数据结构之树和二叉树的应用.docx

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数据结构之树和二叉树的应用

第六章树和二叉树的应用

6.1二叉排序树和平衡二叉树

在实际应用中，常常需要在一组记录中检索一个记录，向其中插入一个记录或者把找到的记录删除。

如果记录无序，查找起来将会很慢。

如果记录有序，查找将会很快。

但是遇到动态增减变化时，需要移动大量的元素。

即使使用链表结构，查找起来也相当麻烦。

非常需要一中插入、删除、和检索记录效率都很高的数据组织方法。

二叉排序（查找、搜索）树就是这样一种高效的数据结构。

图6.1二叉排序树

6.1.1二叉排序树的基本概念

二叉排序树也称二叉查找树或二叉搜索树。

它或者是一棵空树；或者有性质：

（1）若其左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值。

（2）若其右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。

（3）左右子树也为二叉排序树。

图5.21就是一棵二叉排序树。

二叉排序树通常采用二叉链存储结构。

二叉链存储结构的结点类型定义：

typedefstructtnode

{

KeyTypekey;//关键字域

ElemTypedata;//其他数据域

structtnode*lchild,*rchild;//指针

}BSTNode;

中序遍历二叉排序树可以得到有序序列。

6.1.2二叉排序树的基本运算

二叉排序树的基本运算如下：

1.BSTSearch（bt,k）在二叉排序树bt中，查找值为k的结点。

2.BSTInsert（bt,k）在二叉排序树bt中，插入值为k的结点。

3.CreateBST（bt,str,n）创建二叉排序树

4.输出二叉排序树DispBST（bt）

5.删除结点BSTDelete（bt,k）

1.查找结点BSTSearch（bt,k）

方法：

将给定值k与查找树的根结点关键码比较。

若相等，查找成功，结束查找过程。

否则，

a．当给k小于根结点关键码，查找将在以左子女为根的子树上继续进行；

b．当给k大于根结点关键码，查找将在以右子女为根的子树上继续进行；

c．若K等于当前结点的关键字，则返回；如此反复，直至找到或子树为空，查找失败时为止。

例如，查找图5.21中关键字等于45的结点。

从根结点开始比较。

45<63，在左子树中查找；45<55，在左子树中查找；45>42，在右子树中查找；45=45，查找成功，返回。

再如，查找图5.21中关键字等于73的结点。

从根结点开始比较。

73>63，在右子树中查找；73<90，在左子树中查找；73>70，在右子树中查找；73<83，在左子树中查找；5.83的左子树为空，查找失败。

所以稽核中不含关键字等于73的结点。

查找二叉排序树的算法

BSTNode*BSTSearch（BSTNode*bt,KeyTypek）

{BSTNode*p=bt;

while（p!

=NULL&&p->key!

=k）

{if（kkey）

p=p->lchild;/*沿左子树查找*/

else

p=p->rchild;/*沿右子树查找*/

}

If（p!

=NULL）

return（p）;

elseprintf（“找不到”）;

}

2.二叉排序树的插入BSTInsert（bt,k）

向二叉排序树中插入一个结点的过程：

设待插入结点的关键码为kx，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，待插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。

因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

例如：

记录的关键码序列为：

63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造一棵二叉排序树的过程如图5.22所示：

98

42

67

55

63

90

63

φ

10

10

42

42

图6.2构造二叉排序树

插入算法：

intBSTInsert（BSTNode*&bt,KeyTypek）

{BSTNode*f,*p=bt;

while（p!

=NULL）

{if（p->key==k）return（0）;f=p;/*f指向*p结点的双亲结点*/

if（p->key>k）p=p->lchild;/*k小，在左子树查找*/

elsep=p->rchild;/*否则在右子树找*/

}

p=（BSTNode*）malloc（sizeof（BSTNode））;

p->key=k;p->lchild=p->rchild=NULL;

if（bt==NULL）bt=p;

elseif（kkey）f->lchild=p;

elsef->rchild=p;return

（1）;

}

3.二叉排序树的构造CreateBST（bt,str,n）

上例说明，构造一棵二叉排序树则是从空树出发逐个插入结点的过程。

创建算法：

voidCreateBST（BSTNode*&bt,KeyTypestr[],intn）

{bt=NULL;/*初始时bt为空树*/

inti=0;

while（i

{BSTInsert（bt,str[i]）;/*插入关键字*/

i++;

}

}

4.输出二叉排序树DispBST（bt）

这里指的是二叉排序树的括号形式的输出，而不是关键字的值的输出，也不是输出结点的地址。

关键字的值的输出可用二叉树的先序、中序、后序遍历，二叉排序树的中序序列是一个有序序列。

所以可以用二叉排序树进行排序，这也是把它叫着二叉排序树的原因。

二叉排序树的括号形式的输出，如果不是空树，要求先输出根结点的关键字的值，当该结点有左孩子结点或有孩子结点时，后面紧跟前圆括号“（”，然后递归处理左子树，再输出一个逗号“，”，再递归处理右子树，最后输出一个后圆括号“）”。

即使是没有左子树，右子树前面的逗号也是不能省略的。

对应的地柜算法如下：

voidDispBST（BSTNode*bt）

{if（bt!

=NULL）

{printf（"%d",bt->key）;

if（bt->lchild!

=NULL||bt->rchild!

=NULL）

{printf（"（"）;DispBST（bt->lchild）;if（bt->rchild!

=NULL）printf（","）;

DispBST（bt->rchild）;printf（"）"）;}

}

}

5.二叉排序树的删除BSTDelete（bt,k）

设*p是*f的左孩子，*p左、右子树为pL、pR，pR中序最右结点为S,S的中序前驱为Q。

（1）若*p为叶子结点，则修改*f的对应指针为空。

（2）若*p只有1棵子树,则用子树替代*p。

（3）若*p左右子树均不空。

可以有两种做法：

a.令*p的左子树替代*p，而把*p的右子树作为*s的右子树。

b.令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p,然后再从二叉排序树中删去他的直接前驱（或直接后继）。

当以直接前驱*s替代*p时，由于*s只有左子树，则在删去*s之后，只要令SL为*s的双亲*q的右子树即可。

删除算法：

intBSTDelete（BSTNode*&bt,KeyTypek）

{BSTNode*p=bt,*f,*r,*f1;

f=NULL;/*p指向待比较的结点,f指向*p的双亲结点*/

while（p!

=NULL&&p->key!

=k）/*查找值域为x的结点*/

{f=p;

if（p->key>k）

p=p->lchild;/*在左子树中查找*/

else

p=p->rchild;/*在右子树中查找*/

}

if（p==NULL）/*未找到key域为k的结点*/

图图6.3从二叉排序树中删除元素

return（0）;

elseif（p->lchild==NULL）/**p为被删结点,若它无左子树*/

{

if（f==NULL）/**p是根结点,则用右孩子替换它*/

bt=p->rchild;

elseif（f->lchild==p）/**p是双亲结点的左孩子,则用其右孩子替换它*/

{f->lchild=p->rchild;

free（p）;

}

elseif（f->rchild==p）/**p是双亲结点的右孩子,则用其右孩子替换它*/

{f->rchild=p->rchild;

free（p）;

}

}

elseif（p->rchild==NULL）/**p为被删结点,若它无右子树*/

{

if（f==NULL）/**p是根结点,则用左孩子替换它*/

bt=p->lchild;

if（f->lchild==p）/**p是双亲结点的左孩子,则用其左孩子替换它*/

{f->lchild=p->lchild;

free（p）;

}

elseif（f->rchild==p）/**p是双亲结点的右孩子,则用其左孩子替换它*/

{f->rchild=p->lchild;

free（p）;

}

}

else/**p为被删结点,若它有左子树和右子树*/

{

f1=p;r=p->lchild;/*查找*p的左子树中的最右下结点*r*/

while（r->rchild!

=NULL）/**r一定是无右子树的结点,*f1作为r的双亲*/

{f1=r;

r=r->rchild;

}

if（f1->lchild==r）/**r是*f1的左孩子,删除*r*/

f1->lchild=r->rchild;

elseif（f1->rchild==r）/**r是*f1的右孩子,删除*r*/

f1->rchild=r->lchild;

r->lchild=p->lchild;/*以下语句是用*r替代*p*/

r->rchild=p->rchild;

if（f==NULL）/**f为根结点*/

bt=r;/*被删结点是根结点*/

elseif（f->lchild==p）/**p是*f的左孩子*/

f->lchild=r;

else/**p是*f的右孩子*/

f->rchild=r;

free（p）;

}

return

（1）;

}

从图6.2生成的二叉排序树中删除10，83，70，55的过程如图6.4所示：

67

455

10

删除70，55

删除10，83

图6.4从二叉排序树中删除元素示例

二叉排序树是一种动态结构，它的运算大都是基于查找运算，查找的次数与树的深度（层数）有关。

这样，有n个结点的二叉排序树的平均查找长度就和树的形态有关。

如果形态为或接近完全二叉树，则其平均查找次数的数量级为log2n，如果给出的n个关键字的值是有序的，则顺序插入的二叉排序树就蜕变为单支树，深度为n，平均查找长度为

。

6.1.3平衡二叉排序树（AVL树）

二叉排序树在最好情况下的查找时间复杂度只需O（logn），而在最坏情况下（有序）的查找时间复杂度却需O（n），所以为了提高效率，在生成二叉排序树的过程中，应该进行平衡化处理，使得左右两边尽量均衡。

基于这种想法，Adelson-Velskii和Landis发明了AVL树（二者姓氏首字母），这就是平衡二叉树。

1.平衡二叉树的定义

平衡二叉树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：

（1）它的左子树和右子树都是平衡二叉树；

（2）左子树和右子树高度之差的绝对值不超过1。

若把左子树与右子树高度之差称为结点x的平衡因子（balancefactor），用bf（x）表示。

则由平衡二叉树定义知

Bf（x）=x的左子树的深度-x右子树的深度

显然，所有结点的平衡因子只能取-1，0，1三个值之一。

若二叉排序树中存在平衡因子的绝对值大于1的结点，这棵二叉排序树就不是平衡二叉树。

如图6.5所示。

1

0

a.非平衡二叉树b.平衡二叉树

图6.5非平衡和平衡二叉树举例

2.平衡化调整

在平衡二叉树上插入或删除结点后，可能使树失去平衡，因此，需要对失去平衡的树进行平衡化调整。

好比用一根扁担挑物，出现一头略重（有时是难免的），可以用手调整。

如果相差太多，就得调整支点，前重，支点前移，后重，指点后移。

同样，为了恢复二叉排序树的平衡，也需要移动不平衡二叉排序树的结点位置。

为此作如下分析：

-2

a

需要调整的不平衡而察排序树只能由如下的4种情况：

1

1

-1

-1

-1

h

h

x

（a）LL不平衡（b）LR不平衡（c）RL不平衡d）RR不平衡

图6.6AVL树的不平衡类型

4种类型依次表示导致不平衡结点一次位于A的左子树的左子树、左子树的右子树、右子树的左子树、右子树的右子树中。

平衡因子不为0的用圆表示，属结点；否则用长条表示，属于树。

对于这4种的调整办法，绝大多数教材采用左旋转、先左后右双旋转、先有后座双旋转和右旋转的方法。

我们改用一个我们认为更好理解记忆的方法。

这方法是：

（1）去掉结点分支；

（2）从左到右排序；

（3）向重端仪结点作为新结点；

（4）重组调整为平衡儿茶排序树。

图6.7是这种新调整方法的过程示意。

1

EcDaBDbFcGaEEaFcGbDBaDcE

x

x

x

1

h

图6.7AVL树的不平衡类型的调整过程

例如，依次插入关键字序列（13，24，37，90，53）。

生成和调整的过程如图6.8所示。

删除的过程，与上一节一样，只是注意随时调整即可，就不再赘述了。

0

6.2堆和堆排序

平衡二叉树虽然两边比较均衡，接近完全二叉树，效率比较高。

但是毕竟不是完全二叉树，效率还不是最高。

由于求最大最小的问题比较常用，事实上解决了最大最小问题也等于解决了排序问题。

所以我们引进了一个解决最大最小及排序问题的基于完全二叉树的结构，它就是堆。

6.2.1堆的定义

堆是每个非终端结点的关键字均不大（小）于它的孩子结点的关键字的完全二叉树。

可以描述为：

把n个元素的序列k1，k2，…，kn，存储到一棵完全二叉树中，且使所有非叶结点的值均不大于（或不小于）其子女的值，根结点的值是最小（或最大）的。

显然，堆顶结点具有最大（小）关键字值，非空左、右子树都是一个堆。

我们把堆顶点具有最大值的堆叫做大顶堆；把堆顶点具有最小值的堆叫做小顶堆。

图6.9就是大顶堆和小顶堆的例子。

16

91

i=1，2，…，n/2

图6.9两个堆示例

6.2.2堆排序

设有n个元素，将其按关键码排序。

首先将这n个元素按关键码建成堆，将堆顶元素输出，得到n个元素中关键码最小（或最大）的元素。

然后，再对剩下的n-1个元素建成堆，输出堆顶元素，得到n个元素中关键码次小（或次大）的元素。

如此反复，便得到一个按关键码有序的序列。

称这个过程为堆排序。

因此，实现堆排序需解决两个问题：

（1）如何将n个元素的序列按关键码建成堆；

（2）输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1个元素，使其按关键码成为一个新堆。

更明确地用计算机术语描述，堆排序的基本思想：

（1）首先把待排序的顺序表（R1，R2，…，Rn）依次填入一棵有n个结点的完全二叉树，并将它转换成一个堆。

（2）这时，根结点具有最大（小）值。

把根结点与最后一个结点对调，删去最后一个结点，输出；然后将剩下的结点重新调整为一个堆。

反复进行

（2），直到只剩下一个结点为止。

1.把一棵完全二叉树调整为一个堆

需要经过多次调整才能把它转换成一个堆，这个堆叫做初始堆。

生成初始队的过程叫建堆。

当然，首要的任务是把待排序的顺序表（R1，R2，…，Rn）依次填入一棵有n个结点的完全二叉树中，然后建堆。

建堆方法是：

从[n/2]开始，与其孩子节点比较。

若比两个孩子节点之都小（大），不必调整；否则与较小（大）的一个孩子交换。

换下来的结点也要比较，如果不是堆，也要交换。

直到以这个结点为根的完全二叉树成为堆。

称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。

之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。

例如：

把无序序列（53，36，30，91，47，12，24，85）建成小顶堆。

如图6.10所示。

c.对第3个结点开始

筛选30>12，交换

e.对整棵树进行筛选

53>12,交换,53>24,交换

图6.10建堆示例

2.把删除根后的堆调整为新堆

由于堆的根结点应具有最小（大）值，且左、右子树是堆，因此，新堆的根结点应是左、右孩子（若存在的话）中的一个结点。

因此，删除根结点时只需将其与最后一个结点交换，再删除最后一个然后只对根交换后的结点按上述方法调整即可。

调整方法：

设有m个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1个元素。

将堆底元素送入堆顶，堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。

将根结点与左、右子女中较小（或小大）的进行交换。

这一子堆可能被破坏，且仅这一子堆可能被破坏。

继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。

如图6.11所示。

6.3赫（哈）夫曼树及其应用

赫（哈）夫曼（Huffman）树又称最优树，是一种带权路径长度最短的树，在优化程序、缩短编码等方面都有着广泛的应用。

6.3.1最优二叉树（赫夫曼）树

要完成一个功能，可以有多种方法，各方法的效率是不同的。

例如，要编制一个将百分制转换为五级分制的程序。

显然，此程序很简单，只要利用条件语句便可完成。

如判定过程可以图6.12（a）、（b）所示，如果上述程序需反复使用，而且每次的输入量很大，假定个分数段出现的比例不等（如图6.12（c）所示表的比例数列），输入数量假定为10000个，则两种方案需要比较判断的总次数如图6.12（c）的表：

（a）方案1（b）房案2（c）两种方案比较次数表

图6.12百分制转化为五级分治的方案及次数计算

从上面的图标中不难看出，五级分的结果相当于树的叶子结点，每次运算需要比较的次数恰好等于它的路径长度，假定处于这一分数段的记录数等于这一分数段的比例数与总数的乘积，将它称为权值的话，那么，处理这一分数段的记录需要比较的次数应为路径长度与权值的乘积，从而每一方案的总比较次数应是个分数段的路径长度与权值之积之和。

按照这一算法得出：

按方案1的判定过程进行操作，则总共需进行31500次比较；而按方案21的判定过程进行操作，则总共仅需进行22000次比较。

节省了30.16%的工作量。

把这一问题引伸，就提出了赫（哈）夫曼殊的概念。

1.树的带权路径长度的概念和计算

前面我们介绍过路径和结点的路径长度的概念，结点的路径长度定义为：

从根结点到该结点的路径上分支的数目。

把树的路径长度定义为：

树中每个结点的路径长度之和。

如果每个叶子结点都有确定的权值，则可引伸出叶子结点的带权路径长度和树的带权路径长度的定义。

把叶子结点的带权路径长度定义为：

该结点的路径长度与权值的成绩。

再把树的带权路径长度定义为：

树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

记带权路径长度为WPL,则

5

WPL（T）=

式中：

wi为第i个叶子结点的权值，

Pi为第i个叶子结点的路径长度。

图6.13一个带权二叉树

如图6.13所示的二叉树，它的带权路径长度值

WPL＝2×2＋4×2＋5×2＋3×2＝28。

2．赫（哈）夫曼树的基本概念

赫（哈）夫曼（Haffman）树也称最优二叉树，简单地说是指对于一组带有确定权值的叶结点，构造的具有最小带权路径长度的二叉树。

用计算机的术语可有一个定量的定义。

赫夫曼树定义：

在含n个叶子结点、结点i带有权值wi的二叉树，其中带权路径长度WPL取最小值的二叉树树，称为“最优二叉树”或“赫夫曼树”。

3.构造最优树（赫夫曼算法）:

（c）

在给定一组具有确定权值的叶结点，可以构造出不同的带权二叉树。

例如，给出4个叶结点，设其权值分别为1，3，5，7，我们可以构造出形状不同的多个二叉树。

这些形状不同的二叉树的带权路径长度将各不相同。

图6.14给出了其中5个不同形状的二叉树。

（b）

（a）

7

（d）

图6.14具有相同叶子结点和不同带权路径长度的二叉树

这五棵树的带权路径长度分别为：

（a）WPL＝1×2＋3×2＋5×2＋7×2＝32

（b）WPL＝1×3＋3×3＋5×2＋7×1＝29

（c）WPL＝1×2＋3×3＋5×3＋7×1＝33

（d）WPL＝7×3＋5×3＋3×2＋1×1＝43

（e）WPL＝7×1＋5×2＋3×3＋1×3＝29

可以计算出其带权路径长度为29，由此可见，对于同一组给定叶结点所构造的哈夫曼树，树的形状可能不同，但带权路径长度值是相同的，一定是最小的。

即（b）（e）均是。

这给我们一个启示，可以用穷举的方法构件赫夫曼树，给出所有以给定权值为叶子的所有二叉树，并计算比较WPL，找出最小者，得到赫夫曼树。

有时结果可能不惟一。

但是，这往往是不现实的，有时甚至是不可能的，同时也是不必要的。

根据哈夫曼树的定义，一棵二叉树要使其WPL值最小，必须使权值越大的叶结点越靠近根结点，而权值越小的叶结点越远离根结点。

赫夫曼根据这一特点，最早给出了一个带有一般性规律的算法，俗称赫夫曼算法，较好地解决了这一问题。

现简述如下：

（1）据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}，构造n棵二叉树的集合F={T1,T2,…,Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带权值为wi的根结点,其左、右子树为空树;

（2）在F中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和;

（3）从F中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树;

（4）重复

（2）和（3）两步，直至F中只含一棵树为止。

图6.15赫夫曼树的建立过程

图6.15给出了叶子结点权值集合为W＝{5，6，2，9，7}的赫夫曼树的构造过程。

并可求得：

WPL＝（6+7+9）×2＋（5+2）×3

＝22×2+21＝65

注意：

计算时只算叶子结点，是权值与路径长度之积，而不是权值与层数的乘积。

6.3.2赫夫曼编码

在数据通讯中，经常需要将传送的文字转换成由二进制字符0，1组成的二进制串，我们称之为编码。

快速远距传输电文时，为节约时间、减少错误，总要使电文编码尽量短并且不能产生歧义。

为使编码简短，可采用不等长编码，且使用频高的字符用较短的码。

为了不产生歧义，必须使任何一个字符的编码都不是同一字符集中另一个字符的编码的前缀。

例如编码方案：

A--01，B--010，C—001，D--10不符合要求。

因为字符A的编码01是字符B的编码010的前缀部分，这样对于代码串0101001，既是AAC的代码，也是ABD和BDA的代码。

利用赫夫曼树可以构造出一种最优前缀编码使所传电文的总长度最短,这种编码就是赫夫曼编码。

赫夫曼编码算法分为两大步：

（1）构造赫夫曼树；

（2）在赫夫曼树上求叶子结点的编码。

方法是：

给赫夫曼树的每一个分支标上代码，左分支标0；右分支标1。

从根结点到相应叶结点所经过的路径上各分支所组成的0，1序列，即为所求编码。

例：

已知某系统只用8种字符通信，出现频率为0.05，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11，试设计赫夫曼编码。

解：

为简便计算，把出现频率的100倍作为权值，即设W=（5,