当x>1时，f′（x）>0，
∴f（x）在x＝1处取得极值．
故选B.
答案 B
8．设P是椭圆
＋
＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是（ ）
A．－
B．－1
C.
D.
解析 由椭圆方程a＝3，b＝2，c＝
，
∴cos∠F1PF2＝
＝
＝
＝
－1.
∵|PF1|·|PF2|≤（
）2＝9，
∴cos∠F1PF2≥
－1＝－
，故选A.
答案 A
9．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则
≥
；
②若正整数m和n满足m≤n，则
≤
；
③设P（x1，y1）为圆O1：
x2＋y2＝9上任一点，圆O2以Q（a，b）为圆心且半径为1.当（a－x1）2＋（b－y1）2＝2时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：
若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.
答案 B
10．如图所示是y＝f（x）的导数图像，则正确的判断是（ ）
①f（x）在（－3,1）上是增函数；
②x＝－1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2,4）上是减函数，在（－1,2）上是增函数；
④x＝2是f（x）的极小值点．
A．①②③B．②③
C．③④D．①③④
解析 从图像可知，当x∈（－3，－1），（2,4）时，f（x）为减函数，当x∈（－1,2），（4，＋∞）时，f（x）为增函数，
∴x＝－1是f（x）的极小值点，
x＝2是f（x）的极大值点，故选B.
答案 B
11．已知双曲线
－
＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：
x＝
（c2＝a2＋b2）上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是（ ）
A.
B.
C.2D.3
解析 设直线l与x轴交于点A，在Rt△PF1F2中，有|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PA|，则|PA|＝
，又|PA|2＝|F1A|·|F2A|，则
＝（c－
）·（c＋
）＝
，即4a2b2＝b2（c2＋a2），即3a2＝c2，从而e＝
＝
.选B.
答案 B
12．设p：
f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，q：
m≥
对任意x>0恒成立，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 f（x）在（－∞，＋∞）内单调递增，则f′（x）≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0对任意x∈R恒成立，故Δ≤0，即m≥
；m≥
对任意x>0恒成立，即m≥（
）max，因为
＝
≤2，当且仅当x＝2时，“＝”成立，故m≥2.易知p是q的必要不充分条件．
答案 B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
13．以
－
＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析 ∵双曲线
－
＝1的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±2
），
∴椭圆的顶点坐标为（0，±4），焦点坐标为（0，±2
），在椭圆中a＝4，c＝2
，b2＝4.
∴椭圆的方程为
＋
＝1.
答案
＋
＝1
14．给出下列三个命题：
①函数y＝tanx在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为π，其中假命题的序号是________．
解析 ①不正确，如x＝
时tanx＝1，当x＝
时tanx＝1，而
>
，所以tanx不是增函数；②不正确，如函数y＝
是奇函数，但图像不过原点；③正确．
答案 ①②
15．若要做一个容积为324的方底（底为正方形）无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．
解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a的函数关系式．
设水箱的高度为h，底面边长为a，
那么V＝a2h＝324，则h＝
，水箱所用材料的面积是S＝a2＋4ah＝a2＋
，
令S′＝2a－
＝0，得a3＝648，a＝6
，
∴h＝
＝
＝3
，
经检验当水箱的高为3
时，材料最省．
答案 3
16．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx（x∈R）有大于零的极值点，则m的取值范围是________．
解析 因为函数y＝ex＋2mx（x∈R）有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m>1，即m<－
.
答案 m<－
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（1,1），且在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解．
∵y＝ax2＋bx＋c过点（1,1），
∴a＋b＋c＝1.①
又∵在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切，
∴4a＋2b＋c＝－1.②
∴y′＝2ax＋b，且k＝1.
∴k＝y′
x＝2＝4a＋b＝1，③
联立方程①②③得
18．（12分）已知椭圆C1：
＋
＝1（a>b>0）的离心率为
，直线l：
y＝－x＋2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C1的方程．
解 ∵e＝
，∴e2＝
＝
＝
，∴a2＝3b2.
∵直线l：
y＝－x＋2
与圆x2＋y2＝b2相切，
∴
＝b，∴b＝2.∴b2＝4，a2＝12.
∴椭圆C1的方程是
＋
＝1.
19．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝
（a>0），设F（x）＝f（x）＋g（x）．
（1）求函数F（x）的单调区间；
（2）若以函数y＝F（x）（x∈（0,3]）图像上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的最小值．
解
（1）F（x）＝f（x）＋g（x）＝lnx＋
（x>0），则F′（x）＝
－
＝
（x>0），
∵a>0，由F′（x）>0，得x∈（a，＋∞），
∴F（x）在（a，＋∞）上单调递增；
由F′（x）<0，得x∈（0，a），
∴F（x）在（0，a）上单调递减．
∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，＋∞）．
（2）由
（1）知F′（x）＝
（0≤
（0即a≥（－
x
＋x0）max，
当x0＝1时，－
x
＋x0取得最大值
，
∴a≥
，∴amin＝
.
20．（12分）已知定点F（0,1）和直线l1：
y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求
·
的最小值．
解
（1）由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
（2）由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1（k≠0），与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
又易得点R的坐标为（－
，－1）．
∴
·
＝（x1＋
，y1＋1）·（x2＋
，y2＋1）
＝（x1＋
）（x2＋
）＋（kx1＋2）（kx2＋2）
＝（1＋k2）x1x2＋（
＋2k）（x1＋x2）＋
＋4
＝－4（1＋k2）＋4k（
＋2k）＋
＋4
＝4（k2＋
）＋8.
∵k2＋
≥2，当且仅当k2＝1时取等号，
∴
·
≥4×2＋8＝16，
即
·
的最小值为16.
21．（12分）已知函数f（x）＝x2－8lnx，g（x）＝－x2＋14x.
（1）求函数f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a＋1）上均为增函数，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）＝g（x）＋m有唯一解，试求实数m的值．
解
（1）因为f′（x）＝2x－
，
所以切线的斜率k＝f′
（1）＝－6，又f
（1）＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6（x－1），即y＝－6x＋7.
（2）因为f′（x）＝
，
又x>0，所以当x>2时，f′（x）>0；
当0即f（x）在（2，＋∞）上单调递增，在（0,2）上单调递减．
又g（x）＝－（x－7）2＋49，所以g（x）在（－∞，7）上单调递增，在（7，＋∞）上单调递减，
欲使函数f（x）与g（x）在区间（a，a＋1）上均为增函数，则
解得2≤a≤6.故a的取值范围是[2,6]
（3）原方程等价于2
升级会员 