分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题.docx
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
知识聚焦不简单罗列
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝______________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝________________种不同的方法．
3．两个计数原理的区别
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：
分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
正本清源不单纯记忆
■链接教材
1．[教材改编]现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，从中任选1人参加接待外宾的活动，有________种不同的选法．
2．[教材改编]5位同学站成一排准备照相的时候，有2位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为________．
3．[教材改编]如图9 55 1所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．
图9 55 1
■易错问题
4．分类加法计数原理：
每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的．
某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种．
5．分步乘法计数原理：
所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的．
将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为________．
■通性通法
6．分类计数原理：
分类时标准要明确．
如果把个位数是1，且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________．
7．分步计数原理：
步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成．
某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种．
探究点一 分类加法计数原理
1某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．3种B．6种
C．9种D．18种
（2）现有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5个侧面分别编号为1，2，3，4，5，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有________种．
[总结反思]分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置．首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保计数不重复，不遗漏．
式题
（1）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，则不同的发言顺序的种数为（ ）
A．840B．720C．600D．30
（2）如图9 55 2所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（ ）
图9 55 2
A．15B．16
C．17D．18
探究点二 分步乘法计数原理
2
（1）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．
（2）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．（用数字作答）
[总结反思]利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：
（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素（或位置）为主体的计数问题，通常先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）；
（2）对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定．
式题
（1）某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是（ ）
A．216B．420
C．720D．1080
（2）用5种不同的颜色为如图9 55 3所示的广告牌着色，要求在①②③④四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为（ ）
图9 55 3
A．320B．240
C．180D．135
探究点三 两个计数原理的综合
3
（1）设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为（ ）
A．60B．90
C．120D．130
（2）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图9 55 4），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
图9 55 4
[总结反思]
（1）分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．
（2）分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．
（3）若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
式题设集合I＝{1，2，3，4，5}，选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种B．49种
C．48种D．47种
学科能力自主阅读型
【典例】若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种B．63种
C．65种D．66种
解析 D 先找出
再利用分类加法计数原理求解．满足题设的取法可分为三类：
一是4
个都是奇数，在奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C54＝5（种）；二是2个奇数2个偶数，在5个奇数中任取2个，再在偶数2，4，6，8中任取2个，有
；三是4个都是偶数，取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66（种）.
①处对和为偶数的情况把握不准；②处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时，是分步还是分类区分不清，错把分步看成分类，而误用加法公式.
【跟踪练习】
（1）[2015·唐山二模]一种团体竞技比赛的积分规则是：
每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（ ）
A．7种B．13种
C．18种D．19种
（2）给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．
物理性质化学性质物质性质与用途中招试题
1、为纪念化学对社会进步和人类文明的贡献，联合国将2011年定为“国际化学年”。
下列说法不正确的是…………………………………………………………【C】
A.合成药物的研发和使用，保障了人体健康
B.新材料的研制和应用，提高了人们的生活品质
C.化石燃料的直接利用，促进了低碳经济的发展
D.化肥的合理使用提高了农作物产量，缓解了人类粮食危机
2．厨房里发生的下列变化中，属于物理变化的是【 】
A．苹果腐烂 B．榨取果汁 C．面包发霉 D．菜刀生锈
3．人类的下列活动中，只有物理变化的是（）
A．磨制石器B．古代炼铁C．烧制陶器D．利用沼气
4．下列变化中，属于化学变化的是
A．矿石粉碎 B．纸张燃烧 C．酒精挥发 D．冰雪融化
5.日常生活中下列做饭属于化学变化的是（）
A.给自行车打起
B.把煤粉制成蜂窝煤
C.用食醋
去除水垢
D.用砂纸磨去铁片表面的铁粉
6.下列关于物质的性质和用途说法不正确的是（）
A.氧气用于火箭发射，是利用氧气的可燃性[来源:
学_科_网Z_X_X_K]
B.氮气用来保护粮食，是利用氮气常温下化学性质稳定
C.稀有气体充入霓虹灯，是利用稀有气体通电能发出不同颜色的光
7．化学变化使世界丰富多彩，下列变化中属于化学变化的是
A．切割大理石B．海水晒盐
C．石油分馏
D．光合作用
8、下列生活中的变化，属于化学变化的是
A、石蜡熔化B、粉笔折断C、纸张燃烧D、车胎爆炸
9、在日常生活中和农业生产中，下列物质用途由化学性质决定的是
A、用活性炭除去冰箱内的异味B、氮气用作保护气
C、用金属铜制作电线
D、干冰用于人工降雨
10.物质的用途与性质密切相关。
下列叙述错误的是（）
A．因为熟石灰能和酸发生反应，所以常
用熟石灰改良酸性土壤
B．因为洗洁精有乳化功能，所以可用洗洁精洗涤餐具上的油污
C．因为氮气化学性质不活泼，所以在食品包装袋内充入氮气用于防腐
D．同为甲醛能使蛋白后变性，起到防腐作用，所以可用甲醛水溶液浸泡水产品
11、（2011•张掖）2008年6月14日是我国第三个“文化遗产日”．以下是我省部分文化遗产，其制作过程主要属于化学变化（ ）
．
12下列变化属于化学变化的是
A．浓盐酸挥发，形成白雾
B．冰升华，形成白雾
C．镁条在空气中燃烧，产生自烟
D．水加热到沸腾，产生蒸汽
13．下列物质的用途中，与该物质的化学性质无关的是
A．CO作燃料B．CO2作灭火剂
C．CaCO3细粉作白色涂料D．酒精作燃料
14．下列变化中，属于物理变化的是
A．火药爆炸B．衣服晾干C．蜡烛燃烧D．粮食酿酒
15．下列各图所示变化中，属于物理变化的是
带火星的木条复燃对着干燥玻璃呼气木炭在O2中燃烧紫色石蕊试液中通入CO2
ABCD
16．下列变化属于化学变化的是
A．3.下列各物质的自述中，属于物质的化学性质的是
干冰升华B．火
柴梗被折断C．玻璃破碎D．木柴
17．下列属于化学变化的是（D）
A.冰雪融化B.榨取果汁C.瓷碗破碎D.木柴燃烧
18．化学与生括、生产密切相关。
请从①白醋②活性炭③熟石灰④小苏打中选择适当的物质填空（填序号）
（1）中和酸性土壤的物质是③；
（2）除去冰箱异味可用②；
（3）可用于焙制糕点的物质是④；
（4）除去水垢应选用①。
19．下列物质性质中，属于化学性质的是
A．溶解性B．挥发性C．导电性D．可燃性
20.（6分）化学就在我们身边，它能改善我们的生活。
（1）从氮气、氦气、氧气、氯化钾、硝酸钾、葡萄糖六种物质中选择适当的物质，按下列要
求填空。
①农田施用的复合肥是；②可供给人类呼吸的气体是_；
③医院为病人输液补充能量的物质是____；④可充入霓虹灯内且通电时会发出有色光的气体是____。
20.下列常的生活现象中，属于物理变化的是（C）
A.动植物呼吸B.剩饭变馊C.榨取果汁
D.铜生铜绿
21．
下列过程的原理，一定包含化学变化的是
A．蒸发B．导电
C．燃烧D．灭火
23、有六种物质：
a.食盐b.熟石灰c.稀盐酸
d.硝酸钾e.明矾f.碳酸氢钠。
请据此回答（填字母编号）
（1）常用于改良酸性土壤_____；
（2）可用于金属除锈的是_________；
（3）属于复合肥料的是_______；（4）可用于治疗胃酸过多症的是_______；[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
（5）常用作净水剂的是______。
24．2011年3月日，日本福岛海域发生强烈地震．选成福岛第一核电站3号机组燃料棒露出水面，高温下覆盖在燃料棒外管道上的锆与水蒸气发生反应，放出大量氢气并扩散到空气中，从而发生爆炸，关于这一爆炸的说法不正确的是：
A．属于物理变化B.属于化学变化
25．乙醇俗称酒精，有关乙醇性质的描述中属于化学性质的是
A．无色液体B．挥发性C．可燃性D．与水能互溶
26．下列物质用途错误的是（）
27．下列属于化学变化的是（）
A．①③B．②③C．②④D．③④
28.下列变化属于化学变化的是（）
D.蔬菜榨汁
29．下列变化过程中既有物理变化又有化学变化的是
A．活性炭吸附冰箱中的异味B．干冰汽化
C．点燃蜡烛D．分离液态空气制取氧气
30．下列诗句中不涉及化学变化的是
A．爆竹声中一岁除，春风送暖人屠苏B．只要工夫深，铁杵磨成针
C．千锤万凿出深山，烈火焚身若等闲D．野火烧不尽，春风吹又生
31．食品包装袋中经常使用到铝箔，铝能制成铝箔是因为铝具有良好的
A．导电性B．抗腐蚀性C．导热性 D．延展性
32．下列过程中，不是化学变化的是：
（）
A．铁锅生锈B．煤气燃烧C．石蜡熔化D．大米酿酒
33.下列变化中属于化学变化的是（）
A.钢铁生锈 B.冰雪融化
C.利用干冰制造舞台云雾 D.分离液态空气制氧气
（）32、下列变化属于化学变化的是：
A、干冰升华B、钢铁生锈C、水分蒸发D、冰雪融化
34．千姿百态的物质世界中，各种物质之间存在着多种相互作用，也不断地发生着变化。
下列生活中常见的变化中，一定发生化学变化的是
A．冰雪融化B．矿石粉碎C．榨取果汁D．煤炭燃烧
35．我国古代一些书法家、画家用墨（用炭黑等制成）书写或绘制的字画能够保存很长时间而不变色，这是因为单质碳具有
A．可燃性B．还原性C．在常温下，化学性质不活泼D．吸附性
36．生活中发生的下列变化，属于化学变化的是【】
A．冰雪融化B．食物腐烂C．汽油挥发D．石蜡熔化
37．请从氮气、熟石灰、氧气、硝酸钾中选择适当的物质填空：
可充入食品包装袋中防腐的物质是；农业上可作复合肥料的物质是。
39.下列物质的用途主要是由其化学性质决定的是【】
C.用煤作燃料
2．下列有关O2和CO2的自述中属于物理性质的 【 B 】
40．人的胃液里含有适量盐酸。
服用含MgCO3的抗酸药可治疗胃酸过多症，有关反应的化学方程式为；该抗酸药说明书上标明的食用方法为“嚼食”，将药片嚼碎后服用的优点是。
41．下列做法不正确的是【】
A．用熟石灰改良酸性土壤B．用洗洁精清洗餐具上的油污
C．用食盐水检验硬水和软水D．用氮气充入食品包装袋防腐
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