方差教案二新人教A版选修23

2.3离散型随机变量的均值与方差教案二（新人教A版选修2-3）

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　2．3离散型随机变量的均值与方差

　　2．3．1离散型随机变量的均值

　　教学目标：

　　知识与技能：

了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

　　过程与方法：

理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟

　　练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

　　情感、态度与价值观：

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文

　　价值。

　　教学重点：

离散型随机变量的均值或期望的概念

　　教学难点：

根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

　　授课类型：

新授课

　　课时安排：

2课时

　　教

　　具：

多媒体、实物投影仪

　　教学过程：

　　一、复习引入：

　　.随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量

　　随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

　　离散型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

　　3．连续型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

　　4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

　　若是随机变量，是常数，则也是随机变量

　　并且不改变其属性（离散型、连续型）

　　5.分布列:

设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

　　ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表

　　…

　　为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

　　6.分布列的两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．

　　7.离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

　　，（k＝0,1,2,…，n，）．

　　于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

　　…

　　称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B，其中n，p为参数，并记＝b．

　　8.离散型随机变量的几何分布：

在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P=p，P=q，那么

　　（k＝0,1,2,…，

　　）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

　　…

　　称这样的随机变量ξ服从几何分布

　　记作g=

　　，其中k＝0,1,2,…，

　　．

　　二、讲解新课：

　　根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：

已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

　　0.02

　　0.04

　　0.06

　　0.09

　　0.28

　　0.29

　　0.22

　　在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望

　　根据射手射击所得环数ξ的分布列，

　　我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　　

　　次得4环；

　　次得5环；

　　…………

　　次得10环．

　　故在n次射击的总环数大约为

　　，

　　从而，预计n次射击的平均环数约为

　　．

　　这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

　　对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

　　…．

　　.均值或数学期望:

　　一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

　　…

　　则称

　　……

　　为ξ的均值或数学期望，简称期望．

　　2.均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

　　3.平均数、均值:

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令

　　…，则有

　　…，

　　…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

　　4.均值或期望的一个性质:

若，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

　　…

　　于是

　　……

　　＝

　　……）

　　＝，

　　由此，我们得到了期望的一个性质:

　　5.若ξB（n,p），则Eξ=np

　　证明如下：

　　∵　，

　　∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．

　　又∵

　　，

　　∴

　　＋＋…＋＋…＋

　　．

　　故　　若ξ～B，则np．

　　三、讲解范例：

　　例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

　　解：

因为，

　　所以

　　例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分

　　学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

　　解：

设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~B（20,0.9）,,

　　由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5

　　所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

　　例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

　　方案1：

运走设备，搬运费为3800元．

　　方案2：

建保护围墙，建设费为XX元．但围墙只能防小洪水．

　　方案3：

不采取措施，希望不发生洪水．

　　试比较哪一种方案好．

　　解：

用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失．

　　采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即

　　X1=3800.

　　采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2

　　000+60000=6XX元；没有大洪水时，损失XX元，即

　　同样，采用第3种方案，有

　　于是，

　　EX1＝3800,

　　EX2＝6XX×P+XX00×P

　　=6XX×0.01+XX×=2600,

　　EX3=60000×P+10000×P+0×P

　　=60000×0.01+10000×0.25=3100.

　　采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.

　　值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：

假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2

　　将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．

　　例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望

　　解：

∵，

　　=3.5

　　例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）

　　解：

抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：

　　（=1，2，…，10）

　　需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：

　　由此可得的概率分布如下：

　　0.15

　　0.1275

　　0.1084

　　0.092

　　0.0783

　　0.0666

　　0.0566

　　0.0481

　　0.0409

　　0.2316

　　根据以上的概率分布，可得的期望

　　例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

　　解：

抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

　　所以

　　×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

　　＝×＝3.5．

　　抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

　　例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η

　　求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

　　若随机变量ξ的分布列为

　　0.1

　　0.5

　　0.3

　　0.1

　　求所收租车费η的数学期望．

　　已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

　　解：

依题意得　η=2十10，即　η=2ξ+2；

　　∵

　　η=2ξ+2

　　∴

　　2Eξ+2=34.8

　　（元）

　　故所收租车费η的数学期望为34.8元．

　　由38=2ξ+2，得ξ=18，5=15

　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟

　　四、课堂练习：

　　.口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（

　　）

　　A．4；　　B．5；　　c．4.5；　　D．4.75

　　答案：

　　2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

　　⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

　　⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

　　⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

　　解：

⑴因为，，所以

　　×＋0×

　　⑵η的概率分布为

　　所以

　　0×＋1×＋2×＝1.4．

　　⑶ξ的概率分布为

　　０

　　１

　　　所以

　　0×＋1×＋2×＝2.1.

　　3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

　　分析：

任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k

展开阅读全文