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数学模型应用题

一．选择题（共14小题）

1．（2011•恩施州）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：

时刻

12：

13：

14：

碑上的数

是一个两位数，数字之和为6

十位与个位数字与12：

00时所看到的正好颠倒了

比12：

00时看到的两位数中间多了个0

则12：

00时看到的两位数是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2012•百色）某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（　　）

A．

30%

B．

40%

C．

50%

D．

60%

3．（2011•台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为

平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？

（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2013•资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是（　　）

A．

10人

B．

11人

C．

12人

D．

13人

5．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[

]=5，则x的取值可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2012•武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：

①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（　　）

A．

①②③

B．

仅有①②

C．

仅有①③

D．

仅有②③

7．（2012•牡丹江）已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（2013•绍兴）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：

45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　　）

A．

7：

B．

7：

C．

7：

D．

7：

9．（2011•株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）

A．

4米

B．

3米

C．

2米

D．

1米

10．（2011•济南）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　）

A．

第3秒

B．

第3.5秒

C．

第4.2秒

D．

第6.5秒

11．若“抢30”游戏，规划是：

第一个人先说“1”或“1、2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就得胜，若改成“抢32”，那么采取适当策略，其结果是（　　）

A．

先报数者胜

B．

后报数者胜

C．

两者都可能胜

D．

很难预料

12．甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（　　）时有必胜的策略．

A．

B．

C．

D．

13．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（　　）

A．

B．

C．

15m

D．

14．如图，将一块边长为4cm的正方形纸片ABCD，叠放在一块足够大的直角三角板上（并使直角顶点落在A点），设三角板的两直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，那么四边形AECF的面积为（　　）

A．

12cm2

B．

14cm2

C．

16cm2

D．

18cm2

二．填空题（共15小题）

15．（2012•莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为　_________　万元．

16．（2011•潍坊）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为　_________　．

17．（2013•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？

此题的答案是：

鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：

今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？

则此时的答案是：

鸡有　_________　只，兔有　_________　只．

18．（2012•阜新）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是　_________　．

19．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣

≤x＜n+

，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．

给出下列关于（x）的结论：

①（1.493）=1；

②（2x）=2（x）；

③若（

）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；

④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；

⑤（x+y）=（x）+（y）；

其中，正确的结论有　_________　（填写所有正确的序号）．

20．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米/秒，乙的速度为8厘米/秒，那么出发后经过　_________　秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

21．（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是　_________　升．

22．（2008•天门）某公园门票价格如下表，有27名中学生游公园，则最少应付费　_________　元．（游客只能在公园售票处购票）

购票张数

1～29张

30～60张

60张以上

每张票的价格

10元

8元

6元

23．（2013•扬州）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V=200时，p=50，则当p=25时，V=　_________　．

24．（2013•衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种　_________　棵橘子树，橘子总个数最多．

25．（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：

m）与滑行时间x（单位：

s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　_________　m才能停下来．

26．（2013•长沙）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　_________　．

27．（2012•阜新）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是　_________　．

28．（2008•包头）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=6cm，高AD=4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应为　_________　cm．

29．一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为　_________　cm．

2013年6月李爱国的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．（2011•恩施州）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：

时刻

12：

13：

14：

碑上的数

是一个两位数，数字之和为6

十位与个位数字与12：

00时所看到的正好颠倒了

比12：

00时看到的两位数中间多了个0

则12：

00时看到的两位数是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

二元一次方程组的应用．719606

专题：

方程思想．

分析：

设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，12﹣13时行驶的里程数等于13﹣14：

30时行驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可．

解答：

解：

设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x+y；

则13时看到的两位数为x+10y，12﹣13时行驶的里程数为：

（10y+x）﹣（10x+y）；

则14：

30时看到的数为100x+y，14：

30时﹣13时行驶的里程数为：

（100x+y）﹣（10y+x）；

由题意列方程组得：

，

解得：

，

所以12：

00时看到的两位数是15，

故选D．

点评：

本题考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程组的解法．正确理解题意并列出方程组是解题的关键．

A．

30%

B．

40%

C．

50%

D．

60%

考点：

一元二次方程的应用．719606

专题：

增长率问题．

分析：

一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2012年要投入资金是0.5（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的资金投入0.5（1+x）（1+x），由此可列出方程0.5（1+x）2=0.98，求解即可．

解答：

解：

设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：

0.5（1+x）2=0.98，

解得：

x1=40%x2=﹣2.4（不合题意舍去）．

答：

这两年中投入资金的平均年增长率约是40%．

故选：

B．

点评：

本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．

3．（2011•台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为

平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？

（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

一元二次方程的应用．719606

专题：

网格型．

分析：

可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．

解答：

解：

方格纸的边长是x，

x2﹣

•x•

x﹣

•

x•

x﹣

•x•

x2=12．

所以方格纸的面积是12，

故选B．

点评：

本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．

A．

10人

B．

11人

C．

12人

D．

13人

考点：

一元一次不等式组的应用．719606

分析：

先设预定每组分配x人，根据若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，列出不等式组，解不等式组后，取整数解即可．

解答：

解：

设预定每组分配x人，根据题意得：

，

解得：

＜x＜12

，

∵x为整数，

∴x=12．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据关键语句若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够

90人列出不等式组．

5．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[

]=5，则x的取值可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

一元一次不等式组的应用．719606

专题：

新定义．

分析：

先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．

解答：

解：

根据题意得：

5≤

＜5+1，

解得：

46≤x＜56，

故选C．

点评：

此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．

①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（　　）

A．

①②③

B．

仅有①②

C．

仅有①③

D．

仅有②③

考点：

一次函数的应用．719606

专题：

行程问题．

分析：

易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．

解答：

解：

甲的速度为：

8÷2=4米/秒；

乙的速度为：

500÷100=5米/秒；

b=5×100﹣4×（100+2）=92米；

5a﹣4×（a+2）=0，

解得a=8，

c=100+92÷4=123，

∴正确的有①②③．

故选A．

点评：

考查一次函数的应用；得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．

7．（2012•牡丹江）已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

一次函数的应用；一次函数的图象．719606

专题：

数形结合．

分析：

利用周长的定义得到y+2x=20，变形为y=﹣2x+20，然后利用三角形三边的关系得到y＞0且2x＞y，解不等式组可得5＜x＜10，于是得到底边长y关于腰长x的函数关系为y=﹣2x+20（5＜x＜10），所以其图象为线段（除端点），并且y随x的增大而减小．

解答：

解：

根据题意得y+2x=20，

y=﹣2x+20，

∵y＞0且2x＞y，

∴﹣2x+20＞0且2x＞﹣2x+20，

∴5＜x＜10，

∴底边长y关于腰长x的函数关系为y=﹣2x+20（5＜x＜10）．

∵k=﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小．

故选D．

点评：

本题考查了一次函数的应用：

根据实际问题列出一次函数关系，然后利用一次函数的性质解决问题．也考查了一次函数的图象．

45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　　）

A．

7：

B．

7：

C．

7：

D．

7：

考点：

反比例函数的应用．719606

分析：

首先求得两个函数的解析式，然后根据水温不超过80℃求得相应的时间即可．

解答：

解：

∵开机加热时每分钟上升10℃，

∴从30℃到100℃需要7分钟，

当0≤x≤7时，设y=k1x+b，

将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b

得k1=10，b=30

∴当0≤x≤7时，y=10x+30；

当7＜x≤a时，设y=

，

将（7，100）代入y=

得k=700

∴当7＜x≤a时，y=

；

∴当0≤x≤7时，y=10x+20；

将y=30代入y=

，

解得a=

；

要想喝到不超过50℃的热水，则：

∵10x+30≤50，

∴0＜x≤2，

因为

分钟为一个循环，

所以8：

45要喝到不超过50℃的热水，

则需要在8：

45﹣（

+20）分钟=7：

50～8：

03打开饮水机，

故选D．

点评：

本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．

米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　）

A．

4米

B．

3米

C．

2米

D．

1米

考点：

二次函数的应用．719606

专题：

应用题；数形结合．

分析：

根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．

解答：

解：

∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，

∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，

∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴顶点坐标为：

（2，4），

∴喷水的最大高度为4米，

故选A．

点评：

本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．

A．

第3秒

B．

第3.5秒

C．

第4.2秒

D．

第6.5秒

考点：

二次函数的应用．719606

专题：

数形结合．

分析：

根据题中已知条件求出函数h=at2+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．

解答：

解：

由题意可知：

（2）=h（6），

即4a+2b=36a+6b，

解得b=﹣8a，

函数h=at2+bt的对称轴t=﹣

=4，

故在t=4s时，小球的高度最高，

题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒，

故在第4.2秒时小球最高

故选C．

点评：

本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．

11．若“抢30”游戏，规划是：

A．

先报数者胜

B．

后报数者胜

C．

两者都可能胜

D．

很难预料

考点：

游戏公平性．719606

分析：

先报数者报两个数1、2，然后第二个人无论说一个或两个数，先报数者都与第二个人说的数凑成3个数，这样进行下去…，最后剩下的数是30，31，32．第二个人无论再说一个或两个数，先报数者一定能抢到32．

解答：

解：

先报数者首先报两个数1，2，然后第二个

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