等腰三角形分类讨论思想.docx

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等腰三角形分类讨论思想

等腰三角形分类讨论思想（总12页）

等腰三角形有关角度问题

?

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。

例1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）

A.30°B.75°C.105°D.30°或75°

简析：

75°角可能是顶角，也可能是底角。

当75°是底角时，则顶角的度数为

180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。

所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。

故应选D。

说明：

对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

?

变式1:

已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为______。

简析：

（1）若外角与顶角相邻，则其顶角为80°；

（2）若外角与底角相邻，则其顶角为20°。

变式2:

如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是__________度

简析：

（1）若底角是顶角的2倍，则其底角为72°；

（2）若顶角是底角的2倍，则其底角为45°。

例2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：

依题意可画出图1和图2两种情形。

图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

等腰三角形有关边的计算问题

例题：

已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

简析：

已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。

当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。

故这个等腰三角形的周长等于16或17。

说明：

对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪条是底哪条是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

变式1：

等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么它的腰长为______。

简析：

当底边为6时，则腰长为4；

当腰长为6时，则底边为2；

变式2：

等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为______。

简析：

当底边为2时，则腰长为3；

当腰长为2时，则底边为4，但此时不能构成三角形，所以腰长只为3.

说明：

求出来的解应满足三角形三边关系

例2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：

已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。

若

设这个等腰三角形的腰长是

cm，底边长为

cm，可得或

解得或

即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。

说明：

这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

?

平面直角坐标系中的等腰三角形问题

例1.在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.

【解析】

由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论（如图）。

点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。

若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；

若点O为顶点，则点P坐标为（0，

），或（0，

）；

若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，

则点P坐标为（0，-2）.

所以，点P的坐标为（0，-4），（0，

），（0，

），（0，-2）。

例2.如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为多少

?

【解析】

由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。

由题意，OD=5,当OD为腰时，点O和点D均有可能为等腰三角形顶角的顶点，所以若点O为顶点时，则OP=5，故点P坐标为（3,4），若点D为顶点时，则DP=5，故点P坐标为（2,4）或（8,4）；当OD为底边时，点P就在OD的中垂线上，则此时点P坐标为（4），显然此时两腰长不为5，不合题意。

【答案】点P坐标为（2,4）或（8,4）或（3,4）

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拓展提升

在平面直角坐标系中，已知点P（-2,1）,关于y轴的对称点为Q，点B（x,0）是横轴上的一个动点，当三角形QBO是等腰三角形时，求x的值。

因为P与Q关于y轴对称,P（-2,1）

所以Q（2,1）,OP`=根号5

当△P`TO是等腰三角形时,分以下几种情况进行讨论：

1.当点T在x轴的正半轴时：

（1）若TP`=OP`,因为OP`=根号5,TP`2=OP`2,所以（t-2）2+12=5.

t（t-4）=0.因为P`TO要构成三角形,所以T点不可能与O点重合

所以t=4

（2）若OT=TP`,则（t-0）2+（0-0）2=（t-2）2+（1-0）2

所以t=5/4

（3）若OP`=OT,则有OP`2=OT2,即（2-0）2+（1-0）2=（t-0）2+（0-0）2

所以t2=5,因为T点在x轴的正半轴,所以t=根号5.

2.当点T在x轴的负半轴时,角TOP`一定是一个钝角三角形,所以当且仅当OT`与OP`作三角形的腰时,才可构成等腰三角形.

所以OT2=OP`2,则t2=5,因为T点在x轴的负半轴,所以t=-根号5

在平面直角坐标系xOy中,已知点P（2,2）,点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有具体点的坐标

在平面直角坐标系xOy中,已知点P（2,2）,点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有————

具体点的坐标

（0,2倍根号2）（0,负2倍根号2）（0,4）（0,2）

例5.为美化环境，计划在某小区内用

的草皮铺设一块一边长为10

的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

简析：

在等腰ΔABC中，设AB=10

，作CD⊥AB于D，由

，可得CD=6

。

如下图，当AB为底边时，AD=DB=5

，所以

。

如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，

，所以

，

。

?

如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，

，

，

所以

。

说明：

三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

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五.遇中垂线需讨论

例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

简析：

按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。

如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以

∠B=∠C=

（180°－40°）=70°。

如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=140°，所以∠B=∠C=

（180°－140°）=20°

故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

说明：

这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。

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六.和方程问题的综合讨论

例7.已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于

的一元二次方程

的两个实数根，第三边BC长为5。

（1）

为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形

（2）

为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。

简析：

（1）略。

（2）若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。

方程

可化为

，即

，

，显然

，即

。

当AB=BC或AC=BC时，5是方程

的根。

当

时，代入原方程可得

，解得

，

。

当

时，原方程的解为

，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。

当

时，原方程的解为

，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。

所以当

或

时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。

分类讨论思想

1、等腰三角形的底边长为3，腰长为5，那么它的周长是______。

2、等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是______。

3、等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为______。

分类讨论题：

一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为----------------------如上,一定要分类讨论噢

分类讨论题：

一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为----------------------

如上,一定要分类讨论噢

1）若顶角为180°-110°=70°,由于两底角相等,三角形内角和为180°,则三个内角为70,55,552）若底角为70,同理可得,三个内角为70,70,40

1、如图，在△ABC中，AB=AC，

外角∠ACD=100°，则∠B=______

80°

（2）等腰三角形的一个底角是70°，

则其顶角是__________

40°

（3）如果等腰三角形的一个内角等于70°

那么它的底角度数____________.

70°或55o

（4）如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，

那么它的底角是__________度

72或45°

小结：

当等腰三角形中遇“角”的计算问题时，需对各种可能的情况分类讨论

当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论

分类讨论思想是中学数学解题中常用的一种思想方法，它就是将要研究的数学对象按照一定的标准进行分类，划分为若干种不同的情形，然后再逐类进行研究，最后综合各类结果，并得到整个问题的解答和求解的一种数学解题策略。

解题时，要注意在分类时，必须按同一标准分类，做到“不重不漏”，并保证解答的完整准确。

在解决与等腰三角形有关的题目时，分类讨论思想无事不在。

本文就“等腰三角形”问题中分类讨论思想的应用，结合例题加以分析，供同学们参考。

分类讨论思想在等腰三角形中的应用