次函数图像行程专题.docx

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次函数图像行程专题

一次函数图像-行程专题

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60

知识点

一次函数的图像和性质；一次函数的应用；一次函数综合。

教学目标

1.理解一次函数的概念。

2.理解一次函数及其图象的有关性质。

3.能用待定系数法求出函数解析式。

4.行程问题中一些常量及公式的理解和掌握。

教学重点

如何根据题目的意思去观察一次函数图像。

教学难点

在观察图像的同时能够分清楚图像上各个转折点和含义以及一次函数各字母的含义。

教学过程

1、课堂导入

在学习一次函数之前，我们解决应用题的时候大多是列一元一次方程，如行程问题，一般是先画线段示意图，然后标上各个距离来观察它们之间的联系。

学习过一次函数后，加入了一次函数的图像，很多原本题目直接给出的信息就需要通过图像，运用一次函数图像性质来进行分析的同时得到解题的必要条件。

而行程问题也是这类问题中较为常见常考的问题，那么如何去解决这些问题呢，待我们来一起详解一下。

二、复习预习

利用一次函数解决实际问题

在一次函数的应用题里，有很多题目中是和图像相关的，那么在解决这类问题的时候，最为关键的就是对图像的理解

和分析了，那么在分析图像给我们带来的信息时最为关键的是什么呢？

有两点，一是搞清楚解析式中的k在实际问题

中所代表的含义，在行程问题中，k的含义可以用y轴的含义与x轴含义的比值来的，如y轴的含义是路程，x轴的含义是时间，那么k的还以就是速度，但是要注意这里只能是数值，符号一定是需要自己通过图像去判断的。

三、知识讲解

考点1建立一次函数关系解决实际问题

一次函数是刻画现实世界事物间关系的简单数学模型，其应用十分广泛，解决这些问题时，常常要根据题目所列出的信息，建立一次函数的关系式，然后根据一次函数的性质并综合一元一次方程和一元一次不等式的知识来解决问题，那么行程问题中我们也一样需要利用一次函数建模来将这些实际问题转化为我们所学习过的数学问题。

考点2一次函数与一元一次方程、一元一次不等式

从数的角度去看，一次函数y=kx+b（k≠0），当y=0时，就变成了一元一次方程，而事实上是，不论y取什么样的值，都可以求出一个对应的x值，这就表明一次函数和一元一次方程有必然的关系，也就是说在解决一次函数的问题时通常是转化成一元一次方程的问题加以计算解决的。

由于任何的一元一次不等式都可以化作ax+b＞0或ax+b＜0，所以解一元一次不等式可以看作是但一次函数的值大于或小于零时求自变量的范围，所以一次函数和一元一次不等式也有莫大的关系，解题时要能区分出等式和不等式的区别

考点3行程问题中的关系量

路程=速度×时间，速度=路程/时间，时间=路程/速度

相遇问题：

若甲、乙同时出发，

则相遇时间

追及问题：

若甲、乙同时出发，

则相遇时间

四、例题精析

例1某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图11表示快递车距离A地的路程y（单位：

千米）与所用时间x（单位：

时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．

⑴请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；

⑵求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；

⑶求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？

【答案】

解：

（1）根据题意，图象经过（-1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）．如图：

（2）4次；

（3）如图，设直线EF的解析式为y=k1x+b1∵图象过（9，0），（5，200），

∴y=-50x+450 ①，

设直线CD的解析式为y=k2x+b2∵图象过（8，0），（6，200），

∴

∴

∴y=-100x+800②，解由①②组成的方程组得：

，

∴最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车应从A地出发8小时．

【解析】

在求解的过程中要抓住的重点是货车提前一小时出发，退后一小时到达，那么在图像中的体现就是x=-1和x=9，这样图像就相对容易画出了，解题也就能较为顺利了。

例2甲乙两辆货车分别从M、N两地出发，沿同一条公路相向而行，当到达对方的出发地后立即装卸货物，5分钟后再按原路以原速度返回各自的出发地，已知M、N两地相距100千米，甲车比乙车早5分钟出发，甲车出发10分钟时两车都行驶了10千米，图中表示甲乙两车离各自出发地的路程y（千米）与甲车出发的时间x（分）的函数图像

（1）甲车从M地出发后，经过多长时间甲、乙两车第一次相遇？

（2）乙车从M地出发后，经过多长时间甲、乙两车与各自出发地的距离相等？

【答案】

解：

（1）设直线AB的解析式为y=k1x+b1∴将（5，0）和（10，10）代入得：

解得

∴直线AB解析式为y=2x-10，

设直线OE的解析式为y=k2x，将（10，10）代入得：

10k2=10∴k2=1；即直线OE的解析式为y=x，

当两车第一次相遇时，（2x-10）+x=100∴

答：

甲车从M地出发后，经过

分钟甲、乙两车第一次相遇；

（2）由题意得100=2xB-10，∴xB=55，∴xC=xB+5=60，由题可知xD-xC=xB-5

即xD=110，设直线CD的解析式为y=k3x+b3，∴

，∴

，∴直线CD的解析式为y=-2x+220

∴

，∴

，∴

答：

乙车从M地出发后，又经过

分钟，甲、乙两车与各自出发地的距离相等。

【解析】

此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力，要先根据题意列出函数关系式，再代数求值，解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息。

例3某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速开往B地，乙车从B地直达A地，图16是甲、乙两车间的距离

（千米）与乙车出发

（时）的函数的部分图像

（1）A、B两地的距离是千米，甲车出发小时到达C地；

（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，

与

的函数关系式及

的取值范围，并在图16中补全函数图像；

（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米？

【答案】

（1）由图象可知，A、B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；

（2）由图象可知，乙的速度为v乙=30÷（2-1.5）=60，设甲的速度为v甲，依题意得：

（v甲+60）×1.5=300-30，解得v甲=120，

当2≤x≤2.5时，设y与x的函数关系式为：

y=kx+b，2小时这一时刻，甲乙相遇；2到2.5小时，甲停乙车运动；

则2.5小时时，两车相距30km，∴D（2.5，30），2.5小时到3.5小时，两车都运动；则两车相距180+30=210，

∴E（3.5，210），3.5到5小时，甲走完全程，乙在运动，则两车相距：

210+1.5×60=300，

∴F（5，300），把点（2，0），（2.5，30）代入，得y=60x-120，

当2.5＜x≤3.5时，设y与x的函数关系式为：

y=mx+n，

把点（2.5，30），（3.5，210）代入，得y=180x-420，

把（3.5，210），（5，300）代入得y=60x，即

（3）把y=150代入y=180x-420中，得

根据对称性可知，相遇前，相距150千米的时间为

即乙车出发

小时或

小时，两车相距150千米．本题考查了对函数图象的理解能力，分段函数的求法。

【解析】

（1）观察图象得到A，B两地的距离为240千米，乙车出发2小时与甲相遇；

（2）分1.5≤x≤2；2＜x≤2.5；2.5＜x≤4三种情况，利用待定系数法确定出y与x的关系式即可；

（3）求出甲乙两车的速度，当x＞2.5时，把y=100代入y=140x-320，即可得到结果。

课堂小结

行程问题中一些常量及公式的理解和掌握。

如何根据题目的意思去观察一次函数图像。

在观察图像的同时能够分清楚图像上各个转折点和含义以及一次函数各字母的含义。