综合设计性复摆实验讲义.docx
《综合设计性复摆实验讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《综合设计性复摆实验讲义.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
综合设计性复摆实验讲义
综合设计性复摆实验讲义
毛杰健,杨建荣
练习一复摆的基础性实验
一实验目的
（1掌握复摆物理模型的分析。
（2通过实验学习用复摆测量重力加速度的方法。
二实验仪器
复摆装置、秒表。
三实验原理
复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
如图1所示,刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动,G是该物体的质心,与轴O的距离为h,θ为其摆动角度。
若规定右转角为正,此时刚体所受力矩与角位移方向相反,即有
θsinmghM-=,（1
又据转动定律,该复摆又有
θ
IM=,（2其中I为该物体转动惯量。
由（1和（2可得
θωθ
sin2-=,（3
其中I
mgh=2ω。
若θ很小时（θ在5°以内近似有
θωθ
2-=,（4
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动,该复摆振动周期为
mgh
ITπ=2,（5设GI为转轴过质心且与O轴平行时的转动惯量,那么根据平行轴定律可知
2mhIIG+=,（6
代入上式得:
mgh
mhITG2
2+=π,（7根据（7式,可测量重力加速度g,其实验方案有多种,选择其中的三种加以介绍.
实验方案一:
对于固定的刚体而言,GI是固定的,因而实验时,只需改变质心到转轴的距离21,hh,则刚体周期分别为
1
2
112mghmhITc+π=,（82
2222mghmhITc+π=,（9为了使计算公式简化,故取122hh=,合并（8式和（9式得:
2（12212212TThg-=π,（10为了方便确定质心位置G,实验时可取下摆锤A和B。
自已设计实验测量方案和数据处理方案。
实验方案二:
设（6式中的2mkIG=,代入（7式,得
gh
hkmghmhmkT2
22222+=+=ππ,（11式中k为复摆对G轴的回转半径,h为质心到转轴的距离。
对（11式平方,并改写成
22
22
2
44hg
kghTππ+=,（12设22,hxhTy==,则（12式改写成xg
kgy2
22
44ππ+=,（13（13式为直线方程,实验时取下摆锤A和B,测出n组（x,y值,用作图法或最小二法求直线的截距A和
斜率B,由于g
BkgA2
22
4,4ππ==,所以,4,422
B
AAgk
Bg===ππ（14由（14式可求得重力加速度g和回转半径k。
实验方案三:
在摆杆上加上摆摆锤A和B,将复摆的刀刃1O放在刀架上（正挂,使之摆动,如摆角较小,其周期1T将等于
1
112hgMITπ=,（15式中1I是可逆摆以1O为轴转动时的转动惯量,M为摆的总质量,g为当地的重力加速度,1h为支点1O到摆的质心G的距离。
又当以刀刃2O为支点（倒挂摆动时,其周期2T将等于
2
222hgMITπ=,（16式中2I是以2O为轴时的转动惯量,2h为2O到G的距离。
设GI为可逆摆对通过质心的水平轴的转动惯量,根据平行轴定理,,222211hMIIhMIIGG+=+=所
以式（15和（16可改写成
1
2112ghMhMITG+=π,（172
2222ghMhMITG+=π,（18从上述二式消去GI和M,可得
2
2212122212（4hThThhg--=π,（19在适当调节摆锤A、B的位置之后,可使21TT=,令此时的
周期值为T,则
（42122
hhT
g+=π,（20上式中21hh+,即21OO间的距离,设为l,则
lT
g22
4π=,（21由（21式知,测出复摆正挂与倒挂时相等的周期值T和l,就
可算出当地的重力加速度之值。
式中l为二刀刃间的距离,
能测得很精确,所以能使测量g值的准确性提高。
为了寻找21TT=的周期值,就要研究1T和2T在移动摆
锤时的变化规律。
设在21OO间的摆锤A的质量为Am,1O到A的距离为x并取21OO为正方向,如图
2
所示,除去摆锤A之外摆的质量为0m,对1O的转动惯量为0I,质心在C点,令11hcCO=。
由于摆锤A较小,（17式可近似写成为
g
xmhcmxmITAA（2102
0++=π,（22由此式可知,此摆在以1O为轴时的等值摆长1l等于
x
mhcmxmIlAA++=102
01,（23经分析可知,在一定条件下01=dxdl,并且0212>dx
ld,即在改变A锤位置时,等值摆长1l有一极小值,亦即周期1T有一极小值,并且和
此极小值对应的x小于l。
这说明当A锤从1O移向2O时,1T和变化如图3所示,当x开始增加时1T先是减小,在1T达到极小值之后又增加。
2T的变化规律和1T的相似,但是变化较明显。
本实验为了利用式（21计算g值,就必需在移动A锤过程中,使1T曲线和2T曲线相交.理论分析和实际测量都表明,1T和2T二曲线是否相交决定于摆锤B的位置（图4,本实验是通过实际测量来确定能使1T、2T曲线相交的B锤的位置（图4（b。
四实验内容
1.确定B锤的位置在摆杆的两端分别固定一挡光片。
光电门置于摆下端的挡光片处并和数字毫秒计联接好。
毫秒计的时间选择用1ms挡,并使用能测周期的功能部分。
将A锤置于21OO的中点处,B锤置于2O外侧的中间,测1T和2T
（只测一个摆动周期,若1T>2T,那将属于图4（a或（b的情形。
将A锤移至2O附近,2AO约10cm处（B不动再测1T和2T
如果此时1T<2T,就说明B锤的位置适合（b,亦即适合实验的要求,在以下的测量中B锤即固定在此位置。
若是测量结果和上述的不一致,就要参照图20-6去改变B锤的位置,直至和上述要求一致时为止。
2.测绘1T、2T曲线将A锤置于AO1约等于10cm处,测1T和2T。
其次,每将A锤移动10cm测一下1T和2T,直至2AO大约为10cm时为止。
以AO1为横坐标,周期为纵坐标作图线（如图4（b,二曲线交点对应的AO1值为1P和2P,对应的周期应相等。
3.测量1T=2T=T的精确值将A锤置于2P处（该点对应的二曲线的交角较大,测1T和2T（数字毫秒计用0.1ms档,各重复测10次后取平均值（由于这次测得较精细,将发现1T和2T不等,即以前测得的2P不准,当1T<2T时,就使AO1减少2mm（若是1T>2T就使AO1增加2mm,再同上法测周期为1'T和2'T,这时应当是1'T>2'T（若是实际测量结果仍然是1'T<2'T时,就要再移动A锤去测量。
在这一步测量时,要使每次摆尖的位移（振幅相同,并测出其大小s,如支点到摆尖的长度为L,则摆角L
s=θ,在小摆角θ测得的周期θT和摆角近于零时的周期0T之间存在如下关系⎪⎪⎭
⎫⎝⎛-=16120θθTT（24
测量所得各周期值,要根据上式改正成为摆角近于零时的周期.
用测得的1T、2T、1'T和2'T参照图20-7作图线,其交点所对应的周期值就是所求的1T=2T=T的数值。
4.测量二刀刃间的距离l用测高仪在摆的两侧分别测二刀刃的距离仪在摆的两侧分别测二刀刃的距离1l和2l（因为21OO可能不平行,在两侧测出的l值不等,取1l和2l的平均值为所求的l值。
重复测4次。
5.将第3、4步求出的T和l值代入式（21,求出当地的重力加速度g之值并求其标准偏差。
练习二利用复摆测量物体的转动惯量和验证平行轴定理
1测量物体的转动惯量
当复摆作小角度5（
<θ摆动,且忽略阻尼的影响时,摆动周期T与转动惯量的关系如（5式。
设复摆的绕固定轴为O转动时的转动惯量为0I,质心到转轴的距离为0h,对应的周期为0T,则由（5式得
220004πTmghI=,（25
又设待测物体的质量为mx，回转半径为kx，绕自己质心的转动惯量为Ix0=mxkx2，绕O转动时的转动惯量为Ix，则Ix=Ix0+mxhx2。
当待测物体的质心与复摆质心重合时（hx=h0,x=0，如图5所示,由（5式绕O转动时，有T=2πIx+I0,（26Mgh0式中M=m0+mx，将（26式平方，并改写成Ix=Mgh0T2I0，（274π2将待测物体的质心调节到与复摆质心重合，测出周期T，代入（27）式，可求转动惯量为Ix和Ix0。
2验证平行轴定理取质量和形状相同的两个摆锤A和B，对称地固定在复摆质心G的两边，设A和B的位置距复摆质心位置为X，如图5所示。
由（5式得T=2πIA+IB+I0Mgh0（28式中M=mA+mB+m=2mA+m，mA为摆锤A和B的的质量，m为复摆的质量。
根据平行轴定理有IA=IA0+mA（h0x2，（29）IB=IB0+mB（h0+x2，（30）式中IA0和Ib0分别为摆锤A和B绕质心的转动惯量。
二式相加得IA+IB=IA0+IB0+m[（h0x2+（h0+x2]=2[IA0+mA（h02+x2]将（31式代入（28式，得，（31T2=8π2[IA0+mA（h02+x2+I0]mgh08π2mA28π22=x+（IA0+I0+mAh0Mgh0Mgh0222，（32当以x作横轴，T2为纵轴，作xT图像，应是直线，直线的截距a和斜率b，分别为6
a=8π2（IA0+I0+mAh02，（33Mgh0b=8π2mA，（34Mgh0如果实验测得的a，b值与由（33，（34式计算的理论值相等，则由平行轴定理推导的（32式成立。
也就证明平行轴定理成立。
实验过程中，先测量（33）式中的IA0,I0。
实验方案自己设计。
练习三无阻尼任意角复摆运动行为的探究由（4）式的两边同乘以dθ，并对t积分，得dtdθ2（2=E+2ω0cosθ，dt（25）式中，E为积分常数，设在最大角位移θ=θ0处，角速度2E=2ω0cosθ0，dθ=0，因此求得积分常数E为dt（26）（26）式代入（25）式，得dθ=ω0[2（cosθcosθ0]2，dt1（27对（27式积分一次，得ω0t=∫dθ[2（cosθcosθ0]12，（28设复摆过最低点时，t=0,θ=0，并设振动周期为T，则在t=得θ01ω0T=∫04T时应有θ=θ0，再运用半角公式，4dθ2（sin2θ02sin2θ212，（29将θ表示成的函数，设sin对（30式微分，得θ2=sinθ02sin，（30θθ1cosdθ=sin0cosd，（31222（30和（31式代入（29式，得7
πT2T02π=∫20πd（1sin2θ02sin212，（32式中T0=ω0，最后，可求得任意摆角的周期θθ113T=T0[1+（2sin20+（2sin40+......]22242设（27式中的，（33dθ=y，θ=x，则dty=ω0[2（cosxcosθ0]21，（34根据（34式可作出复摆任意摆角时的（x,y相图，如图6所示实验内容：
实验内容：
利用复摆实验装置，自行设计实验测量方案验证（34式,并作出（x,y的相轨图。
8
升级会员 