立方和与立方差公式.docx
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立方和与立方差公式
第一阶梯
[例1]我们来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算:
(1)(2x+3y)(2x-3y)
(2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2)
提示:
刚开始使用公式,运算格式可分两步走,第一步先按公式特征写出一个"框架",如
(1)(2x+3y)(2x-3y)=()2-()2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架"中填数计算。
参考答案:
(1)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2
(2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2
(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4
(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4
说明:
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的特征是:
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
(2)右边是乘式中两项的平方差:
即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式时还应注意:
①公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标准的形式,如第(4)小题。
[例2]计算(a+b)2和(a-b)2,可知(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即(a±b)2=a2±2ab+b2,这就是说,两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算
(1)(x+5)2
(2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2
(5)(-a+2b)2
提示:
在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b。
参考答案:
(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25
(2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2
(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2
(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2
说明:
1、(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是:
左边是两个相同的二项式相乘,(即二项式的平方形式),右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生(a±b)2=a2±b2这样的错误。
[例3]计算(a+b)(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2),可知(a+b)(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即(a±b)(a2
ab+b2)=a3±b3,这就是说,两数和(或差)乘以它们的平方和与它们的积的差(或和),等于这两个数的立方和(或差),这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算:
(1)(x+2)(x2-2x+4);
(2)(3-y)(9+3y+y2);
(3)(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);
(5)(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)
提示:
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a,哪个数或式是b,最后再代入公式计算。
参考答案:
(1)(x+2)(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8
(2)(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3
(3)(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3
(5)(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6
说明:
1、注意对公式的理解和记忆
(1)项数特征:
两项乘三项→积为二项,
(2)符号特征:
二项的因式若两项都为"+",则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同,二项的因式符号若为"+","-",则三项的因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号相同,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差",主要看乘积中第一个乘式是"两数和",还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[例1]利用乘法公式计算:
(1)(x+3)(x-3)(x2+9)
(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)
(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)
提示:
(1)小题可两次使用平方差公式;
(2)小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式;
(3)小题先使用平方差公式,再使用立方差公式
(4)小题两次使用立方差公式。
参考答案:
(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81
(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4
(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64
(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9
说明:
遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算:
(1)(a+b+c)(a-b-c)
(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)
(3)(x+2y+z)2 (4)(2x-3y-4z)2
提示:
(1)
(2)小题可利用平方差公式进行计算;(3)(4)小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案:
(1)(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2
(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2
(3)(x+2y+z)2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2
(4)(2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2
说明:
进行多项式乘法运算时,一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号,将有利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如(4)小题还可添加括号为[(2x-3y)-4z]2,但得出的结果均相同。
[例3]利用乘法公式计算:
(1)(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)
(2)(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
提示:
(1)小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式
(2)小题类似。
参考答案:
(1)
解法一:
(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)
=(x2-1)[(x2+1)2-x2]
=(x2-1)(x4+2x2+1-x2)
=(x2-1)(x4+x2+1)
=(x2-1)[(x2)2+x2-1+12]
=(x2)3-13=x6-1
解法二:
(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)
=[(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)]
=(x3+1)(x3-1)
=(x3)2-12
=x6-1
(2)
解法一:
(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
=(a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]
=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)
=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)
=(a2)3-(b2)3
=a6-b6
解法二:
(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
=[(a+b)(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]
=(a3+b3)(a3-b3)
=(a3)2-(b3)2
=a6-b6
说明:
进行整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局,恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算,以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和,立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错。
第三阶梯
[例1]
(1)化简化求值:
(x+2)(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1),其中
(2)解方程:
(2x+1)2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0
提示:
用乘法公式进行化简
参考答案:
(1)
(x+2)(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)
=x3+8+x3-1
=2x3+7
当
时,
(2)(2x+1)2-(x+1)(x