概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后标准答案.docx

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概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后标准答案

概率论习题四答案

1.设随机变量X的分布律为

X

-1012

P

1/81/21/81/4

求E（X），E（X2），E（2X+3）.

【解】

（1）

（2）

（3）

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为

X

0

1

2

3

4

5

P

故

3.设随机变量X的分布律为

X

-101

P

p1p2p3

且已知E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求

.

【解】因

……①,

又

……②,

……③

由①②③联立解得

4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？

【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

5.设随机变量X的概率密度为

f（x）=

求E（X），D（X）.

【解】

故

6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1）U=2X+3Y+1；

（2）V=YZ-4X.

【解】

（1）

（2）

7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X-2Y），D（2X-3Y）.

【解】

（1）

（2）

8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

试确定常数k，并求E（XY）.

【解】因

故k=2

.

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

求

.

【解】方法一：

先求

与

的均值

由

与

的独立性，得

方法二：

利用随机变量函数的均值公式.因

与

独立，故联合密度为

于是

10.设随机变量X，Y的概率密度分别为

=

=

求

（1）

;

（2）

.

【解】

从而

（1）

（2）

11.设随机变量X的概率密度为

f（x）=

求

（1）系数

;

（2）

;（3）

.

【解】

（1）由

得

.

（2）

（3）

故

12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量

，求

和

.

【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则

的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

于是，得到X的概率分布表如下：

X

0

1

2

3

P

0.750

0.204

0.041

0.005

由此可得

13.一工厂生产某种设备的寿命

（以年计）服从指数分布，概率密度为

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.

【解】厂方出售一台设备净盈利

只有两个值：

100元和-200元

故

（元）.

14.设

是相互独立的随机变量，且有

记

，

.

（1）验证

=μ，

=

；

（2）验证

；

（3）验证

.

【证】

（1）

（2）因为

故

.

（3）因为

故

同理因为

故

.

从而

15.对随机变量

和

，已知

，

，

计算：

.

【解】

（因常数与任一随机变量独立，故

其余类似）.

16.设二维随机变量

的概率密度为

试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

【解】设

.

同理E（Y）=0.（注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0）

而

由此得

故X与Y不相关.

下面讨论独立性，当

时，

当

时，

.

显然

故X和Y不是相互独立的.

17.设随机变量

的分布律为

-101

-1

0

1

1/81/81/8

1/801/8

1/81/81/8

验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表：

X

-1

0

1

P

Y

-1

0

1

P

XY

-1

0

1

P

由期望定义易得

=

=

=0.

从而

=

再由相关系数性质知

=0,

即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.

又

从而X与Y不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求

，

.

【解】如图，SD=

，故（X，Y）的概率密度为

题18图

从而

同理

而

所以

.

从而

19.设（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

求协方差

和相关系数

.

【解】

从而

同理

又

故

20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为

，试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.

【解】由已知条件得：

D（X）=1,D（Y）=4,Cov（X,Y）=1.

从而

故

21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：

［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.

这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

【证】考虑实变量

的二次函数

因为对于一切

，有

，所以

，从而二次方程

或者没有实根，或者只有重根，故其判别式Δ≤0，

即

故

22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间

的分布函数

.

【解】由题设可知：

设备开机后无故障工作的时间

，其概率密度为

根据题意

，所以

的分布函数为

当

时，

；

当

时，

；

当

时，

；

于是

的分布函数为：

。

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：

（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；

（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

【解】

（1）Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为

即

Z=k

0

1

2

3

Pk

因此，

（2）设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有

24.假设由自动线加工的某种零件的内径

（毫米）服从正态分布

，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润

（单位：

元）与销售零件的内径

有如下关系

问：

平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【解】因为

所以平均利润

令

得

两边取对数有

解得

（毫米）

因为该问题有唯一驻点，所以当

毫米时，平均利润最大.

25.设随机变量

的概率密度为

对

独立地重复观察4次，用

表示观察值大于π/3的次数，求

的数学期望.

（2002研考）

【解】令

则

相互独立，都服从（0—1）分布，且

.

因为

及

所以

从而

26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间

（i=1,2）服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间

的概率密度

，数学期望

及方差

.

【解】由题意知：

因为

与

独立，所以由卷积公式得

的概率密度

当

时，

=0;

当

时，

故得

由于

故知

因此，有

，

.（

与

独立）

27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差.

【解】设Z=X-Y，由于

且X和Y相互独立，故

即

.

因为

而

，

所以

.

28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为

，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为

，求

和

.

【解】记

的概率分布为

故

又

所以

题29图

29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.

【解】D（U）=D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X,Y）

=D（X）+D（Y）+2[E（XY）-E（X）·E（Y）].

由已知条件得X和Y的联合概率密度为

从而

因此

同理可得

于是

30.设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量

X=

Y=

试求

（1）X和Y的联合概率分布；

（2）D（X+Y）.

【解】

（1）为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值（-1,-1）,（-1,1）,（1,-1）及（1,1）的概率.

P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1,U≤1}

P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1,U>1}=P{

}=0,

P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}

.

故得X与Y的联合概率分布为

.

（2）因

而

及

的概率分布相应为

.

从而

所以

31.设随机变量

的概率密度为f（x）=

，

（1）求

及

；

（2）求

并问

与

是否不相关？

（3）问

与

是否相互独立，为什么？

【解】

（1）

（2）

所以

与

不相关.

（3）为判断|

与

的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域

中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有

所以

故由

得出

与

不相互独立.

32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数

，设Z=

.

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；

（2）求X与Z的相关系数

；

（3）问X与Z是否相互独立，为什么？

【解】

（1）

而

所以

（2）因

所以

（3）由

，得X与Z不相关.又因

，所以X与Z也相互独立.

33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数

.

【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.

再由X~B（n,p）,Y~B（n,q），且p=q