勒让德函数.docx
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勒让德函数
在特殊函数中的应用
1作出0-4阶勒让德函数图形
>>x=0:
:
1;
y0=legendre（0,x）;
y1=legendre（1,x）;
y2=legendre（2,x）;
y3=legendre（3,x）;
y4=legendre（4,x）;plot（x,y0（1,:
）,'g*',x,y1（1,:
）,'b+',x,y2（1,:
）,'ro',x,y3（1,:
）,'k:
',x,y4（1,:
）,'r:
'）
>>legend（'P_0','P_1','P_2','P_3','P_4'）;title（'Legendre'）
>>（仿真结果）
2作出二阶连带勒让德函数图形
>>x=0:
:
1;
y=legendre（2,x）;
plot（x,y（1,:
）,'g*',x,y（2,:
）,'b+',x,y（3,:
）,'ro'）
>>legend（'P_2^0','P_2^1','P_2^2'）
3作出三阶连带勒让德函数图形
>>x=0:
:
1;
y=legendre（3,x）;
plot（x,y（1,:
）,'g*',x,y（2,:
）,'b+',x,y（3,:
）,'ro',x,y（4,:
）,'k:
'）
>>legend（'P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3'）
4作出整数阶贝塞尔函数的图形
>>clear
y=besselj（0:
5,（0:
:
10）'）;
plot（（0:
:
10）',y）
ylabel（'j_v（x）'）
xlabel（'x'）
legend（'J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5'）
text（1,,'J_0（x）'）
text（2,,'J_1（x）'）
text（3,,'J_2（x）'）
text,,'J_3（x）'）
text,,'J_4（x）'）
>>text,,'J_5（x）'）
Legendre函数
2007年12月13日星期四01:
00
Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。
1.氢原子波函数的角度部分：
用MATLAB来画一画：
l=0,m=0，即s轨道角度部分：
t=0:
:
2*pi;
y0n=legendre（0,cos（t）,'sch'）;
polar（t,y0n（1,:
）.^2）;
l=1,m=0,+1,-1即p轨道角度部分：
t=0:
:
2*pi;
y1n=legendre（1,cos（t）,'sch'）;
polar（t,y1n（1,:
）.^2,'r'）;
holdon;
polar（t,y1n（2,:
）.^2,'g'）;
l=2,m=0,+1,-1,+2,-2即d轨道角度部分：
t=0:
:
2*pi;
y2n=legendre（2,cos（t）,'sch'）;
polar（t,y2n（1,:
）.^2,'r'）;%d（z^2）
holdon;
polar（t,y2n（2,:
）.^2,'g'）;
polar（t,y2n（3,:
）.^2,'b'）;
Legendre多项式
函数
（）
由于展开式
（）
而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。
展开项系数
称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（）。
称为阶。
将式（）左边利用二项式定理展开，有
在上式中，含有
的项只出现在含
的项和以前各项中。
在这些项中，将含
的各项展成幂级数，并找出所有含
的项，其系数合为
（）
其中，
这是因为当
时，求和中最低幂项是
，当
时，最低幂项是
。
Legendre多项式的具体形式写成
（）
Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues（洛德利格）公式
（）
（）式和（）的正确性可以代入Legendre方程式（）直接证明。
由式（）和（）可得出前几阶Legendre多项式具体形式
图显示
在区间〔－1，1〕上的图形，一般有
图Legendre函数
第二类Legendre函数
值得一提的式，Legendre方程（）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函数，记为
。
其形式为
等一般的形式是
由于
的对数形式，第二类Legendre函数在边界
是无界的（并非全部
）。
因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对
将不在作讨论。
Legnedre多项式的零点
的零点都是一阶的，全部位于区域〔－1，1〕内。
且
与
的零点相互穿插，在
的两个相邻零点之间必有一个
的零点；反之亦然。
Legnedre多项式的性质
Legendre多项式的性质如下：
递推公式
①
②
对称性
③
特殊点的值
④
⑤
⑥
积分表达形式
⑦
Laplace第一积分
⑧
取
，由式（）得
取
，由式（）得
⑨
Laplace第二积分
⑩
积分公式
（）
（）
（）
利用Rodrigues公式（）可证明积分公式，下面证明方程（）。
利用式（），有
将积分作
次分部积分，然后设
，并利用积分公式
得
下面由母函数入手，证明Legendre多项式得递推公式，将母函数式（）写下
（）
对式（）两边取
导数，得
用
乘上两边，得
将上式左边中母函数再作展开，得等式
（）
比较（）式两边项得系数，得递推关系。
这是式（）的结果。
同理，对式（）两边的求导，得
将上式两边乘以
，并将左边母函数展开，得
（）
比较
项的系数，得
这就是式（）。
其它递推公式可依此导出，这里不再证明。
利用母函数，已证明Legendre式多项式（）满足递推公式（）～（），则式（）是Legendre方程（）的解。
下面证明定理。
定理设函数是
在〔－1，1〕区间上有一、二阶连续倒数的连续函数，
若
满足递推公式（）和式（）～（），则
是Legendre方程
的解。
将递推公式（）两边对
求导，得
（）
再将式（）乘以
，得
（）
将式（）乘以
，并与式（）相加，得
（）
由式（），将
换
成，有
（）
将式（）两边对
求导，得
（）
或写成
（）
将式（）代入式（），得
（）
再由式（）将式（）中的
项替代，最后，得到Legendre方程
Fourier－Legendre级数
第6章§讨论了区间〔－1，1〕上，Legendre方程的本征值为
（）
相应的本征函数是Legendre多项式
（）
由Legendre方程（）知
，
。
在
边界，
因而Legendre方程的解满足自然边界条件，因而有本征函数正交性
（）
第6章§还讨论了函数
在区间〔－1，1〕上用Legendre函数展成的广义Fourier级数，称为Fourier－Lengendre级数。
模计算如下：
将母函数式（）两边平方，得
（）
Fourier－Lengendre级数展开定理
若在区间〔－1，1〕上连续，或有限第一类间断点，那么，Fourier－Lengendre级数
（）
其中
（）
（）
在〔－1，1〕上的连续点收敛于
；在
的间断点，则收敛于平均值
；在
，收敛于
；在
，级数收敛于
。
将方程（）两边对
从－1到1积分，并利用正交关系式（）可知式（）右边的第二项积分等于零。
于是，有
（）
式（）左边的积分可完成为
（）
将式（）与式（）的右边相比较，得
【例】在〔－1，1〕区间上，试求
展成Fourier－Lengendre级数。
解设
根据积分公式（）可知，当
时，所有积分等于零，即
利用式（），计算得
（被积函数是奇函数）
于是有
由上述计算可得出以下结论：
在的Fourier－Lengendre级数中，若是奇数，只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数，只含偶数阶Lengendre多项式。
且Lengendre多项式的阶数最高阶为。
下面列出部分的Fourier－Lengendre多项式的阶数：
具有轴对称性的物理问题举例
由本章§1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。
把对称轴取作求坐标的轴，Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为
（）
Laplace方程描写的轴对称问题的形式解：
对于球内问题，有
对于球外问题，
应为零。
【例】半径为的均匀带电圆环，总电量为
，如图，求圆环周围空间的电势。
图带电的圆环
解先由Coulomb（库仑）定律求在
轴上的电势，
（）
将式（）作Laurant（罗朗）展开，得
（）
势（）可看成是形式解（）在
的边界条件。
比较两式，且有
，得
【例】半径为的半球导体，球面温度保持在，底面温度保持为，如图，求半导体球内的稳定温度分布。
图半圆形导体
解稳定时，导体内的温度分布满足Laplace方程。
温度分部具有轴对称性。
对于球内问题，由式（）有
（）
边界条件是
（）
（）
由式（），有
显然，只有当
为奇数
时才有
。
因而，式（）成为
（）
由式（），有
利用Fourier－Legendre级数展开定理，有
（）
最后一步积分是利用习题第3①题的结果求得的。
将式（）换写成
表达式，并代入式（），有
（）
§3*连带LEGENDRE多项式
连带LEGENDRE多项式
上节讨论了对称的定解问题，当
时，式（）转变成Legendre方程（）。
当物理问题是非轴对称时，
将式（）写下：
（）
类似地，作代换，令
，式（）变成连带Legendre方程
（）
式（）的本征值是
，只有当
取
等整数时，式（）才有本征函数解。
设
（）
于是,有
将上述结果代入式（）得
（）
另则，由Legendre方程（）对
作
次求导，得
（）
比较式（）与（）有
（）
由式（）得到满足方程（）的连带Legendre多项式
（）
在以上推导中，
阶导数表示为
特别是
连带LEGENDRE多项式的性质
积分表达式
①
（）
递推公式
②
（）
③
④
（）
⑤
（）
对称性
⑥
（）
⑦
（）
⑧
（）
正交关系
⑨
（）
⑩
（）
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