加强版简易逻辑测验题详解.docx

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加强版简易逻辑测验题详解

简易逻辑练习题

类型一：

判断命题的真假

例1下列命题中的假命题是（　　）

A．存在实数α和β，使cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β，使cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

C．对任意α和β，使cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β，使cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

[答案]　B

[解析]　cos（α＋β）＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然C、D为真；sinα·sinβ＝0时，A为真；B为假．故选B.

例2若命题“p∧q”为假，且“¬p”为假，则（　　）

A．p或q为假　B．q为假

C．q为真D．不能判断q的真假

[答案]　B

[解析]　∵“¬p”为假，∴p为真，

又∵p∧q为假，∴q为假，

p或q为真．

类型二：

四种命题及命题的否定

例3命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　）

A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0

C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0

[答案]　C

[解析]　由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.

例4已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是（　　）

A．∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0

B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0

C．∃a、b∈R，如果ab>0，则a≤0

D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0

[答案]　B

[解析]　条件ab>0的否定为ab≤0；

结论a>0的否定为a≤0，故选B.

类型三：

充分条件与必要条件

例5设x、y、z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　由题意得，“lgy为lgx，lgz的等差中项”，则2lgy＝lgx＋lgz⇒y2＝xz，则“y是x，z的等比中项”；而当y2＝xz时，如x＝z＝1，y＝－1时，“lgy为lgx，lgz的等差中项”不成立，所以“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，故选A.

例6f（x）＝|x|·（x－b）在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．

[答案]　b≥4

[解析]　f（x）＝

若b≤0，则f（x）在[0,2]上为增函数，∴b>0，

∵f（x）在[0,2]上为减函数，∴

≥2，∴b≥4.

类型四：

求参数的取值范围

例7若“∀x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为__________________．

[答案]　1

[解析]　若“∀x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则m≥f（x）max，其中f（x）＝tanx，x∈[0，

]．

∵函数f（x）＝tanx，x∈[0，

]的最大值为1，∴m≥1，

即m的最小值为1.

例8若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．

[解析]　设f（x）＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f（x）]min≥0即可．

①当－

<－2，即a>4时，f（x）在[－2,2]上单调递增，f（x）min＝f（－2）＝7－3a≥0，解得a≤

，又a>4，所以a不存在．

②当－2≤－

≤2，即－4≤a≤4时，

f（x）min＝f（－

）＝

≥0，解得－6≤a≤2.

又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.

③当－

>2，即a<－4时，f（x）在[－2,2]上单调递减，f（x）min＝f

（2）＝7＋a≥0，解得a≥－7，

又a<－4，所以－7≤a<－4.

综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．

例9已知命题p：

实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：

实数x满足|x－2|≤m（m>0）．

（1）当m＝3时，若“p∧q”为真，求实数x的取值范围；

（2）若“¬p”是“¬q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解析]　

（1）若p真：

－2≤x≤4；

当m＝3时，若q真：

－1≤x≤5，

∵“p∧q”为真，∴－1≤x≤4.

（2）∵“¬p”是“¬q”的必要不充分条件，

∴p是q的充分不必要条件．

q：

2－m≤x≤2＋m，

∴

，且等号不同时取得，

∴m≥4.

类型五正难则反

例10求证：

如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.

[解析]　该命题的逆否命题为：

若p＋q>2，则p2＋q2≠2.

p2＋q2＝

[（p＋q）2＋（p－q）2]≥

（p＋q）2.

∵p＋q>2，∴（p＋q）2>4，∴p2＋q2>2，

即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立．

∴如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.

巩固训练

1．下列命题中的真命题有（　　）

①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

②△ABC中，

·

<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；

③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；

④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．

A．1个　　B．2个　

C．3个　　D．4个

[答案]　B

[解析]　两直线平行不一定有斜率，①假．

由

·

<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，

·

的符号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．

由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>cosAcosB，

∴cos（A＋B）<0，即cosC>0.∴角C为锐角，

∴△ABC为锐角三角形．

反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>

，

∴cos（A＋B）<0，∴cosAcosB

∵cosA>0，cosB>0，∴tanAtanB>1，故④真．

2．已知命题p：

∀x∈R,2x<3x；命题q：

∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（¬p）∧q

C．p∧（¬q）D．（¬p）∧（¬q）

[答案]　B

[解析]　由20＝30知p为假命题；令h（x）＝x3＋x2－1，则h（0）＝－1<0，h

（1）＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在（－1,1）内有解，∴q为真命题，∴（¬p）∧q为真命题，故选B.

3．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

[答案]　A

[解析]　图示法：

p

r⇒s⇒q，

故q

p，否则q⇒p⇒r⇒q⇒p，则r⇒p，故选A.

4．f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）＋g（x），“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

解析：

若f（x），g（x）均为偶函数，则h（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝f（x）＋g（x）＝h（x），所以h（x）为偶函数；若h（x）为偶函数，则f（x），g（x）不一定均为偶函数．可举反例说明，如f（x）＝x，g（x）＝x2－x＋2，则h（x）＝f（x）＋g（x）＝x2＋2为偶函数．

答案：

B

5．设a、b∈R，现给出下列五个条件：

①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0，其中能推出：

“a，b中至少有一个大于1”的条件为（　　）

A．②③④B．②③④⑤

C．①②③⑤D．②⑤

[答案]　D

[解析]　①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b>2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b>－2可能a<0，b<0；④ab>1，可能a<0，b<0；⑤logab<0，∴01或a>1,0

6．“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）内单调递增”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f（x）＝|x|在（0，＋∞）内单调递增，若“a<0”，则f（x）＝|（ax－1）x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在（0，＋∞）内递增；反之，若f（x）＝|（ax－1）x|

在（0，＋∞）内递增，从图中可知a≤0，故选C.

7．已知命题p：

“对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．－2≤m≤2B．m≥2

C．m≤－2D．m≤－2或m≥2

[答案]　C

[解析]　由题意可知命题p为真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，∴m＝－

＝－（2x＋

）≤－2.

8．已知三条直线l1：

x－y＝0，l2：

x＋y－2＝0，l3：

5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．

[答案]　{－5,5，－10}

[解析]　①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；

③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.

9．若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的__________________．

[答案]　逆命题

[解析]　解法1：

依据四种命题的关系图解．

由图示可知？

处应为互逆关系．

解法2：

用特殊命题探究

p：

若x>2，则x>1，r：

若x>1，则x>2，s：

若x≤1，则x≤2，p的否命

11.．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围是__________________．

[答案]　3≤m<8

[解析]　∵p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，

∴

解得3≤m<8.

11.已知下列三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．

[解析]　假设三个方程均无实根，则

有

由①得4a2＋4a－3<0，即－

；由②得3a2＋2a－1>0，即a>

，或a<－1；

由③得a（a＋2）<0，即－2

∴a的取值范围为－

因而使三个方程中至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为{a|a≤－

，或a≥－1}．

12已知P＝{x|a－4

[解析]　P＝{x|a－4

∵x∈P是x∈Q的必要条件，

∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P.

∴

，

，

∴－1≤a≤5.

13．已知命题p：

∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥

；命题q：

∃x，使不等式x2＋ax＋2≤0.若p或q是真命题，¬q是真命题，求a的取值范围．

[解析]　根据p或q是真命题，¬q是真命题，得p是真命题，q是假命题．

∵m∈[－1,1]，∴

∈[2

，3]．

因为∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥

，

∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.

故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.

又命题q：

∃x，使不等式x2＋ax＋2<0，

∴Δ＝a2－8>0，∴a>2

或a<－2

，

从而命题q为假命题时，－2

≤a≤2

，

所以命题p为真命题，q为假命题时，

a的取值范围为－2

≤a≤－1.

14．求使函数f（x）＝（a2＋4a－5）x2－4（a－1）x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．

[解析]　∵函数f（x）的图象全在x轴上方，

∴

，或

，

解得1

所以使函数f（x）的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.

15．已知命题p：

方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：

只有一个实数x0满足不等式x

＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

[解析]　由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0，

∴x＝

或x＝－a，

∴当命题p为真命题时|

|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.

又“只有一个实数x0满足x

＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.

∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.

∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.

∵命题“p或q”为假命题，

∴a>2或a<－2.

即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．