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1、知识讲解正态分布理正态分布【学习目标】1.了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2.了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释： 要点一、概率密度曲线与概率密度函数1 概念：对于连续型随机变量 X ,位于X轴上方，X落在任一区间(a, b内的概率等于它与 X轴、直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分) ，这条概率曲线叫做 X的概率密度曲线，以其作为图象的函数f (x)叫做X的概率密度函数。1概率密度函数所取的每个值均是非负的。2夹于概率密度的曲线与 X轴之间的 平面图形”的面积为1P(a：X：；b)的值等于由直线 x=a , x = b与概率密度曲线、X轴所围成

2、的 平面图形”的面积。要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数I 孕正态变量的概率密度函数表达式为： Wtj(x)= e 2。 (XER) , (bA,q扫C)2其中X是随机变量的取值； 为正态变量的期望； 匚是正态变量的标准差.2 .正态分布(1)定义b如果对于任何实数 a, b (a ： b)随机变量X满足：P(a ： X乞b) ,；-(x)dx,则称随机变量 X服从正态分布。记为 XLNCi2)。(2)正态分布的期望与方差若XLNef2),则X的期望与方差分别为： EX=二,DX=:;2。要点诠释：(1)正态分布由参数 J和二确定。参数1是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，

3、可用样本的均值去估计。标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。(2)经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布例如长度测量误差；某一地区同年 龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常 生产条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用 寿命等)；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.要点三、正态曲线及其性质：1.正态曲线1 -X如果随机变量X的

4、概率密度函数为f (X) e 2 (X R),其中实数和二为参数2 (0 0, V卩 -HC ),则称函数f (X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。2 正态曲线的性质：1曲线位于X轴上方，与X轴不相交；2曲线是单峰的，它关于直线 X =二对称；13曲线在X- -1时达到峰值 ；2c4当X ： I时，曲线上升；当xI时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 X轴为渐近线，向它无限靠近5曲线与X轴之间的面积为1 ；6.L决定曲线的位置和对称性；当二一定时，曲线的对称轴位置由 确定；如下图所示，曲线随着 的变化而沿X轴平移。7二确定曲线的形状；当P定时，曲线的形状由确定。r越小，曲线

5、越 高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。J/f=0 5I L-3-2-1P1 2 3要点诠释：性质说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（ X轴）性质并且说明了函数具有对称性；性质说明了函数在 X=时取最值；性质说明 越大，总体分布越分散， 越小，总体分布越集中.要点四、求正态分布在给定区间上的概率1.随机变量取值的概率与面积的关系2若随机变量服从正态分布 N（4,。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【变式3】如图是三个正态分布 XN ( 0 , 0.25 ) , 丫N ( 0, 1 ), ZN (0 , 4)的密度曲线，则三个随机变量X

6、, Y, Z对应曲线分别是图中的 _yi【答案】。【变式4】已知正态总体落在区间 0.2, 的概率是0 5 ,那么相应的正态曲线在 X= 时达到最高点。【答案】0.2。由于正态曲线关于直线 = I对称，由题意知=0.2。类型三、正态分布的计算例3 已知随机变量服从正态分布N(2 , 2),P( 4= 0.84 ,则 P( 0=()A 0.16B.0.32C. 0.68D.0.84【思路点拨】可画出正态曲线，禾U用正态曲线的对称性解决。【解析】 P( 4)= 0.84 , = 2 , P( 0)=P(4)=1 0.84 = 0.16 ,故选 A.【总结升华】本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其

7、中应注意对称性的运用。举一反三：【变式1】(1) XLJN(0,1),和二的值各是多少？ ( 2) XLlN(-1,9),和二的值各是多少?【答案】(1)比照 XL N(Pf2)( 0), X LI NP 时，卩=0, =1。(2)比照 XLNclF2)(二 0 ), X LI N() 时，=1 二2 =9 ,所以 J = 1,二=3。【变式2】在某次测量中，测量结果 服从正态分布N(1y2)(匚-0),若 在(0 , 1)内取值的概率为0.4,则E在(0, 2)内取值的概率为 【答案】0.8服从正态分布 N(152),在(0, 1)与(1 , 2)内取值的概率相同，均为 0.4。在(0, 2

8、)内取值的概率为 0.4+04=08。【变式3】设随机变量 XN ( 0 , 1),(1) P( av XV 0)=P(0 V XV a)(a0);(2)P(XV 0)=0.5 ;(3)已知 P(IXl V 1)=0.6826 ,则 P(XV 1)=0.1587 ;(4)已知 P(|X| V 2)=0.9544 ,则 P(X V 2)=0.9772 ;(5)已知 P(|X| V 3)=0.9974 ,则 P(X 3)=0.9987。其中正确的有( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】D;均正确，充分利用正态曲线的对称性及其意义。例4.设N (1 , 22),试求：(1)P

9、( 1V )3;(2)P ( 3 V )5;(3)P ( 5.【思路点拨】 要求随机变量在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给的数据进行转化求值.【解析】 N (1, 22), =1 , =2 ,(1)P ( 1 V 3 =P (1 2V 1+)=P (- V 匚)=0.683 .(2) P (3V )5 =P ( 3V 1), P (3 V )51P(3 ：乞5) P(1 ：空 3)1P(1 -4 ：乞 1 4) P(12 ：辽 1 2)1P(亠：乞2；) _P(Ii： ：；)21(0.954 - 0.683) 0.136.(3 ) P ( )5 =P ( 3),

10、 P( _)工丄口 p(_3 ：乞 5 =11 P(1 4 ：乞1 4)2 21 . 11P( t-2； ： J 2二) (1 0.954)=0.023 .2 2【总结升华】 在求随机变量 在某一范围内的概率时，可以首先把随机变量 的取值转化到区间(二)、L - 2二J 以及(，-3二，3二)，然后利用在 LYiy)上的概率约为0.683 ,在(、-2二，2)上的概率约为0.954 ,在(、-2J；2二)上的概率约为0.997 .举一反三:【变式 1 】XLJ N(2,25),求 P(_13 :： X 17)。【答案】XJN(2,25)时，i=2 ,匚=5,_3；-_13 , 3 7, P(-

11、13 ： X 辽 17) =0.9974【变式2】若N (5, 1),求P (5 VnV 7).【答案】 nN ( 5 , 1),正态分布密度函数的两个参数为 J =5, C =1 ,该正态密度曲线关于 x=5对称.1 1 P(5 :： :： 7) P(3 :： :： 7) 0.954 = 0.4772 2【变式3】设XLl N(0,1)。(1)求 P(- 1 V X 1); (2)求 P(0 V X 2。【答案】(1) XLl N(0,1)时，-；- -1 , =1, P(-1 :： X 乞1) ： 0.6826。(2 )4 一2=-2 , V- +2b =2 ,正态曲线半0,1(x)关于直

12、线x=0对称,1 1 P(0 :： X 2) P(-2 ： X E 2) ： 0.9544 = 0.4772。2 2类型四、正态分布的应用例5.某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布 N ( 70 , 102),如果规定低于 60分为不及格，那么(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在8090分内的学生占多少？【思路点拨】 本题考查正态密度曲线对称性及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律.因为正态密度曲线关于直线x= 对称，故本题可利用对称性及特殊值求解.【解析】(1)设学生的得分情况为随机变量 X,则 XN ( 70 , 102),其中丄=70 , - =10 .成绩在6080分之间的学

13、生人数的概率为P ( 70 10 V XV 70+10 ) =0.683 ,1不及格的人数占 一 ( 1 0.683 ) =0.1585 .2(2) P ( 70 20 V XV 70+20 ) =0.954 ,成绩在8090分内的学生占1P (50 V XV 90) P (60 V XV 80) =0.1355 .2【总结升华】 本题利用了正态密度曲线的性质求概率，其中应注意对称性的运用及正态变量在三个特殊区间的概率取值规律.举一反三：1【变式1】工厂制造的某机械零件尺寸 X服从正态分布 N(4,丄)，问在一次正常的试验中，取 1 000个零9件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约

14、有多少个？1 1【答案】 XN(4,)9 3不属于区间(3,5)的概率为P(X 3卅 P(X 5并 1 P(3 X5)=1 P(4 1X4 + 1)=1 P( 3 X + 3 =1 0.997 = 0.003 1 000 0.003= 3(个),即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3个.【变式2】商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N (10, 0.12)(单位：kg)。现进1000袋这种大米，质量不在9.710.3 kg的大米大约有多少袋？【答案】由正态分布 N( 10 , 0.12),知 =10, Cr =0.1 ,质量在 9.7 10.3 kg 的概率为 P(10 3

15、0.1V X 10+3 0.1)=0.997质量不在 9.710.3 kg的概率为 P=1 0.997=0.003。质量不在 9.710.3 kg的大米大约有 1000 0.003=3袋。【变式3】在某次数学考试中，考生的成绩 X服从一个正态分布，即 XN(90 , 100)。(1)试求考试成绩 X位于区间(70 , 110 )内的概率是多少？(2)若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在(80, 100 )之间的考生大约有多少人？【答案】 X N(90 , 100) ,=90 , C - , 110。(1) 2 =90 2 10=70,+2 匚=90+2 10=110 ,又正态分布 N(JF )在区间()-2j2二)内取值的概率是 0.954 ,考试成绩 X位于区间(70 , 110 )内的概率约为 0.954。(2) ：=90 10=80 ,二 + 二=90+10=100。又正态分布 在区间V)内取值的概率为 0.683 ,考试成绩 X位于区间(80 , 100 )内的概率约是 0.683 ,这2000名考生中，成绩在(80 , 100 )内的人数大约为 2000 0.683 1366 (人)。