公务员数学运算之十六.docx
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公务员数学运算之十六
数学运算之数的分解与拆分专题
数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。
一般来说此类问题整体难度不大，不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。
1．分解因式型：
就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。
运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。
【例1】三个质数的倒数之和为a/231，则a=（）
A.68B.83C.95D.131
【解析】将231分解质因数得231=3×7×11，则1/3+1/7+1/11=131/231，故a=131。
【例2】四个连续的自然数的积为3024，它们的和为（）
A．26B.52C.30D.28
【解析】分解质因数：
3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。
【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少？
A499B500C498D501
【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。
注：
【】取整数部分。
2．已知某几个数的和，求积的最大值型：
基本原理：
a2+b2≧2ab，（a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号）推论：
a+b=K（常数），且a，b都大于0，那么ab≦（（a+b）/2）2，当且仅当a=b时取得等号。
此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。
【例1】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为（）
A.42B.84C.100D.120
【解析】若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。
也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。
下面再举一列大家可以自己体会.
【例2】将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为（）A.256B.486C.556D.376
【解析】将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为×2=486。
3.排列组合型:
运用排列组合知识解决数的分解问题。
要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。
【例1】有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？
（）
A.4851B.1000C.256D.10000
【解析】插板法：
100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。
而从99个空任意选出两个空的选法有：
C992=99×98/2=4851（种）；故选A。
（注：
此题没有考虑0已经划入自然数范畴，如果选项中出现把0考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。
）
【例2】学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
A.1152B.384C.28D.12
【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。
1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。
解法二：
（用排列组合知识求解）
由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。
具体地：
1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有0个2一直到7个2）；2）当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。
故共有8+4=12种。
解法三：
若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为（7+1）×（2+1）=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。
【例1】将４５０分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆办法？
Ａ９ Ｂ８ Ｃ７ Ｄ１０
【解析】整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？
其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：
1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：
4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？
分析与解：
这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：
2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：
80—12×2=56，最大的为：
80+12×2=104，故所求的这25个数为：
56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？
分析与解：
我们仿照例1的办法先求中间数：
105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：
6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？
分别是多少？
分析与解：
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
分拆为3个连续自然数的和：
（2×2×3×7）÷3=28，确定了“中间数”28，再依据例2的方法确定其它数，所以这三个数是27、28、29。
同理，分拆为7个连续自然数的和：
（2×2×3×7）÷7=12，它们是9、10、11、12、13、14、15。
分拆为8（2×2×2）个连续自然数的和：
（2×2×3×7）÷8=10.5，它们是7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14。
其它情况均不符合要求。
再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢？
就84而言，它有三种分拆方法，下面我们看84的约数有：
1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。
其中大于1的奇约数恰有三个。
于是可以得此结论：
若一个整数（0除外）有n个大于1的奇约数，那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。
450=2*3*3*5*5，大于1的奇约数为3，5，9，15，25，45，75，225一共8个，则共有8种拆分方法。
附：
公务员行测必备数学公式总结（全）
1.1基础数列类型
①常数数列如7，7，7，7，7，7，7，7，……
②等差数列如11，14，17，20，23，26，……
③等比数列如16，24，36，54，81，……
④周期数列如2，5，3，2，5，3，2，5，3，……
⑤对称数列如2，5，3，0，3，5，2，……
⑥质数数列如2，3，5，7，11，13，17
⑦合数数列如4，6，8，9，10，12，14
注意：
1既不是质数也不是合数
1.2200以内质数表
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199
1.3整除判定
能被2整除的数，其末尾数字是2的倍数（即偶数）
能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数
能被5整除的数，其末尾数字是5的倍数（即5、0）
能被4整除的数，其末两位数字是4的倍数
能被8整除的数，期末三位数字是8的倍数
能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数
能被25整除的数，其末两位数字是25的倍数
能被125整除的数，其末三位数字125的倍数
1.4经典分解
91=7×13111=3×37119=7×17
133=7×19117=9×13143=11×13
147=7×21153=9×17161=7×23
171=9×19187=11×17209=19×11
1.5常用平方数
数字
平方
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
81
10
100
11
121
12
144
13
169
14
196
15
225
16
256
17
289
18
324
19
361
20
400
21
441
22
484
23
529
24
576
25
625
26
676
27
729
28
784
29
841
30
900
1.6常用立方数
数字
立方
1
1
2
8
3
27
4
64
5
125
6
216
7
343
8
512
9
729
10
1000
1.7典型幂次数
底数
指数
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
4
9
16
25
36
3
8
27
64
125
216
4
16
81
256
625
1296
5
32
243
1024
6
64
729
7
128
8
256
9
512
10
1024
1.8常用阶乘数
数字
阶乘
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5040
8
40320
9
362880
10
36288000
2.1浓度问题
1.混合后溶液的浓度，应介于混合前的两种溶液浓度之间。
2.浓度=溶质÷溶液
2.2代入排除法
1奇数+奇数=偶数
奇数-奇数=偶数
偶数+偶数=偶数
偶数-偶数=偶数
奇数+偶数=奇数
奇数-偶数=奇数
2.
①任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
②任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差事偶数，则两数奇偶相同。
3.余数特性
①一个数被2除得的余数，就是其末一位数字被2除得的余数
②一个数被5除得的余数，就是其末一位数字被5除得的余数
③一个数被4除得的余数，就是其末两位数字被4除得的余数
④一个数被8除得的余数，就是其末三位数字被8除得的余数
⑤一个数被25除得的余数，就是其末两位数字被25除得的余数
⑥一个数被125除得的余数，就是其末三位数字被125除得的余数
⑦一个数被3除得的余数，就是其各位数字相加后被3除得的余数
⑧一个数被9除得的余数，就是其个位数字相加后被9除得的余数
9.循环数
198198198=198×1001001
2134213421342134=2134×1000100010001
规律：
有多少个循环数，就有多少个1，1之间0的个数是循环数位数减1
例如2134213421342134，中有“2134”四个，所以应该有4个1，同时2134为四位数，所以两个1之间应该有三个0，所以为1000100010001
10.乘方尾数口诀
底数留个位，指数除以4留余数（余数为0，则看做4）
例如19991998的末尾数字为：
底数留个位，所以底数为9；指数除以4留余数，1998除以4的余数为2，所以最后为92=81，因此末尾数字为1
11.韦达定理
其中x1和x2是这个方程的两个根，则：
x1+x2=
x1×x2=
逆推理：
如果a+b=ma×b=n
则a、b是
的两个根。
5.4行程问题
1.路程=速度×时间
2.相向运动：
速度取和；同向运动：
速度取差
3促进运动：
速度取和；阻碍运动，速度取差
5.5工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
5.6几何问题
1.常用周长公式：
正方形周长
长方形周长
圆形周长
2.常用面积公式
正方形面积
长方形面积
圆形面积
三角形面积
平行四边形面积
梯形面积
扇形面积
3.常用表面积公式
正方体表面积
长方体表面积
球表面积
圆柱体表面积
4.常用体积公式
正方体体积
长方体体积
球的体积
圆柱体体积
圆锥体体积
5.几何图形放缩性质
若将一个图形扩大至原来的N倍，则：
对应角度仍为原来的1倍；对应长度变为原来的N倍；面积变为原来的N2倍；体积变为原来的N3倍。
6.几何最值理论
1．平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。
2．平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。
3．立体图形中，若表面积一定，越接近于球体，体积越大。
4．立体图形中，若体积一定，越接近于球体，表面积越小。
7.三角形三边关系
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
题目中例8非常重要。
5.7容斥原理
1．两集合标准型核心公式
满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
2．三集合标准核心公式
3．三集合整体重复型核心公式
假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的总量为W。
其中：
满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的数量为y，满足三个条件的数量为z，从而有下面两个等式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
5.8排列组合问题
1.排列公式：
2.组合公式：
3.“捆绑插空法”核心提示
相邻问题——捆绑法：
先将相邻元素全排列，然后视其为一个整体与剩余元素全排列；
不邻问题——插空法：
现将剩余元素全排列，然后将不邻元素有序插入所成间隙中。
4.对抗赛比赛场次基本公式
淘汰赛——①仅需决出冠亚军比赛场次=N-1
②需决出1、2、3、4比赛场次=N
循环赛——①单循环（任意两个队打一场比赛）比赛场次=
②双循环赛（任意两个队打两场比赛）比赛场次=
5.9概率问题
1.单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数
2.某条件成立概率=1-该条件不成立的概率
3.总体概率=满足条件的各种情况概率之和
4.分布概率=满足条件的每个步骤概率之积
5.条件概率：
“A成立”时“B成立的概率”=A、B同时成立的概率÷A成立的概率
5.10边端问题
1.段数公式：
段数=总长÷株距
2.线性植树：
单边植树：
棵树=段数+1
双边植树：
棵树=（段数+1）×2
3.楼间植树：
单边植树棵树=段数-1
双边植树棵树=（段数-1）×2
4.环形植树：
单边植树棵树=段数
双边植树棵树=段数×2
5.方阵问题核心法则：
人数公式：
N层实心方阵的人数=N2
外周公式：
N层方阵最外层人数=（N-1）*4
对于三角阵、五边阵的情况可以此类推
6.过河问题核心法则：
①M个人过河，船上能载N个人，由于需要一个人划船，共需往返
次（需要×2）
②“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程
③载人过河的时候，最后一次不再需要返回。
5.12初等数学问题
1.同余问题
余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期
例如：
①一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1
②一个数除以4余3，除以5与2，除以6余1，则取7，表示为60n+7
③一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，则取3，表示为60n-3
2.等差数列核心公式
求和公式：
项数公式：
级差公式：
通项公式：
5.13年龄问题
1.基本知识点
①每过N年，每个人都长N岁
②两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的
③两个人的年龄之间的倍数随着时间的推移而变小。
2.平均分段法
例如：
甲对乙说：
当我岁数是你现在岁数时，你才4岁。
乙对甲说：
当我的岁数是你现在岁数的时候，你是67岁，则现在甲乙各多少岁？
画出如下图：
67-------------------甲-------乙----------------------4
67-4=63，即相差了63
67-甲-乙-4，共有三段，所以每段为63÷3=21
所以乙=4+21=25岁
所以甲=25+21=46岁
5.14统筹问题
1.“非闭合”货物集中问题
判断每条“路”的两侧的货物总重量，在在这条路上一定是从轻的一侧流向重的一侧。
特别提示：
①本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中
②本法则的应用，与各条路径的长短没有关系
③我们应该从中间开始分析，这样可以更快。
2.货物装卸为题
如果有M辆车和（N>M）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的M各工厂所需的装卸工之和。
（若M>=N，则需要把各个点上的人加起来即答案）
排列数公式：
P
＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）
组合数公式：
C
＝P
÷P
＝（规定
＝1）。
“装错信封”问题：
D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265，
年龄问题：
关键是年龄差不变；
几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄
几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差
日期问题：
闰年是366天，平年是365天，其中：
1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。
植树问题
（1）线形植树：
棵数＝总长
间隔＋1
（2）环形植树：
棵数＝总长
间隔
（3）楼间植树：
棵数＝总长
间隔－1
（4）剪绳问题：
对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段
鸡兔同笼问题：
鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
（一般将“每”量视为“脚数”）
得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：
不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）
例：
“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？
”
解：
（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）
盈亏问题：
（1）一次盈，一次亏：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（2）两次都有盈：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数
（3）两次都是亏：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数
（4）一次亏，一次刚好：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数
（5）一次盈，一次刚好：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数
例：
“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：
有多少个小朋友和多少个桃子？
”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………桃子
钟表问题：
钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的
，分针每小时可追及
时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。
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