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1、综合设计性复摆实验讲义综合设计性复摆实验讲义毛杰健,杨建荣练习一 复摆的基础性实验一 实 验 目 的(1掌握复摆物理模型的分析。(2通过实验学习用复摆测量重力加速度的方法。二 实 验 仪 器复摆装置、秒表。三 实 验 原 理复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。如图1所示,刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动,G 是该物体的质心,与轴O 的距离为h ,为其摆动角度。若规定右转角为正,此时刚体所受力矩与角位移方向相反,即有sin mgh M -=, (1又据转动定律,该复摆又有I M = , (2 其中I 为该物体转动惯量。由(1和(2可得sin 2-= , (3

2、其中Imgh =2。若很小时(在5以内近似有2-= , (4此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动,该复摆振动周期为mghI T =2 , (5 设G I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量,那么根据平行轴定律可知2mh I I G += , (6代入上式得:mghmh I T G 22+=, (7 根据(7式,可测量重力加速度g,其实验方案有多种,选择其中的三种加以介绍.实验方案一:对于固定的刚体而言,G I 是固定的,因而实验时,只需改变质心到转轴的距离21,h h ,则刚体周期分别为12112mgh mh I T c += , (8 22222mgh mh I T c += , (9

3、为了使计算公式简化,故取122h h =,合并(8式和(9式得:2(12212212T T h g -= , (10 为了方便确定质心位置G ,实验时可取下摆锤A 和B 。自已设计实验测量方案和数据处理方案。实验方案二:设(6式中的2mk I G =,代入(7式,得ghh k mgh mh mk T 222222+=+=,(11 式中k 为复摆对G 轴的回转半径,h 为质心到转轴的距离。对(11式平方,并改写成2222244h gk g h T +=, (12 设22,h x h T y =,则(12式改写成 x gk g y 22244+=, (13 (13式为直线方程,实验时取下摆锤A 和

4、B ,测出n 组(x,y值,用作图法或最小二法求直线的截距A 和斜率B ,由于gB k g A 2224,4=,所以 ,4,422BA Ag kB g =(14 由(14式可求得重力加速度g 和回转半径k 。实验方案三:在摆杆上加上摆摆锤A 和B,将复摆的刀刃1O 放在刀架上(正挂,使之摆动,如摆角较小,其周期1T 将等于1112h g M I T =, (15 式中1I 是可逆摆以1O 为轴转动时的转动惯量,M 为摆的总质量,g 为当地的重力加速度,1h 为支点1O 到摆的质心G 的距离。又当以刀刃2O 为支点(倒挂摆动时,其周期2T 将等于2222h g M I T =, (16 式中2I

5、 是以2O 为轴时的转动惯量,2h 为2O 到G 的距离。设G I 为可逆摆对通过质心的水平轴的转动惯量,根据平行轴定理,222211h M I I h M I I G G +=+=所以式(15和(16可改写成 12112gh M h M I T G +=, (17 22222gh M h M I T G +=, (18 从上述二式消去G I 和M ,可得22212122212(4h T h T h h g -=, (19 在适当调节摆锤A 、B 的位置之后,可使21T T =,令此时的周期值为T ,则(42122h h Tg +=, (20 上式中21h h +,即21O O 间的距离,设为

6、l ,则l Tg 224=, (21 由(21式知,测出复摆正挂与倒挂时相等的周期值T 和l ,就可算出当地的重力加速度之值。式中l 为二刀刃间的距离,能测得很精确,所以能使测量g 值的准确性提高。为了寻找21T T =的周期值,就要研究1T 和2T 在移动摆锤时的变化规律。设在21O O 间的摆锤A 的质量为A m ,1O 到A 的距离为x 并取21O O 为正方向,如图2所示,除去摆锤A 之外摆的质量为0m ,对1O 的转动惯量为0I ,质心在C 点,令11hc C O =。由于摆锤A 较小,(17式可近似写成为 gx m hc m x m I T A A (21020+=, (22 由此

7、式可知,此摆在以1O 为轴时的等值摆长1l 等于xm hc m x m I l A A +=10201, (23 经分析可知,在一定条件下01=dx dl ,并且0212dxl d ,即在改变A 锤位置时,等值摆长1l 有一极小值,亦即周期1T 有一极小值,并且和此极小值对应的x 小于l 。这说明当A 锤从1O 移向2O 时,1T 和变化如图3所示,当x 开始增加时1T 先是减小,在1T 达到极小值之后又增加。2T 的变化规律和1T 的相似,但是变化较明显。本实验为了利用式(21计算g 值,就必需在移动A 锤过程中,使1T 曲线和2T 曲线相交.理论分析和实际测量都表明,1T 和2T 二曲线是

8、否相交决定于摆锤B 的位置(图4,本实验是通过实际测量来确定能使1T 、2T 曲线相交的B 锤的位置(图4(b 。 四 实 验 内 容1.确定B 锤的位置 在摆杆的两端分别固定一挡光片。光电门置于摆下端的挡光片处并和数字毫秒计联接好。毫秒计的时间选择用1ms 挡,并使用能测周期的功能部分。将A 锤置于21O O 的中点处,B 锤置于2O 外侧的中间,测1T 和2T(只测一个摆动周期,若1T 2T ,那将属于图4(a 或(b的情形。 将A 锤移至2O 附近,2AO 约10cm 处(B 不动再测1T 和2T,如果此时1T 2T ,就说明B 锤的位置适合(b ,亦即适合实验的要求,在以下的测量中B

9、锤即固定在此位置。若是测量结果和上述的不一致,就要参照图20-6去改变B 锤的位置,直至和上述要求一致时为止。2.测绘1T 、2T 曲线 将A 锤置于A O 1约等于10cm 处,测1T 和2T 。其次,每将A 锤移动10cm 测一下1T 和2T ,直至2AO 大约为10cm 时为止。以A O 1为横坐标,周期为纵坐标作图线(如图4(b ,二曲线交点对应的A O 1值为1P 和2P ,对应的周期应相等。3.测量1T =2T =T 的精确值 将A 锤置于2P 处(该点对应的二曲线的交角较大,测1T 和2T (数字毫秒计用0.1ms 档,各重复测10次后取平均值(由于这次测得较精细,将发现1T 和

10、2T 不等,即以前测得的2P 不准,当1T 2T 就使A O 1增加2mm ,再同上法测周期为1T 和2T ,这时应当是1T 2T (若是实际测量结果仍然是1T 2T 时,就要再移动A 锤去测量。在这一步测量时,要使每次摆尖的位移(振幅相同,并测出其大小s,如支点到摆尖的长度为L,则摆角Ls =,在小摆角测得的周期T 和摆角近于零时的周期0T 之间存在如下关系 -=16120T T (24测量所得各周期值,要根据上式改正成为摆角近于零时的周期.用测得的1T 、2T 、1T 和2T 参照图20-7作图线,其交点所对应的周期值就是所求的1T =2T =T 的数值。4.测量二刀刃间的距离l 用测高仪

11、在摆的两侧分别测二刀刃的距离仪在摆的两侧分别测二刀刃的距离1l 和2l (因为21O O 可能不平行,在两侧测出的l 值不等,取1l 和2l 的平均值为所求的l 值。重复测4次。5.将第3、4步求出的T 和l 值代入式(21,求出当地的重力加速度g 之值并求其标准偏差。 练习二 利用复摆测量物体的转动惯量和验证平行轴定理1 测量物体的转动惯量当复摆作小角度5(摆动,且忽略阻尼的影响时,摆动周期T 与转动惯量的关系如(5式。设复摆的绕固定轴为O 转动时的转动惯量为0I ,质心到转轴的距离为0h ,对应的周期为0T ,则由(5式得220004T mgh I =, (25又设待测物体的质量为 m x

12、 ，回转半径为 k x ，绕自己质心的转动惯量为 I x 0 = m x k x2 ，绕 O 转动时的转动惯量为 I x ，则 I x = I x 0 + m x hx2 。当待测 物体的质心与复摆质心重合时( hx = h0 , x = 0 ， 如图 5 所示,由(5式绕 O 转 动时，有 T = 2 I x + I0 , (26 Mgh0 式中 M = m0 + m x ，将(26式平方，并改写成 Ix = Mgh0T 2 I 0 ， (27 4 2 将待测物体的质心调节到与复摆质心重合，测出周期 T，代入（27）式，可 求转动惯量为 I x 和 I x 0 。 2 验证平行轴定理 取质量

13、和形状相同的两个摆锤 A 和 B，对称地固定在复摆质心 G 的两边，设 A 和 B 的位置距复摆质 心位置为 X，如图 5 所示。由(5式得 T = 2 I A + I B + I0 Mgh0 (28 式中 M = m A + m B + m = 2m A + m ， m A 为摆锤 A 和 B 的的质量， m 为复摆的质量。根据平行轴定理 有 I A = I A0 + m A (h0 x 2 ， （29） I B = I B0 + m B (h0 + x 2 ， （30） 式中 I A0 和 I b 0 分别为摆锤 A 和 B 绕质心的转动惯量。二式相加得 I A + I B = I A0

14、+ I B0 + m(h0 x 2 + (h0 + x 2 = 2 I A0 + m A (h02 + x 2 将(31式代入(28式，得 ， (31 T2 = 8 2 I A0 + m A (h02 + x 2 + I 0 mgh0 8 2 m A 2 8 2 2 = x + ( I A0 + I 0 + m A h0 Mgh0 Mgh0 2 2 2 ，(32 当以 x 作横轴， T 2 为纵轴，作 x T 图像，应是直线，直线的截距 a 和 斜率 b ，分别为 6 a= 8 2 ( I A0 + I 0 + m A h02 ， (33 Mgh0 b= 8 2 m A ， (34 Mgh0

15、如果实验测得的 a ， b 值与由(33，(34式计算的理论值相等，则由平行轴定理推导的(32式成立。也 就证明平行轴定理成立。 实验过程中，先测量（33）式中的 I A0 , I 0 。实验方案自己设计。 练习三 无阻尼任意角复摆运动行为的探究 由（4）式的两边同乘以 d ，并对 t 积分，得 dt d 2 ( 2 = E + 2 0 cos ， dt （25） 式中，E 为积分常数，设在最大角位移 = 0 处，角速度 2 E = 2 0 cos 0 ， d = 0 ，因此求得积分常数 E 为 dt （26） （26）式代入（25）式，得 d = 0 2(cos cos 0 2 ， dt 1

16、 (27 对(27式积分一次，得 0t = d 2(cos cos 0 1 2 ， (28 设复摆过最低点时， t = 0, = 0 ，并设振动周期为 T，则在 t = 得 0 1 0T = 0 4 T 时应有 = 0 ，再运用半角公式， 4 d 2(sin 2 0 2 sin 2 2 1 2 ， (29 将 表示成 的函数，设 sin 对(30式微分，得 2 = sin 0 2 sin ，(30 1 cos d = sin 0 cos d ， (31 2 2 2 (30和(31式代入(29式，得 7 T 2 T0 2 = 2 0 d (1 sin 2 0 2 sin 2 1 2 ， (32 式中 T0 = 0 ，最后，可求得任意摆角的周期 1 1 3 T = T0 1 + ( 2 sin 2 0 + ( 2 sin 4 0 + . 2 2 2 4 2 设(27式中的 ，(33 d = y ， = x ，则 dt y = 0 2(cos x cos 0 2 1 ，(34 根据(34式可作出复摆任意摆角时的 ( x, y 相图，如图 6 所示 实验内容： 实验内容： 利用复摆实验装置，自行设计实验测量方案验证(34式,并作出 (x, y 的相轨图。 8