213二次函数与一元二次方程每日一练.docx
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213二次函数与一元二次方程每日一练
21.3二次函数与一元二次方程（每日一练）
1．（2019•苏家屯区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象如图所示，则方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
2．（2019•潍坊）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6
3．（2018秋•伍家岗区期末）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
a
0.59
1.16
已知方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是1.2，则a可能值范围为（ ）
A．a＝﹣1B．﹣1＜a＜0.49
C．|a|＜0.49D．1.16≥a≥0.59
4．（2018秋•昭平县期末）如图，直线y
x﹣m与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，﹣2），B
两点，如果
x﹣m＞ax2+bx+c，那么x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜4C．x＞4D．x＜﹣1或x＞4
5．（2019•梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2
6．（2018秋•漳州期中）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18B．2.68C．﹣0.51D．2.45
7．（2018秋•朝阳区期末）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
x
……
﹣1
0
2
4
5
……
y1
……
0
1
3
5
6
……
y2
……
0
﹣1
0
5
9
……
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜﹣1或x＞5D．x＜﹣1或x＞4
8．（2018•金牛区模拟）对于二次函数y＝﹣x2+2x+8．有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x＝1；②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；③x＝﹣2是方程﹣x2+2x+8＝0的一个根；④当﹣2＜x＜4时，﹣x2+2x+8＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2018•洛宁县模拟）如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y
的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式
1＞0的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜﹣1C．0＜x＜1D．﹣1＜x＜0
10．（2018•历下区三模）若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤3B．﹣1＜x＜1C．﹣1≤x≤1D．2＜x＜3
11．（2018秋•秀洲区期末）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y
的图象．（如图所示）①如果
a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a
，那么a＞1；③如果a2
a，那么a＜﹣1．则真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．（2019春•海淀区校级期末）关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个大于0而小于1的根，则a的取值范围是
13．（2019•开封一模）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：
①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是 ．
三．解答题（共5小题）
14．（2018秋•西城区校级月考）抛物线y＝x2+mx+3经过点P（﹣1，0）．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）画出该抛物线的图象；
（4）直接写出关于x的方程x2+mx+3＝0的两个根；
（5）直接写出关于x的不等式x2+mx+3＞0的解集．
15．（2019春•朝阳区校级期末）新定义：
[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+e（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：
y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]
（1）二次函敌y
x2﹣x﹣1的“图象数”为 ．
（2）若图象致”是[m，m+1，m+1]的次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
挑战题
1．（2017秋•即墨区期末）主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：
x2﹣3x＞0．
解：
设x2﹣3x＝0，解得：
x1＝0，x2＝3．则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0）．画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象（如图所示），由图象可知：
当x＜0或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣3x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣3x＞0的解集为：
x＜0或x＞3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解答过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想④整体思想
（2）一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：
x2﹣3x﹣4＜0的解集．
答案解析
21.3二次函数与一元二次方程（每日一练）
1．
【解析】解：
∵二次函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数解．
故选：
B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：
把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式．
2．
【解析】解：
∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11；
故选：
A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
3．
【解析】解：
根据二次函数图象的对称性，观察表格得：
方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
∴|a|＜0.49，
故选：
C．
【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
4．
【解析】解：
把A（﹣1，﹣2）代入y
x﹣m得
m＝﹣2，解得m
，
所以直线解析式为y
x
，
把B（n，
）代入y
x
得
n
，解得n＝4，
则B点坐标为（4，
），
所以当x＜﹣1或x＞4时，
x﹣m＞ax2+bx+c．
故选：
D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
5．
【解析】解：
关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，
∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：
当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；
又∵x1＜x2
∴x1＝﹣1，x2＝2；
∴x1＜﹣1＜2＜x2，
故选：
A．
【点睛】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2的问题转化为二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．
6．
【解析】解：
∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：
D．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：
点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
7．
【解析】解：
∵当x＝0时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
故选：
D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式：
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
8．
【解析】解：
y＝﹣x2+2x﹣1+9＝﹣（x﹣1）2+9，
∴抛物线的对称轴为x＝1，故①正确；
∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y的值随x的增大而减小，故②正确；
当x＝﹣2时，﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+8＝0，
∴x＝﹣2是方程﹣x2+2x+8＝0的一个根，故③正确；
令y＝0得：
﹣x2+2x+8＝0，解得：
x＝﹣2或x＝4，
∴当﹣2＜x＜4时，﹣x2+2x+8＞0，故④正确．
故选：
D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数与不等式、抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质是解题的关键．
9．
【解析】解：
由
x2﹣1＜0得，x2+1
，
∵点A的横坐标为1，如图所示，
∴不等式的解集是0＜x＜1．
故选：
C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解是解题的关键．
10．
【解析】解：
由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0，
∵当x＝0时，﹣6＞0不成立，
∴x≠0，
∴关于a的一次函数y＝x2•a+5x﹣6，
当a＝﹣1时，y＝﹣x2+5x﹣6＝﹣（x﹣2）（x﹣3），
当a＝1时，y＝x2+5x﹣6＝（x﹣1）（x+6），
∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立，
∴
，
解得2＜x＜3．
故选：
D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，一次函数的性质，难度较大，确定从一次函数的增减性考虑求解然后列出关于x的一元二次不等式组是解题的关键．
11．
【解析】解：
当x＝1时，三个函数的函数值都是1，
所以，交点坐标为（1，1），
根据对称性，y＝x和y
在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），
①如果
a＞a2，那么0＜a＜1，故①正确；
②如果a2＞a
，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故②错误；
③如果a2
a时，那么a＜﹣1，故③正确．
综上所述，真命题是①③．
故选：
C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
12．
【解析】解：
解方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2a﹣1，
∵方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个大于0而小于1的根，
∴0＜﹣2a﹣1＜1
解得﹣1＜a
．
∴a的取值范围是﹣1＜a
．
故答案为﹣1＜a
．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：
把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了解一元二次方程．
13．
【解析】解：
由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，
从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，△＝b2﹣4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确；
已知该抛物线是开口向上，顶点为（﹣3，﹣6），故ax2+bx+c≥﹣6正确，从而②正确；
由抛物线的对称轴为x＝﹣3，点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则点（﹣2，m）离对称轴的距离为1，而点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而m＜n，故③错误；
由图象可知，x＝﹣1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根，由二次函数的对称性，可知﹣5为另一个根，从而④正确；、
综上，正确的是①②④．
故答案为：
①②④．
【点睛】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一元一次不等式，及二次函数的对称性，难度中等．
三．解答题（共5小题）
14．
【解析】解：
（1）把点P（﹣1，0）代入抛物线y＝x2+mx+3得：
1﹣m+3＝0，
解得：
m＝4，
（2）由
（1）得m＝4，故抛物线的解析式为：
y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，
即顶点坐标为：
（﹣2，﹣1），
（3）由
（1）
（2）得，图象经过点（﹣1，0），（﹣3，0），（﹣2，﹣1），（0，﹣3）（﹣4，3）
由五点画图法得，所画图象如图所示
（4）由（3）图象可知，
x2+mx+3＝0的两个根为；﹣3和﹣1
（5）由（3）所示图象可知
当x＞﹣1或x＜﹣3时，不等式x2+mx+3＞0，
故不等式x2+mx+3＞0的解集为：
x＞﹣1或x＜﹣3
【点睛】此题考查的是二次函数的顶点坐标，图象的五点画图法，二次函数与一元二次方程的，一元二次不等式的结合，掌握二次函数的零点的意义，是解决此题的关键．
15．
【解析】解：
（1）二次函数y
x2﹣x﹣1的“图象数”为[
，﹣1，﹣1]；
故答案为[
，﹣1，﹣1]；
（2）二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1，
根据题意得△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0，
解得m1＝﹣1，m2
．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：
把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
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