勒让德函数.docx

1、勒让德函数在特殊函数中的应用1 作出0-4阶勒让德函数图形x=0:1;y0=legendre(0,x);y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x); plot(x,y0(1,:),g*,x,y1(1,:),b+,x,y2(1,:),ro,x,y3(1,:),k:,x,y4(1,:),r:) legend(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4);title(Legendre)（仿真结果）2 作出二阶连带勒让德函数图形x=0:1;y=legendre(2,x);plot(x,y(1,:),g*,x,y(2

2、,:),b+,x,y(3,:),ro) legend(P_20,P_21,P_22)3 作出三阶连带勒让德函数图形x=0:1;y=legendre(3,x);plot(x,y(1,:),g*,x,y(2,:),b+,x,y(3,:),ro,x,y(4,:),k:)legend(P_30,P_31,P_32,P_33)4 作出整数阶贝塞尔函数的图形cleary=besselj(0:5,(0:10);plot(0:10),y)ylabel(j_v(x)xlabel(x)legend(J_0,J_1,J_2,J_3,J_4,J_5)text(1,J_0(x)text(2,J_1(x)text(3,J

3、_2(x)text,J_3(x)text,J_4(x)text,J_5(x)Legendre函数2007年12月13日 星期四 01:00Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。1. 氢原子波函数的角度部分：用MATLAB来画一画：l=0,m=0，即s轨道角度部分：t=0:2*pi;y0n=legendre(0,cos(t),sch);polar(t,y0n(1,:).2);l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：t=0:2*pi;y1n=legendre(1,cos(t),sch);polar(t,y1n(1,:).2,r);hold

4、 on;polar(t,y1n(2,:).2,g);l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：t=0:2*pi;y2n=legendre(2,cos(t),sch);polar(t,y2n(1,:).2,r); %d(z2)hold on;polar(t,y2n(2,:).2,g); polar(t,y2n(3,:).2,b);Legendre多项式 函数 （） 由于展开式 （） 而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。展开项系数 称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（）。称为阶。 将式（）左边利用二项式定理展开，有 在上式中，含有 的项只

5、出现在含 的项和以前各项中。在这些项中，将含 的各项展成幂级数，并找出所有含 的项，其系数合为 （） 其中， 这是因为当 时，求和中最低幂项是 ，当 时，最低幂项是 。Legendre多项式的具体形式写成 （） Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues（洛德利格）公式 （） （）式和（）的正确性可以代入Legendre方程式（）直接证明。 由式（）和（）可得出前几阶Legendre多项式具体形式 图显示 在区间1，1上的图形，一般有 图 Legendre函数第二类Legendre函数 值得一提的式，Legendre方程（）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函

6、数，记为 。其形式为 等一般的形式是 由于 的对数形式，第二类Legendre函数在边界 是无界的（并非全部 ）。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对 将不在作讨论。 Legnedre多项式的零点 的零点都是一阶的，全部位于区域1，1内。且 与 的零点相互穿插，在 的两个相邻零点之间必有一个 的零点；反之亦然。 Legnedre多项式的性质 Legendre多项式的性质如下： 递推公式 对称性 特殊点的值 积分表达形式 Laplace第一积分 取 ，由式（）得 取 ，由式（）得 Laplace第二积分 积分公式 （） （） （） 利用Rodrigues公式（）可证明积分公式，

7、下面证明方程（）。利用式（），有 将积分作 次分部积分，然后设 ，并利用积分公式 得 下面由母函数入手，证明Legendre多项式得递推公式，将母函数式（）写下 （） 对式（）两边取 导数，得 用 乘上两边，得 将上式左边中母函数再作展开，得等式 （） 比较（）式两边项得系数，得递推关系。 这是式（）的结果。 同理，对式（）两边的求导，得 将上式两边乘以 ，并将左边母函数展开，得 （） 比较 项的系数，得 这就是式（）。其它递推公式可依此导出，这里不再证明。 利用母函数，已证明Legendre式多项式（）满足递推公式（）（），则式（）是Legendre方程（）的解。下面证明定理。 定理 设函数

8、是 在1，1区间上有一、二阶连续倒数的连续函数， 若 满足递推公式（）和式（）（） ， 则 是Legendre方程 的解。 将递推公式（）两边对 求导，得 （） 再将式（）乘以 ，得 （） 将式（）乘以 ，并与式（）相加，得 （） 由式（），将 换 成，有 （） 将式（）两边对 求导，得 （） 或写成 （） 将式（）代入式（），得 （） 再由式（）将式（）中的 项替代，最后，得到Legendre方程 FourierLegendre级数 第6章讨论了区间1，1上，Legendre方程的本征值为 （） 相应的本征函数是Legendre多项式 （） 由Legendre方程（）知 ， 。在 边界， 因

9、而Legendre方程的解满足自然边界条件，因而有本征函数正交性 （）第6章还讨论了函数 在区间1，1上用Legendre函数展成的广义Fourier级数，称为FourierLengendre级数。 模 计算如下：将母函数式（）两边平方，得 （） FourierLengendre级数展开定理 若在区间1，1上连续，或有限第一类间断点，那么，FourierLengendre级数 （） 其中 （） （） 在1，1上的连续点收敛于 ；在 的间断点，则收敛于平均值 ；在 ，收敛于 ；在 ，级数收敛于 。 将方程（）两边对 从1到1积分，并利用正交关系式（）可知式（）右边的第二项积分等于零。于是，有 （

10、） 式（）左边的积分可完成为 （） 将式（）与式（）的右边相比较，得 【例】在1，1区间上，试求 展成FourierLengendre级数。 解 设 根据积分公式（）可知，当 时，所有积分等于零，即 利用式（），计算得 （被积函数是奇函数） 于是有 由上述计算可得出以下结论：在的FourierLengendre级数中，若是奇数，只含奇数阶Lengendre多项式；若为偶数，只含偶数阶Lengendre多项式。且Lengendre多项式的阶数最高阶为。 下面列出部分的FourierLengendre多项式的阶数： 具有轴对称性的物理问题举例 由本章1的讨论可归纳出具有轴对称性的物理问题的形式解。

11、把对称轴取作求坐标的轴，Helmholtz方程描写的轴对称问题形式解为 （） Laplace方程描写的轴对称问题的形式解： 对于球内问题，有 对于球外问题， 应为零。 【例】半径为的均匀带电圆环，总电量为 ，如图，求圆环周围空间的电势。 图 带电的圆环解 先由Coulomb（库仑）定律求在 轴上的电势， （） 将式（）作Laurant（罗朗）展开，得 （） 势（）可看成是形式解（）在 的边界条件。比较两式，且有 ，得 【例】半径为的半球导体，球面温度保持在，底面温度保持为，如图，求半导体球内的稳定温度分布。 图 半圆形导体解 稳定时，导体内的温度分布满足Laplace方程。温度分部具有轴对称性

12、。对于球内问题，由式（）有 （） 边界条件是 （） （） 由式（），有 显然，只有当 为奇数 时才有 。因而，式（）成为 （） 由式（），有 利用FourierLegendre级数展开定理，有 （） 最后一步积分是利用习题第3 题的结果求得的。将式（）换写成 表达式，并代入式（），有 （） 3* 连带LEGENDRE多项式 连带LEGENDRE多项式 上节讨论了对称的定解问题，当 时，式（）转变成Legendre方程（）。当物理问题是非轴对称时， 将式（）写下： （） 类似地，作代换，令 ，式（）变成连带Legendre方程 （） 式（）的本征值是 ，只有当 取 等整数时，式（）才有本征函数解。设 （） 于是,有 将上述结果代入式（）得 （） 另则，由Legendre方程（）对 作 次求导，得 （） 比较式（）与（）有 （） 由式（）得到满足方程（）的连带Legendre多项式 （） 在以上推导中， 阶导数表示为 特别是 连带LEGENDRE多项式的性质 积分表达式 （） 递推公式 （） （） （） 对称性 （） （） （） 正交关系 （） （）