知识讲解正态分布理.docx
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知识讲解正态分布理
正态分布
【学习目标】
1.了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
2.了解正态曲线与正态分布的性质。
【要点梳理】
要点诠释：
要点一、概率密度曲线与概率密度函数
1•概念：
对于连续型随机变量X,位于X轴上方，X落在任一区间（a,b］内的概率等于它与X轴、直线x=a
与直线x=b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X的概率密度曲线，以其作
为图象的函数f（x）叫做X的概率密度函数。
1概率密度函数所取的每个值均是非负的。
2夹于概率密度的曲线与X轴之间的平面图形”的面积为1
③P（a：
：
：
X：
；b）的值等于由直线x=a,x=b与概率密度曲线、X轴所围成的平面图形”的面积。
要点二、正态分布
1.正态变量的概率密度函数
I孕
正态变量的概率密度函数表达式为：
Wμtj（x）=—e2。
（XER）,（bAθ,q<μ<扫C）
√2πσ
其中X是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；匚是正态变量的标准差.
2.正态分布
（1）定义
b
如果对于任何实数a,b（a：
：
：
b）随机变量X满足：
P（a：
：
：
X乞b）,；-（x）dx,
则称随机变量X服从正态分布。
记为XLNCi「2）。
（2）正态分布的期望与方差
若XLNef2）,则X的期望与方差分别为：
EX=二,DX=:
;2。
要点诠释：
（1）正态分布由参数J和二确定。
参数∙1是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。
标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它
就服从或近似服从正态分布•
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布•例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.
要点三、正态曲线及其性质：
1.正态曲线
1-^X
如果随机变量X的概率密度函数为f（X）e2∙τ（XR）,其中实数」和二为参数
√2∏σ
（0＞0,"V卩＜-HC）,则称函数f（X）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
2•正态曲线的性质：
1曲线位于X轴上方，与X轴不相交；
2曲线是单峰的，它关于直线X=二对称；
1
3曲线在X--1时达到峰值—；
√2πc
4当X：
：
：
∙I时，曲线上升；当x∙∙I时，曲线下降•并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X轴为渐
近线，向它无限靠近•
5曲线与X轴之间的面积为1；
6.L决定曲线的位置和对称性；
当二一定时，曲线的对称轴位置由」确定；如下图所示，曲线随着」的变化而沿X轴平移。
7二确定曲线的形状；
当P—定时，曲线的形状由∙σ确定。
＜r越小，曲线越高瘦”，表示总体的分布越集中；∙σ越大，曲线
越矮胖”，表示总体的分布越分散。
如下图所示。
J
/
f=0・5
IΛL
-3-2-1
P123
要点诠释：
性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（X轴）•性质②并且说明了函数具有对称
性；性质③说明了函数在X=」时取最值；性质⑦说明σ越大，总体分布越分散，σ越小，总体分布越集
中.
要点四、求正态分布在给定区间上的概率
1.随机变量取值的概率与面积的关系
2
若随机变量ξ服从正态分布N（4,<ι）,那么对于任意实数a、b（aVb）,当随机变量ξ在区间（a,
b］上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a,x=b以及X轴所围成的图形的面积相等•如图
（1）中
的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a,b］上取值的概率.
一般地，当随机变量在区间（一∞,a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左侧以及X轴围成图形的面积，如图
（2）•随机变量在（a,+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a右侧以及X轴围成图形的面积，如图（3）•
根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解.
2、正态分布在三个特殊区间的概率值：
P（」—X」C=O.683；
P（J一2二：
：
X」2；「）=0.954；
PC二「3匚：
：
：
X虫a〔3；「）=0.997。
上述结果可用下图表示：
要点诠释：
0.997，落在
小概率事件几
简称为3二原
若随机变量X服从正态分布N（d；「2）,贝UX落在（.二-3「厂「3二）内的概率约为
U■3；刁之外的概率约为0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，
乎不可能发生。
一般的，服从于正态分布N（∙if2）的随机变量X通常只取（」-3二厂「3二）之间的值,则。
3、求正态分布在给定区间上的概率方法
（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与X轴之间面积为1。
①正态曲线关于直线X=∙I对称，与X=∙I对称的区间上的概率相等。
例如P（X：
：
：
」•-；「）=P（X•「；「）；
2P（X：
：
：
a）=1—P（X_a）；
3若厂\则P（X：
b）^-P^-^^-Ib）。
（2）利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
①P（Ji-：
：
X：
：
」；「）=0.6826；
②P（亠一2匚：
：
：
X=：
【2二）=0.9544；
③P（」-3二：
X_J3二）=0.9974。
【典型例题】
类型一、正态分布的概率密度函数
例1.下列函数是正态密度函数的是（
）•
I4
A.P（X）=E
都是实数
B.P（X）—
C.
P（X）=-^e
2√2Γ
W）2
-4
1—
D.P（X）∖e2
【思路点拨】本题可对照正态密度函数的标准形式判断∙
其中指数部分的二应与系数的分母处的二保持一致，系数为正数且指数为负数.
选项A有两处错误，分别是,2~■-错为..2二二，指数错为正数.选项C,从系数可得二=2,而从指
数处可得二=,2,显然不符.选项D中指数为正，错误.所以正确答案为B.
举一反三:
（3）
f（x）
22（X
-^e,x
值与方差分别是（
f（x）
1-2
e2,χ（_：
：
：
：
）
【答案】
（1）0,1
（2）1,2（3）-1,0.5
【变式3】正态总体为亠=0,二=1」概率密度函数f（x）是
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数
I答案】Bo因为f（x“Le⅛所以选Bo
√2π
【变式4】一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：
mm）:
10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸X服从正态分布,
求正态分布的概率密度函数式.
【答案】求正态分布的概率密度函数式，只要求出参数丄和二即可，而二即样本均值，二即样本标准差.
1
依题意得（10.210.1109.89.910.39.7109.910.1）=10,
10
2122222
C[（10.2—10）（10.1—10）（10—10）（9.8—10）（9.9—10）
10
50（x」0）2
^3
（10.3-10）2-（9.7一10）2（10一10）2∙（9.9-10）2-（10.1—10）2]=0.03.
即-10,72=0.03•所以X的概率密度函数为
类型二、正态曲线
例2.如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.
于是概率密度函数的解析式是
P（X）=I—e
2√π
（XQ0）2
4,x∈
（—∞,+∞）.总体随机变量的期望是
【总结升华】利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：
一是对称轴X=μ,
•1、二便确定了，代入P（X）中便可求出相应的解析式.
最值J-.这两点确定以后，相应参数纵
J2兀α^
举一反三：
【变式1】关于正态密度曲线性质的叙述：
1曲线关于直线X=」对称，整条曲线在X轴上方；
2曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
3曲线在X=J时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
4曲线的对称位置由卩确定，曲线的形状由σ■确定，θ^越大曲线越矮胖”反之，曲线越高瘦
其中叙述正确的有（）.
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④
【答案】B
根据曲线关于直线X=」对称，只有当J=0时函数才是偶函数，故②错.利用排除法选B.
【变式2】如图，两个正态分布曲线图：
1为4.-（x），2为「女2（x）,
贝U叫J2,二1二2（填大于，小于）
【答案】v,>。
解析：
由正态密度曲线图象的特征知。
【变式3】如图是三个正态分布X〜N（0,0.25）,丫〜N（0,1）,Z〜N（0,4）的密度曲线，则三个随
机变量X,Y,Z对应曲线分别是图中的_
yi
【答案】①②③。
【变式4】已知正态总体落在区间0.2,的概率是0•5,那么相应的正态曲线在X=时达到最高
点。
【答案】0.2。
由于正态曲线关于直线χ=∙I对称，由题意知」=0.2。
类型三、正态分布的计算
例3•已知随机变量
ξ服从正态分布N（2,σ2）,
P（ξ≤4=0.84,则P（ξ≤0=（
）
A•0.16
B.
0.32
C.0.68
D.
0.84
【思路点拨】可画出正态曲线，禾U用正态曲线的对称性解决。
【解析】∙∙∙P（≤4）=0.84,μ=2,∙∙∙P（ξ≤0）=P（≥4）
=1—0.84=0.16,故选A.
【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用。
举一反三：
【变式1】
（1）XLJN（0,1）,和二的值各是多少？
（2）XLlN（-1,9）,」和二的值各是多少?
【答案】
（1）比照XLN（Pf2）（▽>0）,XLINP时，卩=0,▽=1。
（2）比照XLNclF2）（二0）,XLIN（）时，」=—1二2=9,所以J=—1,二=3。
【变式2】在某次测量中，测量结果服从正态分布N（1y2）（匚-0）,若在（0,1）内取值的概率
为0.4,则E在（0,2）内取值的概率为
【答案】0.8
•服从正态分布N（152）,
•••在（0,1）与（1,2）内取值的概率相同，均为0.4。
•在（0,2）内取值的概率为0.4+0∙4=0∙8。
【变式3】设随机变量X〜N（0,1）,
（1）P（—avXV0）=P（0VXVa）（a>0）;
（2）P（XV0）=0.5;
（3）已知P（IXlV1）=0.6826,则P（XV—1）=0.1587;
（4）已知P（|X|V2）=0.9544,则P（XV2）=0.9772;
（5）已知P（|X|V3）=0.9974,则P（X>—3）=0.9987。
其中正确的有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】D;均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。
例4.设〜N（1,22）,试求：
（1）P（—1Vξ≤）3;
（2）P（3Vξ≤）5;
（3）P（ξ≥5.
【思路点拨】要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所
给的数据进行转化求值.
【解析】•••〜N（1,22）,=1,σ=2,
（1）P（—1Vξ≤3=P（1—2Vξ≤1+）=P（」-Vξ≤匚）=0.683.
（2）∙∙∙P（3Vξ≤）5=P（—3Vξ≤1）,
•P（3Vξ≤）5
1
[P（—3：
：
乞5）—P（—1：
：
空3）]
1
[P（1-4：
：
乞14）—P（1—2：
：
辽12）]
1
[P（亠：
：
乞」2；「）_P（Ii「：
：
：
：
「；「）]
2
1
（0.954-0.683）0.136.
（3）∙∙∙P（ξ≥）5=P（ξ≤3）,
∙∙∙P（_）工丄口—p（_3：
：
：
乞5]=1[1—P（1—4：
：
乞14）]
22
1.1
[1—P（t-2；「：
：
≤J2二）]（1—0.954）=0.023.
22
【总结升华】在求随机变量ξ在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量ξ的取值转化到区间
（「二）、L-2二J以及（，-3二，「3二），然后利用在LYiy）上的概率约为
0.683,在（、-2二，」〔2「）上的概率约为0.954,在（、-2J」；‘2二）上的概率约为0.997.
举一反三:
【变式1】XLJN（2,25）,求P（_13:
:
：
X<17）。
【答案】X[JN（2,25）时，∙i=2,匚=5,」_3；「-_13,■3"7,
∙∙∙P（-13：
：
：
X辽17）=0.9974
【变式2】若η〜N（5,1）,求P（5VnV7）.
【答案】∙∙∙n〜N（5,1）,
∙正态分布密度函数的两个参数为J=5,C=1,
•••该正态密度曲线关于x=5对称.
11
∙∙∙P（5:
：
:
：
7）P（3:
：
:
：
7）0.954=0.477
22
【变式3】设XLlN（0,1）。
（1）求P（-1VX≤1）;
（2）求P（0VX≤2。
【答案】
（1）XLlN（0,1）时，"-；「--1,=1,
∙P（-1:
:
：
X乞1）：
0.6826。
（2）4一2^=-2,V-+2b=2,正态曲线半0,1（x）关于直线x=0对称,
11
∙P（0:
：
X<2）P（-2：
：
XE2）：
—0.9544=0.4772。
22
类型四、正态分布的应用
例5.某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N（70,102）,如果规定低于60分为不及格，那么
（1）成绩不及格的人数占多少？
（2）成绩在80〜90分内的学生占多少？
【思路点拨】本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律.因为正态密
度曲线关于直线x=μ对称，故本题可利用对称性及特殊值求解.
【解析】
（1）设学生的得分情况为随机变量X,
则X〜N（70,102）,其中丄=70,-=10.
成绩在60〜80分之间的学生人数的概率为
P（70—10VXV70+10）=0.683,
1
∙不及格的人数占一×（1—0.683）=0.1585.
2
（2）P（70—20VXV70+20）=0.954,
∙成绩在80〜90分内的学生占
1
—[P（50VXV90）—P（60VXV80）]=0.1355.
2
【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变量在三个特殊
区间的概率取值规律.
举一反三：
1
【变式1】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4,丄），问在一次正常的试验中，取1000个零
9
件时，不属于区间（3,5）这个尺寸范围的零件大约有多少个？
11
【答案】∙∙∙X〜N（4,—）
93
•••不属于区间（3,5）的概率为
P（X≤3卅P（X≥5并1—P（3=1—P（4—1=1—P（μ—3σ=1—0.997=0.003
•1000×0.003=3（个）,
即不属于区间（3,5）这个尺寸范围的零件大约有3个.
【变式2】商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10,0.12）（单位：
kg）。
现进1000袋这种大
米，质量不在9.7〜10.3kg的大米大约有多少袋？
【答案】
由正态分布N（10,0.12）,知μ=10,Cr=0.1,
•质量在9.7〜10.3kg的概率为P（10—3×0.1VX≤10+3×0.1）=0.997
•质量不在9.7〜10.3kg的概率为P=1—0.997=0.003。
•质量不在9.7〜10.3kg的大米大约有1000×0.003=3袋。
【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X〜N（90,100）。
（1）试求考试成绩X位于区间（70,110）内的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）之间的考生大约有多少人？
【答案】∙∙∙X〜N（90,100）,•」=90,C-,1∞^10。
（1）λ—2~=90—2×10=70,」+2匚=90+2×10=110,
又•••正态分布N（JF）在区间（）-2j'∙2二）内取值的概率是0.954,
•考试成绩X位于区间（70,110）内的概率约为0.954。
（2）•：
——「=90—10=80,二+二=90+10=100。
又•••正态分布在区间V）内取值的概率为0.683,
•考试成绩X位于区间（80,100）内的概率约是0.683,
•这2000名考生中，成绩在（80,100）内的人数大约为2000×0.683≈1366（人）。
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