安徽省蚌埠市学年高二数学下学期期末考试试题 文扫描版.docx
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安徽省蚌埠市学年高二数学下学期期末考试试题文扫描版
蚌埠市２０１６—２０１７学年度第二学期期末学业水平监测
高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：
（每小题５分，共６０分）
题 号１２３４５６７８９１０１１１２
答 案ＣＣＡＢＢＡＤＢＣＤＡＡ
二、填空题：
（每小题５分，共２０分）
槡
１３５ １４２ １５７ｘ＋ｙ＝０ １６ａ≤０
三、解答题：
１７（本题满分１２分）
解：
（Ⅰ）∵ｚ１ｚ２＝－５＋５ｉ
∴ｚ２＝
－５＋５ｉ
ｚ１
＝
－５＋５ｉ
－２＋ｉ
＝３－ｉ
６分
…………………………………………
（Ⅱ）ｚ２＝（３－ｚ２）［（ｍ２－２ｍ－３）＋（ｍ－１）ｉ］
＝ｉ［（ｍ２－２ｍ－３）＋（ｍ－１）ｉ］
＝－（ｍ－１）＋（ｍ２－２ｍ－３）ｉ所对应的点在第四象限
∵ｚ１所对应的点在第四象限
∴
－（ｍ－１）＞０
ｍ２－２ｍ－３＜
{
０
∴实数ｍ的取值范围是－１＜ｍ＜１
１２分
……………………………………
１８（本题满分１２分）
解：
（Ⅰ）∵Ｋ２＝
１００（６０×１０－２０×１０）
２
７０×３０×８０×２０
＝
１００
２１
＞３．８４１
所以有９５％的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”
６分
……………………………………………………………………………
（Ⅱ）从５名数学系学生中任取３人的一切可能结果所组成的基本事件共１０个：
（ａ１，
ａ２，ｂ２），（ａ１，ａ２，ｂ２），（ａ１，ａ２，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ２，ｂ３），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，
ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ２，ｂ３），（ｂ１，ｂ２，ｂ３），其中ａｉ（ｉ＝１，２）表示喜欢甜品的学生，ｂｊ（ｊ＝１，
２，３）表示不喜欢甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的用表示“３人
中至多有１人喜欢甜品”这一事件，则事件由７个基本事件组成：
（ａ１，ｂ１，ｂ２），
（ａ１，ｂ１，ｂ３），（ａ１，ｂ２，ｂ３），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ１，ｂ３）（ａ２，ｂ２，ｂ３），（ｂ１，ｂ２，ｂ３）
∴Ｐ（Ａ）＝
７
１０
１２分
………………………………………………………………
１９（本题满分１２分）
解：
（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ－
π
６
）＋２ｃｏｓ２ｘ－１
）页３共（页１第准标分评及案答考参）科文（学数二高市埠蚌
＝
槡３
２
ｓｉｎ２ｘ－
１
２
ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝
槡３
２
ｓｉｎ２ｘ＋
１
２
ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ（２ｘ＋
π
６
），
由－
π
２
＋２ｋπ≤２ｘ＋
π
６
≤
π
２
＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ）得，－
π
３
＋ｋπ≤ｘ≤
π
６
＋ｋπ（ｋ∈
Ｚ），
故ｆ（ｘ）的单调递增区间是［－
π
３
＋ｋπ，
π
６
＋ｋπ］（ｋ∈Ｚ）
６分
………………
（２）ｆ（Ａ）＝ｓｉｎ（２Ａ＋
π
６
）＝
１
２
，０＜Ａ＜π，
π
６
＜２Ａ＋
π
６
≤２π＋
π
６
，
于是２Ａ＋
π
６
＝
５π
６
，故Ａ＝
π
３
由ｂ、ａ、ｃ成等差数列得：
２ａ＝ｂ＋ｃ，
由ＡＢ
→·ＡＣ→
＝９得：
ｂｃｃｏｓＡ＝９，
１
２
ｂｃ＝９，ｂｃ＝１８，
由余弦定理得：
ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝（ｂ＋ｃ）
２
－３ｂｃ，
于是，ａ２＝４ａ２－５４，ａ２＝１８，ａ＝
槡
３２１２分……………………………………
２０（本题满分１２分）
证明：
（Ⅰ）因为ａ＞０，ｂ＞０且ａ≠ｂ，
所以ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（
１
ａ
＋
１
ｂ
）＝１＋１＋
ｂ
ａ
＋
ａ
ｂ
＞２＋２
ｂ
ａ
ａ
槡
ｂ
所以ａ＋
ｂ＞４
６分
…………………………………………………………………………
（Ⅱ）因为ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝０，所以ａ＞０，ｃ＜０，
要证明原不等式成立，只需证明ｂ２
槡
－ａｃ＜
槡３ａ
即证ｂ２－ａｃ＜３ａ２，又ｂ＝－（ａ＋ａ＋ｃ），从而只需证明（ａ＋ｃ）２
－ａｃ＜３ａ２，
即证（ａ－ｃ）（２ａ＋ｃ）＞０，
因为ａ－ｃ＞０，２ａ＋ｃ＝ａ＋ａ＋ｃ＝ａ－ｂ＞０，
所以（ａ－ｃ）（２ａ＋ｃ）＞０成立，故原不等式成立
１２分
……………………
２１（本题满分１２分）
（Ⅰ）证明：
∵ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ，ｆ′（ｘ）＝１－
１
ｘ
＝
ｘ－１
ｘ
，
∴当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０，此时ｆ（ｘ）单调递减；
当１＜ｘ＜ｅ时，ｆ′（ｘ）＞０，此时ｆ（ｘ）单调递增
∴ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（１）＝１，
即ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上的最小值为１，
令ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋
１
２
＝
ｌｎｘ
ｘ
＋
１
２
，ｈ′（ｘ）＝
１－ｌｎｘ
ｘ２
，
当０＜ｘ＜ｅ时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递增，
∴ｈ（ｘ）
ｍａｘ
＝ｈ（ｅ）＝
１
ｅ
＋
１
２
＜
１
２
＋
１
２
＝ｆ（ｘ）
ｍｉｎ．
∴ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）＋
１
２
恒成立
６分
……………………………………………………
）页３共（页２第准标分评及案答考参）科文（学数二高市埠蚌
（Ⅱ）假设存在实数ａ，使ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｌｎｘ（ｘ∈（０，ｅ］）有最小值３，
ｆ′（ｘ）＝ａ－
１
ｘ
＝
ａｘ－１
ｘ
①当ａ≤０时，ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递减，ｆ（ｘ）
ｍｉｎ
＝ｆ（ｅ）＝ａｅ－１＝３，ａ＝
４
ｅ
（舍
去），
∴ａ≤０时，不存在ａ使ｆ（ｘ）的最小值为３
②当０＜
１
ａ
＜ｅ时，ｆ（ｘ）在（０，
１
ａ
）上单调递减，在（
１
ａ
，ｅ］上单调递增，
∴ｆ（ｘ）
ｍｉｎ
＝ｆ（
１
ａ
）＝１＋ｌｎａ＝３，ａ＝ｅ２，满足条件
③当
１
ａ
≥ｅ时，ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递减，ｆ（ｘ）
ｍｉｎ
＝ｆ（ｅ）＝ａｅ－１＝３，ａ＝
４
ｅ
（舍
去），
∴
１
ａ
≥ｅ时，不存在ａ使ｆ（ｘ）的最小值为３
综上，存在实数ａ＝ｅ２，使得当ｘ∈（０，ｅ］时，ｆ（ｘ）有最小值３
１２分
……………
２２（本题满分１２分）
（Ⅰ）消去参数ｔ得到Ｃ１的普通方程ｘ２＋（ｙ－１）
２
＝ａ２
Ｃ１是以（０，１）为圆心，ａ为半径的圆
２分
……………………………………………
将ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ代入Ｃ１的普通方程中，得到Ｃ１的极坐标方程为
ρ２－２ρｓｉｎθ＋１－ａ２＝０
５分
…………………………………………………………
（Ⅱ）曲线Ｃ１，Ｃ２的公共点的极坐标满足方程组
ρ２－２ρｓｉｎθ＋１－ａ２＝０
ρ＝４ｃｏｓ
{
θ
，
若ρ≠０，由方程组得１６ｃｏｓ２θ－８ｓｉｎθｃｏｓθ＋１－ａ２＝０，由已知ｔａｎθ＝２，
可得１６ｃｏｓ２θ－８ｓｉｎθｃｏｓθ＝０，从而１－ａ２
＝０，解得ａ＝－１（舍去），ａ＝１
ａ＝１时，极点也为Ｃ１，Ｃ２的公共点，在Ｃ３上所以ａ＝１１０分…………………
２３（本题满分１０分）
解：
（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝
－ｘ＋３，ｘ＜－３
－３ｘ－３，－３≤ｘ≤０
ｘ－３，ｘ＞
{
０
由图知，函
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