版高中数学 第二章212 离散型随机变量的分布列二学案 新人教A版选修23.docx
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版高中数学第二章212离散型随机变量的分布列二学案新人教A版选修23
2.1.2 离散型随机变量的分布列
（二）
学习目标
1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布．
知识点一 两点分布
随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P（X＝1）为成功概率．
知识点二 超几何分布
思考 在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．
答案 .
梳理 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
类型一 两点分布
例1
（1）某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列；
（2）若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
求出c，并说明X是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
解
（1）设该运动员射击一次命中10环的次数为X，
则P（X＝1）＝0.9，P（X＝0）＝1－0.9＝0.1.
X
0
1
P
0.1
0.9
（2）由（9c2－c）＋（3－8c）＝1，解得c＝或c＝，
又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以≤c≤，所以c＝.
X的取值为0,1，故X服从两点分布，成功概率为3－8c＝.
反思与感悟 两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：
随机变量只取两个值：
0和1.
（2）验概率：
检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．
跟踪训练1 已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
解 由题意知，X服从两点分布，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝1－＝.所以随机变量X的分布列为
X
0
1
P
类型二 超几何分布
例2 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
（2）记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解
（1）从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.
（2）由题意知X＝0,1,2,3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
引申探究
1．在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．
解 由题意可知η＝0,1，服从两点分布．又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为
η
0
1
P
2．将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？
解
（1）取出3个球颜色都不相同的概率
P＝＝.
（2）由题意知X＝0,1,2,3.
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝.
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
反思与感悟 超几何分布的求解步骤
（1）辨模型：
结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
（2）算概率：
可以直接借助公式P（X＝k）＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
（3）列分布表：
把求得的概率值通过表格表示出来．
跟踪训练2 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解
（1）由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
（2）根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数，则P（ξ＝0）等于（ ）
A．0B.C.D.
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
答案 C
解析 由题意知该分布为两点分布，
又P（ξ＝1）＝2P（ξ＝0）且P（ξ＝1）＋P（ξ＝0）＝1，
∴P（ξ＝0）＝.
2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ）
A．P（X＝2）B．P（X≤2）
C．P（X＝4）D．P（X≤4）
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，∴P（X＝4）＝.
3．若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2.令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）等于（ ）
A．0.8B．0.2C．0.4D．0.1
考点 离散型随机变量的分布列
题点 两点分布
答案 A
解析 因为Y＝3X－2，所以X＝（Y＋2）．当Y＝－2时，X＝0，所以P（Y＝－2）＝P（X＝0）＝0.8.
4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝.
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝6）＝＝，
P（ξ＝10）＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
2
6
10
P
1．两点分布：
两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．
2．超几何分布：
超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：
P（X＝k）＝求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义．
一、选择题
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（ ）
A.B.
C．1－D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 D
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋.
2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
考点 超几何分布
题点 超几何分布的概念
答案 B
解析 由超几何分布的定义可知B正确．
3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（ ）
A.B.C.D.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 记X为2张中的中奖数，则P（X＝2）＝＝.
4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于（ ）
A．1B．2或8C．2D．8
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 B
解析 由题意知，＝，
解得a＝2或8.
5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（ ）
A．P（0C．P（X＝1）D．P（X＝2）
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 B
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案 C
解析 “X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4）．所以P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，故选C.
7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X＝3）等于（ ）
A.B.C.D.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 排列、组合知识在分布列中的应用
答案 D
解析 “X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P（X＝3）＝＝＝，故选D.
二、填空题
8．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P（X＝1）＝________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 易知P（X＝1）＝＝.
9．在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X，则P（X＝7）＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 排列、组合知识在分布列中的应用
答案
解析 P（X＝7）＝＝.
10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．（用式子表示）
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．
11．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）＝________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 由题意知P（ξ≥8）＝1－P（ξ＝6）－P（ξ＝4）＝1－－＝.
三、解答题
12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
（2）他能及格的概率．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解
（1）X的所有可能取值为0,1,2,3.
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
（2）他能及格的概率为P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.
13．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
时间x（年）
01x>2
0x>2
轿车数量（辆）
2
3
45
5
45
每辆利润（万元）
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解
（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
四、探究与拓展
14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P（X＝2）＝________.
考点 超几何分布
题点 利用超几何分布求概率
答案
解析 设10个球中有白球m个，
则＝1－，
解得m＝5或m＝14（舍去）．
所以P（X＝2）＝＝.
15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：
cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列．
考点 超几何分布
题点 求超几何分布的分布列
解
（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2（人），“非高个子”有18×＝3（人）．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，
则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”，
则P（A）＝1－P（）＝1－＝1－＝.
因此，至少有一人是“高个子”的概率是.
（2）依题意，X的可能取值为0,1,2,3.
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
因此，X的分布列为
X
0
1
2
3
P
进步，总结是一面镜子，通过总结可以全面地对自己成绩与教训、长处与不足、困难与机遇的进行客观评判，为下一步工作理清思路，明确目标，制订措施，提供参考和保障。
所以总结不仅仅是给领导看的，更是对自己进行全方位的剖析，使自己更加认识自己，发挥优点，弥补不足，不断提高。
为此，必须认识到总结的重要意义。
当然各级领导也要重视总结的重要性，要让下属广开言道，言无不尽，言者无罪，实事求是，客观认真地总结。
二、对一年来工作的回顾，对一年来各项工作的完成情况进行总结，全面总结成绩：
各项计划完成了多少、销售指标（销量、销售额、回款、利润）完成情况、与去年同期相比各项任务是否有增长、产品结构是否得到优化、渠道建设和客户关系是否得到加强、经销商的素质是否得到提高、经销商与消费者对品牌的满意度和忠诚度是否得到提升、竞争对手衰退了没有、如果作为团队领导还要总结团队建设、培训学习等方面的内容。
三、分析取得成绩的原因。
没有人会随随便便成功，每一个成功的后面都是付出的艰辛努力。
认真分析取得成绩的原因，总结经验，并使之得以传承，是实现工作业绩持续提升的前提和基础。
成绩固然要全面总结，原因更要认真客观分析：
1、成绩的取得客观因素分析：
行业宏观环境的势利性、竞争对手失误所造成的机会、公司所给予的资源支持程度、团队领导在具体方面的指导、同事的帮助。
2、成绩取得的主观因素分析：
自己对年度目标任务的认识和分解、自己对市场的前瞻性认识、自己的困难的挑战意识、自己自我学习素质提升、解决问题能力提升、自己对市场变化的反应能力。
四、分析导致工作目标没有达成的失误和问题。
人贵有自知之明，年度总结并不是要总结得形势一片大好，必须认真客观的分析在工作中的失误和存在的问题。
通过分析问题，查找原因，认识不足，不断改进和提高，实现工作质量的持续提高。
来反思自己为什么没有进步。
1、主观认识不足，思路不够高度重视。
2、自身没有远大理想与目标，对自己不能严格要求，对下属和自己过于放任。
3、计划制订得不合理，脱离客观实际。
4、对计划的分解不到位，执行和过程监控不到位。
5、对竞争对手的跟踪分析不深入，市场反应速度滞后。
6、产品结构、价格策略、促销组合、渠道建设、品牌传播计划不合理、执行不到位。
7、团队管理能力差、个体成员素质差，不能胜任工作的要求。
8、来自于竞争对手的强大压力，使自身的优势不能突显。
1、外界宏观与微观环境分析：
行业发展现状与发展、竞争对手现状与动向预测、区域市场现状与发展、渠道组织与关系现状、消费者的满意度和忠诚度总体评价。
2、内部环境分析。
企业的战略正确性和明晰性、企业在产品、价格、促销、品牌等资源方面的匹配程度。
3、自身现状分析。
自身的目标与定位、工作思路和理念、个人素质方面的优势与差距。
通过对现状与未来的客观分析，能够更加清楚所面临的困难和机遇。
从而对困难有清醒的认识和深刻的分析，找到解决困难的方法，对机遇有较强的洞察力，及早做好抢抓机遇的各项准备。
六、下一年度工作计划与安排。
总结上年工作当然是年度总结的重点，但更好的筹划和安排下年工作才总结的目的，所以下一年度工作计划和安排同等重要。
1、明确工作的主要思路。
战略决定命运，思路决定出路，良好的业绩必须要有清楚正确的思路的支撑。
否则人就变成了无头苍蝇，偏离了方向和轨道，就会越走越远。
2、新一年度工作的具体目标：
销量目标、回款目标、利润目标、渠道建设目标、区域市场发展目标、团队建设目标、学习培训目标。
3、完成计划的具体方法：
团队整体素质与协作能力的提升、资源需要和保障措施、目标任务的分解、渠道的开发与管理、产品结构的调整与优
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