中考专题复习第三专题函数及其图象doc.docx
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第三章函数及其图象
一、变量与函数
（-）、课标要求
具体内容
知识技能要求
过程性要求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
简单实际问题中的函数关系的分析
V
具体问题中的数量关系及变化规律
常量、变量
V
函数的定义及三种表示法
V
自变量取值范围，函数值
V
使用适当的函数表示法，刻画实际问题中变量之间的关系
V
（二）、知识要点
1.在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
取值始终保持不变，我们称之为常量。
如：
圆的面积S随半径r的变化而变化，S与r是变量，兀是常量。
2.对于一个实际问题中的两个变量x、y,自身先变的量是自变量，随之而变的量是因变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则称x为自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数，通常我们把函数y放在等式左边，自变量x的代数表达式放在右边，构成函数关系式。
3.表示函数的方法通常有三种：
①解析法，②列表法，③图象法。
二、图形与坐标
（一）、课标要求
具体内容
知识技能要求
过程性要求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
平面直角坐标系、在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标
V
建立适当的直角坐标系描述物体的位置
V
函数图象的作图方法：
描点法
（二）、知识要点
1.在平面上两条原点重合、互相垂直且有相同单位长度的数轴，建立一个平面直角坐标
系。
其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向。
铅直的数轴叫做y轴或纵轴,
对称点的坐标（一加》）关于原点对称点的坐标（一加一）'）
5.点P（x,y）到x轴的距离是IM,到y轴的距离是同
6.x轴上点坐标表示为（x,0）或（a,0）等，y轴上点坐标表示为（0,y）或（0,b）
7.x轴上两点（a,0），（b,0）之间的距离是\a~b\或也一"Ly轴上两点（°，,
（0，〃）之间的距离是\m-A或H一州
8.函数图象的作图方法：
描点法
首先准确的求出函数值,把每一个自变量的值和与其对应的函数值相结合构成一个点的坐标，借助这个点的坐标就可以描出一个点，以相同的方式继续取值，可以得到足够的点的坐标，把这些点依次描出后，再把它们从左到右顺次用平滑曲线连接就可得到利用描点法作出的函数图象。
函数图象上的点与满足函数关系式的对应值是一一对应的。
三、一次函数
（一）、课标要求
具体内容
知识技能要求
过程性要求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
一次函数及表达式
V
V
一次函数的图象及性质
V
V
正比例函数
V
图象法求二元一次方程近似解
V
与一次函数相关的实际问题
V
（二）、知识要点
1.一次函数的概念：
函数（fc,4为常数，）叫做牙的一次函数。
学习这个定义应明确下面几点：
（1）作为一次函数自变量五的最高次数是1,且其系数这两个条件缺一不可。
（2）函数，=—十0（**0）中力可以为任意常数，当。
=。
时，一次函数
就成,（卜为常数，且*F0）,这时7叫做*的正比例函数，也可以说7与布成正比例，常数上叫做因变量、与自变量k的比例系数.因此正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。
2.一次函数的图像：
一次函数y=kx+b（k尹0）的图像是一条与坐标轴斜交的直线。
因此，只需求出直线y=kx+b上的两点，就可得到它。
一般，作正比例函数y=kx的图像常取点（0,0）和（1,k）；作一次函数y=kx^-h（h^0）
0
的图像常取（°，人）和（*'）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。
3.一次函数的性质：
（1）参数k、b的意义和对一次函数y=kx+b的图像与性质的影响。
当左时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右呈上升趋势；
当时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右呈下降趋势；因此，k的符号与直线的方向、函数的增减性是相互决定的。
（2）b是一次函数y=kx+b中，当x=0时所对应的函数值，因此直线y=kx+b与y轴交于点（0,b）,b是直线y=kx+b与y轴上的交点的纵坐标，所以，b的符号和直线与y轴交点位置是相互对应的.
（3）k、b的符号对直线位置的影响：
图像过一、二、四象限图像过二、三、四象限
讨论k、b符号与直线y=kx+b在坐标系中的位置要注意用k、b的意义去解决，不必死记对应的结论。
4.解析式的确定：
确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，它的一般步骤如下：
（1）写出函数解析式的一般形式：
>=**+&其中k,b是待定系数。
（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数k,b的方程或方程组。
（3）解方程或方程组求出待定系数k,b的值，从而写出一次函数的解析式。
注：
己知两直线：
亍=化1工+。
1俄1。
。
）和）「=*2工+。
2（*2芝°），且"1。
则k、=k、=/]〃/?
5.—次函数y=kx+b（k"0）和二元一次方程Ax+By=C之间在AOO且BOO的条件下是可以互相转化的。
即：
Ax+By+C=0（AA0,B壬0）
AQ
<=>yx（A。
0,BA0）
由此可知，在直角坐标系中，一次函数的图像所对应的是直线，同时也对应于一个二元一次方程。
因此两直线y=4工+4（佑壬°）和》=k2x+b2（k2丰0）的交点坐标也就是相应
的二元一次方程组I）'=k2X+b2的解。
四、反比函数
（一）、课标要求
具体内容
知识技能要求
过程性要求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
反比例函数及表达式
V
V
反比例函数的图象及性质
V
V
反比例函数的应用
V
（二）、知识要点
1.反比例关系的概念
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的积一-定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
比如，甲、乙两地的距离是100千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间t与行驶的速度V之间的关系是vt=100o
2.反比例函数的概念
k
y―—
（1）定义：
一般地，如果两个变量X,y之间的关系可以表示成X（k为常数，k
^0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
（2）自变量x的取值范围是x尹0,函数y的取值范围是y^Oc
3.反比例函数的几种等价形式
QV=—（^^0）。
y=近一丫旧。
）<=>=k（A夭0）
y是X的反比例函数尤•变量y与X成反比例（比例系数为k）o
4.反比例关系解析式的确定
）'=一
由于反比例函数的解析式X中只有一个待定系数k,确定了k的值，也就确定了反
y=~
比例函数，因而一般只需给出一组X,y的对应值，然后代入I中即可求出k的值。
从
而可确定反比例函数的解析式。
5.“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系
如果xy=k（k为常数，且k尹0）,则x与y这两个量成反比例关系。
这里的x,y既
k
y=——
可代表单独的字母，也可表示其他代数式。
比如y与x2成反比例，则尤2,但不能说y是X的反比例函数。
成反比例的关系式，不一-定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系。
6.反比例函数图像的画法
反比例函数的画法与一次函数类似，步骤为列表、描点、连线。
列表时，因为反比例函数的自变量的取值范围是x乂0,故在画反比例函数的图像时，为了使描出的点具有代表性，x应该取一部分正数，取一部分负数，一般是正数、负数各取一半，并且互为相反数。
这样既可简化运算，又便于描点。
7.
反比例函数的性质：
V..
图像：
双曲线
性质：
（1）k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象
限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
（2）k<0时函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个
象限内，y随x的增大而增大。
五、二次函数
（-）、课标要求
具体内容
知识技能要求
过程性要求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
二次函数的定义、表达式
V
V
二次函数的图象及性质
V
二次函数图象的顶点、开口方向、对称轴
V
二次函数的应用
V
利用二次函数求一元二次方程的近似解
V
（二）、知识要点
1.二次函数解析式的儿种形式：
%1一般式：
）'=cb2+*+cs、b、c为常数，a尹0）
%1顶点式：
y=—/疣+*3、h、k为常数，a尹0）,其中（h,k）为顶点坐标。
%1交点式：
y=ci{x-x^x-x2\其中玉，R是抛物线与x轴交点的横坐标，即一
元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且a^O,（也叫两根式）。
2.二次函数）'=。
亍+/zr+c的图象
%1二次函数y=cix2+bx^c的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
%1任意抛物线>=心-"）2+k可以由抛物线y=心2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：
［左加右减，上加下减］,具体平移方法如下表所示。
③在画y=^2+hx+c的图象时，可以先配方成y=a（x-h）2+k的形式，然后将
）'="/的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：
也是将
y=cvc2^hx+c配成y=a（x-h）2-^k的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y轴的交点（0,c）,及此点关于对称轴对称的点（2h,c）；如果图象与X轴有两个交点，就直接取这两个点（X|,0）,（X2,0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3.二次函数的性质
函数
二次函数y二心？
+版+。
（a、b、c为常数，a^O）
y=a（x-h）2+k（a、h、k为常数，a尹0）
a>0
a<0
a>0
a<0
图象
J
\
iy
L
J
/
、y
A
f/
L
/
0
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸
性
b
（2）对称轴是乂=2。
，顶点是
b^ac-b2
（2a4。
）
b⑵对称轴是x=2。
，顶点是
b^ac-b2（2。
4。
）
⑵对称轴是x=h,顶点是（h,k）
（2）对称轴是x=h,顶点是（h,k）
质
b
X<
⑶当2a时，y随
X的增大而减小；当
b
X>
2。
时，y随x的
增大而增大
b
X<
⑶当2。
小j,y随
X的增大而增大；当
b
X>
2。
时，y随x的
增大而减小
（3）当X的增大而减小；当X>h时，y随x的增大而增大。
⑶当xh时，y随x的增大而减小
（4）抛物线有最低点，当
b
X=
2。
时，y有最小
4ac-b2值，膈血一4。
（4）抛物线有最高点，当
b
X=
2。
时，y有最大
^ac-b2
值一4。
（4）抛物线有最低点，当x=h时，y有最小
值最小值二*
（4）抛物线有最高点，当x=h时，y有最大
值y最大值=上
4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法
①配方法：
将解析式y=cix2+bx+c化为>=。
（尤-/?
）2+人的形式，顶点坐标为（h,
最大值，当x=hn、j,y最大值=*。
b4ac-b2
②公式法：
直接利用顶点坐标公式（2。
'4。
），求其顶点；对称轴是直线
5.抛物线与x轴交点情况：
对于抛物线=ax1+/?
x+c（。
公°）
尤=__L时，y
最大值，当2a'最大值
4ac-b2
4a
①当△=》2-4qc、＞0时，抛物线与X轴有两个交点，反之也成立。
%1当△=»?
-4oc=0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
%1当△=屏一4皿?
＜。
时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。
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