1
满足Xj_Xj兰一.
j10
证明如图1,将实数轴上介于0与1那段（连同端点）等分为10小段（这10个小段也就是10个等分区间，即10个抽屉），每一小段长为丄.由抽屉原理，11个点（数）中至少
10
有口+1=2个点落在同一条小线段上，这两点相应的数之差的绝对值乞丄.
1（1010
01
图1
例2任给7个实数，证明必存在两个实数a,b满足0—..3（a-b）：
：
：
1+ab.
Tt31证明设七个实数为a1,a2,a3,…,ay，作Qi=arctgai（i=1,2，…',7）,显然Qj€（,），
22
把（石三）等分成六个区间:
nnnnnnnnn
（石二），肓二），蔷①，0,6），6,3），3由抽屉原理，Q1,Q2,…，Q7必有两个属于同一区间，不妨设为Qi,Qj,而不论Qi,Qj属于哪
1
个小区间都有0乞Qi-Qj:
：
：
—，由正切函数的单调性可知，0：
：
：
tg（Qi-Qj）：
：
：
tg1（“），
66<3
a-b0（QiQj）,1+ab0,从而有0_3（a-b）：
：
1+ab.
对于给定了一定的长度或区间并要证明不等式的问题，我们常常采用等分区间的构造方法来构造抽屉，正如上面的两个例子，在等分区间的基础上我们便很方便的构造了抽屉，从而寻找到了证明不等式的一种非常特殊而又简易的方法，与通常的不等式的证明方法（构造函数法，移位相减法）相比，等分区间构造抽屉更简易，更容易被人接受•
（二）利用几何图形构造抽屉
在涉及到一个几何图形内有若干点时，常常是把图形巧妙地分割成适当的部分，然后用分割所得的小图形作抽屉•这种分割一般符合一个“分划”的定义，即抽屉间的元素既互不重复，也无遗漏；但有时根据解题需要，分割也可使得抽屉之间含有公共元素
例3如果直径为5的圆内有10个点，求证其中有某两点的距离小于2.
证明先将圆分成八个全等的扇形，再在中间作一个直径d=1.8的圆（如图2），这就把已知的圆分成了9个区域（抽屉）.由抽屉原理，圆内的10个点（球），必有两点落在同一区域内，只须证明每个区域中的两点的距离都小于2.显然，小圆内任两点间的距离小于2,又曲边扇形ABCD中，AB：
：
：
2,AD：
：
：
2,CD：
：
：
2,而任两点距离最大者AC，有
AC=OA2OC2-2OAOCcos45
=2.520.92-2.50.9,2
=.3.88<2.
图2
（三）利用整数分组制构造抽屉
例4对于m1个不同的自然数，若每一数都小于2m,那么可以从中选取三个数，使其中两个数之和等于第三个数•
证明把这m・1个自然数按单调递增顺序排列：
ao:
:
:
內：
：
：
…：
:
:
am,作4=3-3。
i=1,2,-,m,则0:
:
:
bi:
:
:
b2：
：
：
…：
:
:
bm:
:
:
am:
:
:
2m，考察ai©,…，ambb,…,bm这2m个小于2m的自然数，显然有bi:
:
:
ai（i=1,2,--,m），则必有a^bj=aj-a°,即ao-ai=aj.
例5证明：
从任意给出的5个整数中必能选出3个数，它们的和能被3整除.
证明设这5个整数为ti,t2,…，t5，这些整数被3除的余数无非是0、1、2,把这些余数看作3个抽屉.若每个抽屉都有数，则各取一个，由0+1+2=3能被3整除知，这3个数之和也能被3整除；若不然，5个数至多落入2个抽屉，由抽屉原理知，至少有一个抽屉
落入-+1=3个数，这3个数同余，其和能被3整除.
_2
（四）利用奇偶性分类构造抽屉
例6平面上至少应给出几个格点（也称整点，即横坐标、纵坐标都是整数的点），才能使得其中至少有两个点的连线的中点仍是一格点•
分析设两个格点的坐标为（x1,y1）,（x2,y2）,则连线的中点坐标（竺空，仏y2）.
22
易见，为保证中点坐标为整数，当且仅当为与X2,y1与目2同奇偶；因此，可按奇偶性将所
有格点的坐标分类，共有（奇,奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶,偶）四种情况，把这四种情况看作抽屉，由抽屉原理，至少应给出5个格点，才能保证至少有两点属于同一类，从而才有两点连线的中点是格点（结果是显然的，证明从略）.
（五）利用分组构造抽屉
利用这种构造法解题，确定分组的“对象”很关键•确定了“对象”之后，其个数相
对于“球”的个数而言，又往往显得太多.只有把这些“对象”分成适当数量的组（即抽屉）后，才能应用抽屉原理•
例7由小于100的27个不同的奇数组成的集合中，必有两个数，其和为102.
分析小于100的奇数有1,3,5，…，99共50个数，现在要用它做成26个抽屉，而且至少有一抽屉不少于两个数，这两个数之和恰为102就解决了.
证明将小于100的所有奇数分成26个组（抽屉）:
几={1},A2={3,99},A3={5,97},…，Ak
={2k-1,103-2k},,A25={49,53},血={51}.因为有27个奇数，旦+1=2,所以由抽屉原
126」
理，必有两个奇数落在同一抽屉，这两个数之和恰好等于102.
例7的分组对象较为明显，而有的题目的分组对象没有直接给出，要先把它们找出来，
再分组.有时，虽然明确了分组对象，但抽屉（组）的构造不是很直观，须用递推方法进行
分类.
（六）利用状态制构造抽屉
例8设有六点，任意二点不共线，四点不共面，如果把这六个点两两用直线联系起来，并把这些直线涂以红色或者蓝色.求证：
不论如何涂色，总可以找到三点，做成以它们为顶点的三角形，而这三角形三边涂有相同的颜色.
分析设已知六点为Al,A2,A3,A4,A5,A6,由于任三点不共线，所以任三点均可作为某三角形的三个顶点.
证明从六个点中任取一点Al，将Al与其余五点相连得到五条线段，线段如下所示：
AlA2,AlA3,AlA4,AlA5,AlA6,这五条线段只有两种颜色即红色或者蓝色，由抽屉原理知，至少有三条涂有同一种颜色.（颜色为抽屉，线段为元素），不妨设AA2,A1A3,A1A4,涂有红色,这时我们考察△A2A3A4.
（1）若厶A2A3A4中有一条红色边，如A2A3，则△A1A2A3为三边同红的三角形；
⑵若厶A2A3A4中无一条红色边，则△A2A3A4就是三边均为蓝色的三角形.
综合所述，抽屉的构造方法大致可归结为两大类：
一类是分割图形构造抽屉；一类是用分类的概念构造抽屉.抽屉构造之巧妙，常令人惊叹不已，拍案叫绝，抽屉的构造方法也不胜枚举，在这里我们旨在做到举一反三.抽屉原理是组合数学中貌似平凡却透着不平凡应用定理之一，是Ramsey定理的基础，下面我们就来探讨抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用.
三、抽屉原理的应用
（一）抽屉原理在高等数学中的应用
高等数学中一些问题抽象，复杂，解答比较困难，如果一些问题巧妙地运用抽屉原理会收到很好的效果，下列举例介绍抽屉原理在高等数学中的巧妙应用.
例9设A为n阶方阵，证明：
存在1_i_n，使秩（Ai）=秩（Ai1）=秩（Ai2）=
证明因为n阶方阵的秩只能是0,1,2,-,n这n+1个一，E二A°,A,A2,…，An,An二E的个数多于秩的个数，由抽屉原理可知，存在k,l满足仁kvl"使
秩（Ak）=秩（a1）,
但
秩（Ak）一秩（AkJ-…-秩（a1）,
所以
秩（Ak）=秩（Ak1）,
利用此式与秩的性质得
秩（ABC）-秩（AB）+秩（BC）-秩（B）,
这里的A,B,C是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证
秩（Akm）=秩（Akm1）.
其中m为非负整数，故命题的结论成立.
例10从n阶群P中任取n个元素5,P2,,pn，证明存在k,l（1乞k空丨空n）,使pkPk.1"
pi=e（单位元）.
证明|P|=n，用所取元素的积及e作序列：
e,pi,pip?
…，P1P2…Pn,那么它的n・1项都是P中的元素，根据抽屉原理，上述序列中必有两项相等.如果P1P2…Pj=e，此时，
k=1,l=j符合要求；否则有
P1P2Pj=P1P2PjPj1…Pi（lj-1），
于是有
Pj1Pj2Pi=（P1P2Pj）'（P1P2Pj）=e，
取k=j1，有1n，使
PkPk1Pi=e.
（二）抽屉原理在初等数学（竞赛题）中的应用
初等数学问题的特点是：
只涉及一些相关的条件，或者有时虽然给出一些数值条件，但也不能应用这些条件通过通常的数学方
升级会员 