中考数学常考易错点332《二次函数》.docx

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中考数学常考易错点332《二次函数》

二次函数

易错清单

1.二次函数与方程、不等式的联系.

【例1】　（2014·湖北孝感）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1,2）,与x轴的一个交点A在点（-3,0）和（-2,0）之间,其部分图象如图,则以下结论:

①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

其中正确结论的个数为（　　）.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【解析】　由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线

-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0,0）和（1,0）之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D（-1,2）得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线

=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

【答案】　∵　抛物线与x轴有两个交点,

∴　b2-4ac>0,所以①错误.

∵　顶点为D（-1,2）,

∴　抛物线的对称轴为直线x=-1.

∵　抛物线与x轴的一个交点A在点（-3,0）和（-2,0）之间,

∴　抛物线与x轴的另一个交点在点（0,0）和（1,0）之间.

∴　当x=1时,y<0.

∴　a+b+c<0,所以②正确.

∵　抛物线的顶点为D（-1,2）,

∴　a-b+c=2.

∵　抛物线的对称轴为直线

=1,

∴　b=2a.

∴　a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.

∵　当x=-1时,二次函数有最大值为2,

即只有x=1时,ax2+bx+c=2,

∴　方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.

故选C.

【误区纠错】　本题考查了二次函数的图象与系数的关系:

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线

-;抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）;当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.

2.用二次函数解决实际问题.

【例2】　（2014·江苏泰州）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A,B两组材料的温度分别为yA℃,yB℃,yA,yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,

（部分图象如图所示）,当x=40时,两组材料的温度相同.

（1）分别求yA,yB关于x的函数关系式;

（2）当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?

（3）在0

【解析】　

（1）首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;

（2）首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;

（3）得出yA-yB的函数关系式,进而求出最值即可.

解得m=100.

∴　yB=（x-60）2+100.

解得yB=200.

∴　yA=-20x+1000.

（2）当A组材料的温度降至120℃时,

120=-20x+1000,

解得x=44.

∴　B组材料的温度是164℃.

∴　当x=20时,两组材料温差最大为100℃.

【误区纠错】　此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.

3.二次函数存在性问题的讨论.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）求点A关于直线y=2x的对称点A'的坐标,判定点A'是否在抛物线上,并说明理由;

（3）点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA'于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?

若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】　

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式;

（2）首先求出对称点A'的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A'是否在抛物线上.本问关键在于求出A'的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形Rt△A'EA∽Rt△OAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A'的坐标;

（3）本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解.

【误区纠错】　本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第

（2）问的要点是求对称点A'的坐标,第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.

名师点拨

1.能通过画二次函数图象求一元二次方程的近似解,能说明二次函数与一元二次方程的联系与区别.

2.会借助函数思想及图象求不等式的解集.

3.借助二次函数思想解决实际问题.

提分策略

1.抛物线对称性的应用.

（1）二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分利用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性质解决问题的关键.

（2）已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定系数法直接列方程（组）求二次函数的解析式.

（3）已知二次函数图象上的点（除顶点外）和对称轴,便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.

【例1】　如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.

（1）求该抛物线所对应的函数关系式;

（2）求△ABD的面积;

（3）将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?

请说明理由.

【解析】　

（1）在矩形OCEF中,已知OF,EF的长,先表示出C,E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的关系式.

（2）根据

（1）的函数关系式求出A,B,D三点的坐标,以AB为底、点D纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积.

（3）首先根据旋转条件求出点G的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可.

∴　抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.

（2）∵　y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4,

∴　抛物线的顶点坐标为D（1,4）.

∴　△ABD中边AB的高为4.

令y=0,得-x2+2x+3=0,

解得x1=-1,x2=3.

所以AB=3-（-1）=4.

（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由

（2）可知OA=1,

∴　点A对应点G的坐标为（3,2）.

当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,

∴　点G不在该抛物线上.

2.利用二次函数解决抛物线形问题.

利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.

【例2】　如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h.已知球网与点O的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距点O的水平距离为18m.

（1）当h=2.6时,求y与x的关系式;（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时,球能否越过球网?

球会不会出界?

请说明理由;

（3）若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.

3.二次函数的实际应用.

【例3】　某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）.已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其他费用为106元（不包含债务）.

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式;

（2）若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡（收人=支出）,求该店员工的人数;

（3）若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?

【解析】　

（1）根据待定系数法,可得函数解析式;

（2）根据收入等于指出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案;

（3）分类讨论40≤x≤58,或58≤x≤71,根据收入减去支出大于或等于债务,可得不等式,根据解不等式,可得答案.

综合两种情形,得b≥380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元.

4.二次函数在几何图形中的应用.

二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结合思想的运用,将代数与几何融为一体,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何知识结合时,往往涉及最大面积、最小距离等问题,解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求解.

【例4】　如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒（A,C,D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在边AB上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x（cm）.

（1）若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;

（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大,试问x应取何值?

（2）利用已知表示出包装盒的表面积,进而利用函数最值求出即可.

∵　0

∴　当x=8时,S取得最大值384cm2.

专项训练

一、选择题

1.（2014·山东聊城模拟）如图,抛物线y=x2与直线y=x交于点A,沿直线y=x平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点恰好为A点,则平移后抛物线的解析式是（　　）.

A.y=（x+1）2-1B.y=（x+1）2+1

C.y=（x-1）2+1D.y=（x-1）2-1

（第1题）

（第2题）

2.（2014·四川乐山模拟）如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标为（1,n）,与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点）.有下列结论:

A.①②　　　B.③④　　　C.①③　　　D.①③④

（第3题）

3.（2013·浙江宁波北仑区一模）如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是（　　）.

二、填空题

4.（2014·吉林四平育才中学模拟）点P在抛物线y=（x-2）2+1上,设点P的坐标为（x,y）,当0≤x≤3时,y的取值范围为　　　　. 

5.（2014·江苏常州模拟）已知二次函数y=ax2+bc+c中,函数y与自变量y=（x>0）的部分对应值如下表:

x

…

-1

0

1

2

3

4

…

y

…

10

5

2

1

2

5

…

若A（m,y1）,B（m+1,y2）两点都在该函数的图象上,当m=　　　　时,y1=y2. 

6.（2013·辽宁葫芦岛一模）已知点A（m,0）是抛物线y=x2-2x-1与x轴的一个交点,则代数式2m2-4m+2013的值是　　　　. 

三、解答题

7.（2014·山东济南外国语学校模拟）如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在边BC上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求点D的坐标.

（第7题）

8.（2014·山东日照模拟）已知抛物线

经过A（2,0）.设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.

（1）求b的值,求出点P、点B的坐标;

（2）如图,在直线

上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?

若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?

如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.

（第8题）

（1）填空:

点C的坐标是　　　　,b=　　　　, 

c=　　　　; 

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）;

（3）依点P的变化,是否存在t的值,使以P,H,Q为顶点的三角形与△COQ相似?

若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

（第9题）

参考答案与解析

1.C　[解析]

得出A点的坐标是（1,1）,所以平移后以A点为顶点的解析式为y=（x-1）2+1.

2.D　[解析]①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A（-1,0）,得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;

②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a,将其代入（3a+b）,并判定其符号;

利用c的取值范围可以求得n的取值范围.

4.1≤y≤5　[解析]将x=0,x=2分别代入y=（x-2）2+1求出y的取值范围为1≤y≤5,

注意本题切忌直接将x=0,x=3代入,要考虑二次函数的对称轴二边增减性,

5.1.5　[解析]二次函数的解析式为y=x2-4x+5,

∵　y1=y2,

∴　m2-4m=（m+1）2-4（m+1）,解得m=1.5.

6.2015　[解析]依题意知m2-2m-1=0,得m2-2m=1,所以2m2-4m+2013=2（m2-2m）+2013=2015.

7.

（1）设抛物线顶点为E,根据题意,得E（2,3）,

设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3,

（3）符合条件的点M存在.证明如下:

过点P作x轴的垂线,垂足为C,则PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等边三角形.只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.

由题意,得△BHP∽△BOC,

∵　OC∶OB∶BC=3∶4∶5,

∴　HP∶HB∶BP=3∶4∶5.

∵　PB=5t,

∴　HB=4t,HP=3t.

∴　OH=OB-HB=4-4t.

∴　OQ=4t.

①当H在Q,B之间时,QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t.

②当H在O,Q之间时,QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4.

综合①②,得QH=|4-8t|.