工科高等数学教学大纲讲解.docx
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工科高等数学教学大纲讲解
《高等数学》（工科类）教学大纲
一、课程名称：
高等数学（工科）
二、课程代码：
MATH20010
三、课程英文名称：
Calculus
四、课程负责人：
五、学时和学分：
176学时，9学分
六、课程性质：
必修课
七、适用专业：
机械、动力、资环等
八、先修课程：
初等数学
九后修课程：
线性代数，概率统计
十、使用教材：
张良才，李江涛等主编《高等数学》（上、下），2014。
十一、参考书目：
●同济大学数学系主编。
高等数学[M].高等教育出版社，2007
十二、开课单位：
重庆大学数学系
十三课程描述（100-200字左右）：
在各类基础课程当中，大学数学有着十分重要的地位。
当今科技发展的一个重要趋势，就是各门学科内容的数学化。
不管哪个门类的专业人才，都离不开数学能力和数学素质的培养，而社会对理工科院校不同专业的学生数学素质的要求呈多元化、多层次的趋势：
既需要能较快接受新知识、并将数学应用于本专业的工程技术型人才，又需要能进行深入理论研究和高新技术开发的科学研究型人才，且理工科大学生的学习目标又常以专业为导向，这就使得对数学水平的要求有了进一步的分化，《高等数学（工科）》就是为适应这种需要，专门为工科类专业学生开设的一门重要基础课，通过本课程的学习使学生了解微积分的背景思想，较系统地掌握微积分的基础知识、必需的基本理论和常用的运算技能，了解基本的数学建模方法，为学生学习后继数学课程、专业课程及分析解决实际问题奠定良好的基础。
十四、教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）
以优化教学内容为基础，以丰富教学资源为抓手，以改革教学措施为突破，实施分门别类教学，理论联系实际，凸显工科专业需求，以提高学生兴趣与能力为目标。
。
具体内容见下表
知识贡献及参考学时
教学环节
能力和素质贡献
1、函数
[教学内容]函数概念、函数的几种特性、基本初等函数。
复合函数、初等函数、函数模型的建立。
[目的要求]
（1）掌握函数的概念及特性，掌握基本初等函数。
（2）了解分段函数，理解复合函数概念。
（3）会建立常见实际问题的函数模型。
[重点难点]
重点：
函数概念、基本初等函数。
难点：
函数模型的建立。
[教法建议及说明]
（1）以函数的两个要素为主，阐明函数概念，使学生了解函数的三种表达形式。
（2）引导学生复习基本初等函数及其特性，做好初等数学与高等数学的街接。
（3）通过实例引入复合函数与分段函数概念，加强复合函数复合与分解（以分解为主）练习，明确复合函数构成的条件。
掌握分段函数的对应规则。
（4）通过函数模型的建立，使学生了解数学建模的基本过程及意义。
能力贡献：
1、归纳总结的能力；
2、演绎推理的能力；
3、提出问题、分析问题、解决问题的能力；
2、极限与连续
[教学内容]函数的极限，数列的极限，极限的性质，无穷小量与无穷大量。
极限的运算法则，两个重要极限，无穷小比较。
函数连续概念，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质。
[目的要求]
（1）理解函数的极限和左、右极限的描述性定义，了解两个极限存在准则。
理解无穷小、无穷大概念与性质及其相互关系。
（2）掌握极限的四则运算法则，会用两个重要极限求极限，会对无穷小进行比较。
（3）理解函数连续概念，会判断间断点类型，了解初等函数的连续性，会用函数的连续性求初等函数的极限，了解闭区间上连续函数的性质。
[重点难点]重点：
极限概念及极限运算；连续概念与初等函数连续性。
难点：
极限概念。
[教法建议及说明]
（1） 通过简单例子，对照图形变化趋势，概括出函数极限的描述性概念。
根据学生接受情况以“无限接近，无限趋近”——“充分接近，任意小”--“
定义”三过程逐步抽象概括出极限的分析定义，加深学生对极限概念的理解。
（2）结合函数的几何特征直观解释极限的存在定理及性质。
讨论分段函数在分段点处的极限存在问题。
（3）重视极限与无穷小的关系及其在极限运算法则等定理证明中的作用。
（4）要强调指出极限运算法则的成立条件，突出运算法则在求有理分式与无理分式极限方面的应用。
（5）指明两个重要极限的特征及求解未定式极限的类型。
（6）结合函数的几何图形讲清函数连续概念的两种定义形式及函数在一点连续的三个条件，通过图形直观说明间断点类型和判别条件。
（7）会利用复合函数及初等函数连续性求函数极限。
（8）闭区间上连续函数性质采用几何图形直观说明。
4、抽象的能力；
5、联想的能力；
6、学习新知识的能力；
7、创新的能力；
8、准确计算的能力；
9、口头和书面表达的能力；
10、灵活应用数学软件的能力。
素质贡献：
1、主动探索并善于抓住问题中的背景和本质的素质；
2、善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化与量化，建立数学模型的素质；
3、以数学方式理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素质；
4、具有良好的科学态度和创新精神，能合理提出数学猜想、数学概念的素质；
5、熟练运用准确、严格、简练的数学语言表达自己的数学思想的素质。
3、一元函数微分学
[教学内容]导数概念及其几何意义，变化率举例，可导与连续关系，求导举例。
函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数求导法则，反函数求导法则，初等函数求导公式。
隐函数的导数，由参数方程确定函数的导数，对数求导法，高阶导数。
微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，微分在近似计算中的应用。
中值定理与洛必达法则，函数的单调性。
函数的极值，函数的最值，曲率。
函数的凹凸性与拐点，曲线的渐近线，函数图形的描绘。
一元函数微分学在经济上的应用。
[目的要求]
（1）掌握导数的概念，了解导数的几何意义，会用导数描述一些实际问题的变化率。
（2）掌握导数的运算法则和基本公式。
（3）掌握隐函数、由参数方程确定的函数的导数及对数求导法，了解高阶导数概念，会求二阶导数及简单函数
阶导数。
（4）掌握微分概念及微分运算法则，会用微分作简单的近似计算。
（5）了解中值定理，会用洛必达法则求未定式的极限，掌握函数单调性的判别方法。
（6）理解函数极值概念，掌握求函数极值与最值的方法，会求简单实际问题的最值，*了解曲率概念及计算。
（7）会判别函数图形的凹凸性与拐点，会求曲线的渐近线，会描绘简单函数的图形。
[重点难点]重点：
导数概念，复合函数求导法则，微分概念。
拉格朗日定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，最值应用。
难点：
复合函数求导法，一阶微分形式不变性。
最值应用，函数图形描绘。
[教法建议及说明]
（1）通过物理、几何问题的分析讨论，作两方面的概括：
（1）局部范围的不变代变（均匀代非均匀），
（2）数学结构为平均变化率的极限，以此抽象出导数的定义。
（2）对复合函数求导，注意分析函数结构，“由表及里，逐层求导”，教学中可采取两步走：
第一步，写出中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算所得到的关系式，再应用法则求导。
第二步，中间变量在每一步求导过程中体现，由表及里，逐层求导。
（3）在隐函数的求导及对数求导法中要以复合函数求导法为依据展开，要提醒学生对中间变量求导后不要丢掉
因子。
（4）微分概念中要突出线性代替的思想，把握微分定义中函数增量的结构特征
。
微分形式不变性是求导的简便方法，使学生能够应用此方法灵活地求导数。
（5）中值定理只作几何解释，明确中值定理的条件是充分的而非必要的。
（6）要强调洛必达法则使用的条件，应用洛必达法则求极限时应注意的事项。
（7）在讲授函数单调性、极值、凹凸性、拐点时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
（8）加强函数模型的训练，掌握一元函数优化数学模型方法，给出一两个典型优化模型问题，培养学生数学建模能力。
（9）通过函数图形的描绘，加强学生综合运用导数研究函数特征的训练。
4、一元函数积分学
[教学内容]原函数与不定积分的概念，基本积分公式，不定积分性质。
第一换元积分法，第二换元积分法。
分部积分法，简单有理函数的积分，积分表的使用。
定积分概念，定积分的几何意义，定积分的性质。
变上限的定积分，牛顿－莱布尼茨公式。
定积分的换元法，定积分的分部积分法。
无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷间断点的广义积分。
定积分应用的微元法，用定积分求平面图形的面积，用定积分求体积，用定积分求平面曲线弧长。
定积分在物理中的应用（功，压力，转动惯量），定积分在经济中的应用。
[目的要求]
（1）了解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质，掌握不定积分基本公式。
（2）掌握不定积分两类换元积分法。
（3）掌握不定积分分部积分法，会求简单有理函数的积分，会查积分表。
（4）理解定积分的概念及其几何意义，理解定积分的性质。
（5）掌握牛顿－莱布尼茨公式，会求变上限函数的导数。
（6）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
（7）了解两类广义积分的概念及计算。
（8）掌握定积分应用的微元法，会用定积分的微元法求几何问题。
（9）会用定积分的微元法求物理问题及一些简单实际问题。
[重点难点]重点：
不定积分概念，换元法，分部积分法。
定积分的概念，变上限积分函数及其导数，牛顿－莱布尼茨公式。
用“微元法”确定所求量的“微元”，平面图形的面积。
难点：
换元积分法。
变上限积分函数及其导数。
用微元法将问题归结为定积分问题。
[教法建议及说明]
（1）注意引导学生熟记基本积分表和积分类型，掌握不定积分与导数关系。
（2）两类换元积分法中以第一类换元法（凑微分法）为重点，先通过简单的例子说明凑微分法使用的基本过程及所求积分的被积函数的特征为复合函数，通过练习逐步概括出常见的一般类型。
第二换元积法以三角代换为主，把握三种常见的三角代换求积分方法。
（3）分部积分法以幂函数（多项式）与基本初等函数乘积的积分求解为重点。
（4）积分法的教学要突出基本方法的掌握，练习中要举一反三，多作练习，但不宜要求过高的技巧，注重把握三种积分的特点。
（5）定积分概念注意从实际问题入手，作两方面的概括：
（１）整体分割和局部范围不变代变。
（２）数学结构上四步法“分割—取近似—求和—取极限”，表述形式为特定形式乘积的无限积累，尤其是“部分近似”与定积分表达式中的被积式的对应关系。
（6）注意导数概念的局部性和积分概念的整体性，明确定积分与原函数，定积分与不定积分的内在联系。
（7）从变上限定积分值也在变，逐步引进变上限积分函数，初步了解变上限复合函数的求导。
（8）讲清定积分换元法与不定积分换元法的区别在于“换元要换限，上限对上限，下限对下限”及变量代换的条件。
要了解奇偶函数在对称区间上积分性质。
（9）讲清两类广义积分定义中的两个共同特点：
缩小区间化为定积分，再取极限化为原区间上的积分。
要求学生注意瑕积分与定积分表述形式的类似但积分概念的不同。
（10）明确可用定积分表述量的特征是具有可加性的非均匀分布的整体量，微元与部分量之间的关系是相差一个高阶无穷小。
（11）平面图形面积的计算以直角坐标为重点，能用微元法或公式计算平面图形面积、旋转体体积、平行截面的面积已知的立体的体积，平面曲线的弧长可以略讲。
（12）物理应用中，写出所求量的微元，要使学生明白其中每一因素的物理意义。
（13）给出一两个没讨论的定积分应用问题，以检查学生是否真正对“微元法”有所理解。
5、多元函数微积分学
[教学内容]多元函数，二元函数的极限与连续。
偏导数，高阶偏导数。
全微分，全微分在近似计算中的应用。
复合函数微分法，隐函数微分法，偏导数几何应用。
多元函数的极值，多元函数的最大值与最小值，条件极值。
方向导数与梯度。
二重积分概念与性质，在直角坐标系中计算二重积分，在极坐标系中计算二重积分，二重积分应用举例。
对坐标的曲线积分的概念及性质，对坐标的曲线积分的计算，格林公式，曲线积分与路径无关条件。
对坐标的曲面积分的概念与性质，对坐标的曲面积分的计算，高斯公式。
[目的要求]
（1）理解多元函数概念，理解二元函数极限及连续概念。
（2）理解偏导数概念，会求二元初等函数的一、二阶偏导数。
（3）理解全微分概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
（4）会求复合函数和隐函数的偏导数，会求曲线的切线及曲面的切平面方程。
（5）理解二元函数极值概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单的最大值与最小值应用问题。
（6）理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，掌握二重积分的计算方法，会用二重积分计算一些几何量（体积、曲面面积）和简单物理量（质量、质心等）。
（7）理解对坐标的曲线积分的概念，掌握对坐标的曲线积分的计算，掌握格林公式及曲线积分与路径无关条件。
（8）理解对坐标的曲面积分概念，掌握对坐标的曲面积分的计算及高斯公式。
（90掌握Gauss公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes公式，并能利用它计算某些曲线积分。
[重点难点]重点：
多元函数，偏导数，全微分概念，多元复合函数求导法则。
二重积分概念，二重积分计算，*曲线积分概念与计算。
难点：
全微分概念，多元复合函数求导法则。
二重积分化为累次积分，格林公式、Gauss公式、Stokes公式。
[教法建议与说明]
（1）教学中要注意与一元函数相关概念对比教学，求同存异，使学生在把握一元函数与二元函数相关概念关系的同时，明确其差异。
（2）在二元函数极限教学中注意点
方向的任意性及方式的多样性，这是一元函数与二元函数极限的主要区别，也是造成二元函数极限、连续、偏导数、全微分概念间关系有别于一元函数相关概念间关系的根源。
（3）讲清偏导数概念与计算的原则是多元问题一元化。
因此，偏导数概念的讨论与计算实际上就是一元问题。
（4）全微分概念的建立是难点，教学中可与一元函数微分的定义进行类比分析，从实际问题的全增量讨论中概括出全微分概念。
（5）多元复合函数的复合结构复杂多变，因此对多元复合函数求导法则的掌握应把重点放在分析函数结构，弄清复合关系，建立函数结构图形上，依据函数结构图形与求导法则的联系掌握和记忆求导法则。
（6）教学中适当增加多元函数优化模型实例，培养学生数学建模能力。
（7）二重积分概念的引入可以从两方面出发。
一方面是对比一元函数定积分概念，通过对曲顶柱体体积的分析，采取分割取近似，求和取极限的方法抽象出二重积分概念，另一方面，可以按照微元法解决曲顶柱体体积，概括出二重积分的概念。
（8）二重积分化为累次积分时关键是选择积分次序，正确确定积分限。
教学中要讲明积分次序选取和坐标系选用原则：
（１）区域尽可能不分块；
（2）尽可能使积分限简单；（３）内层积分易求。
三者兼顾，抓主要矛盾。
（9）曲线积分，曲面积分，依据专业课程要求进行选学。
6、无穷级数
[教学内容]数项级数及其性质，正项级数及其敛散性，交错级数及其敛散性，绝对收敛与条件收敛。
幂级数概念，幂级数性质。
将函数展开成幂级数，幂级数的应用。
将以
为周期的函数展开成傅里叶级数。
将以
为周期的函数展开成傅里叶级数。
[目的要求]
（1）了解无穷级数的收敛与发散及收敛级数和的概念，了解级数收敛的必要条件及无穷级数的基本性质，了解几何级数和
-级数的收敛性。
（2）会用正项级数的比较审敛法，比值审敛法；会用交错级数的莱布尼茨审敛法，了解绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛与收敛的关系。
（3）理解幂级数收敛半径概念，掌握幂级数收敛半径及收敛区间的求法，了解幂级数的应用。
（4）会利用公式及性质将简单函数展开成幂级数。
（5）会将以
为周期的函数展开成傅里叶级数。
[重点难点]重点：
数项级数敛散概念，正项级数比值审敛法，幂级数概念及收敛半径，把函数展开成幂级数，以
为周期的函数展开成幂级数。
难点：
正项级数审敛法，将函数展开成幂级数。
[教法建议及说明]
（1）教学中要指明级数和与有限项相加的和是两个根本不同的概念。
级数的敛散性是借助部分和数列的极限来定义的，因此级数和可能存在也可能不存在，这是级数和与有限项相加的和的本质差异，也是级数和的某些运算法则有别于有限项相加的和的原因。
（2）对于数项级数敛散性判别不要过高要求，以正项级数审敛法为主，只要会判别一些简单的数项级数敛散性即可。
（3）注意指明阿贝尔定理指出了幂级数收敛点集的结构，定理证明可以从略。
（4）将函数展开成幂级数的教学中应注意阐明展开的意义是一种简单代替复杂的转换，是一种以幂函数的和运算代替超越函数的转换
7、微分方程
[教学内容]微分方程的基本概念与分离变量法。
一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程。
二阶常系数线性微分方程性质，二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法。
二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法。
常微分方程在数学建模中的应用。
[目的要求]
（1）理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念，掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法。
（2）了解可降阶的高阶微分方程解法，了解二阶常系数线性微分方程的通解结构，掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。
（3）会求解自由项为
的二阶常系数非齐次线性微分方程。
（4）会建立简单的微分方程模型，求解一些常见的实际问题。
[重点难点]重点：
分离变量微分方程、一阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程的解法。
难点：
二阶常系数线性非齐次微分方程，微分方程模型的建立。
[教法建议及说明]
（1）在分离变量法教学中，要注意：
a、分离变量后取不定积分时要明确是取
作为积分变量，写成
时左端已作了变量代换；b、分离变量法在变形中可能要失解，c、在化简解的表达式时，有时积分常数用
代替更为方便。
（2）注意讲清常数变易法的来源及通解公式的结构特征。
在一阶微分方程中同一方程可能属于不同类型，应把握各类方程特征，选择恰当的方法。
（3）掌握二阶常系数线性非齐次方程特解形式的设定，加强练习。
（4）加强微分方程建模能力的培养，适当介绍各种典型微分方程模型的应用，扩大学生微分方程建模的知识面，提高数学建模
总复习
期末考试考题题型包括填空、选择、判断、计算、证明、应用及综合题目，内容要覆盖所讲内容包含各知识单元、知识点的教学要求。
知识、能力、素质培养映射关系表
序号
知识
能力与素质
教学方法
1
定理的证明
逻辑思维能力
启发式教学法
2
几何图形
形象思维能力
创设情境、启发思考，采用动画演示学生进演示实验室等形式，激发探究欲望，加深学生的感性认识。
3
应用题和专业实例
分析解决问题和实践应用能力，由理论到实践的初步跨越
问题教学法
例题和习题中增加与实际问题相联系的的问题,让学生从这些实际问题出发,抓住主要因素,忽略次要因素,进而建立数学模型,应用数学知识进行定量计算，这样将数学理论结合实际应用,提高学生解决实际问题的能力。
4
计算题的解析
培养学生的基本运算能力
选择简单和复杂的计算题，在黑板上展示，训练学生的运算能力
5
定理和结论的探索过程
培养学生的创新思维能力
选择一些有应用价值的定理和结论，讲述其作者的发现过程，教会学生怎么去观察，发现问题，解决问题，得出我们所需要的结论。
学生的创造性的思维能力会得到很大的提高
十五教学方法：
课堂理论教学为主，通过教师讲解，学生讨论等多样化的教学方法按照预定的大纲要求完成教学任务。
十六考核及成绩评定方式：
闭卷考试，平时成绩50%（半期考试30%，作业10%，上课10%），期末考试50%
十七、能承担此课的教师：
叶仲泉王新质阴文革王晓宏张谋肖志祥王汉明李小娅、王开荣张良才于光磊罗广萍张敏潘致锋田玉芳王克金易正俊杨木洪曹术存段正敏张万雄谢德政李江涛颜军邓林方延洪刘霞等
大纲执笔人：
李江涛张良才
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