分式典型易错题难题.docx
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分式典型易错题难题
分式典型易错题难题
分式一
分式的概念
并且E中含有字母,
一般地，如果心3表示两个整式,那么式子4叫做分式・
B
整式与分式统称为有理式.
在理解分式的概念时,
注意以下三点:
⑴分式的分母中必然含有字母;
⑵分式的分母的值不为0⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.
与分式有关的条件
④分式值为正或大于0:
分式值为负或小于0:
分子分母异号
6分式值为仁分子分母值相等（A二B）
7分式值为-仁分子分母值互为相反数（A+B=O）
增根的意义:
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的
程的根。
一、分式的基本概念
【例I】在下列代数式中，哪些是分式？
哪些是整式?
x2-2x+1
x-1
2x+45a宀
9—92m9x2
【例2】代数式召+|,字,亡1,畔丄，牛甞中分式有（）
32xx+12y23
A.1个B.1个C・1个D.1个
练习：
下列代数式中：
岑一”窖,五，是分式的有:
兀2Qa+bx+yx-y
二、分式有意义的条件
【例3】求下列分式有意义的条件：
⑸二
f+y
⑵要使
（1）丄
（2）丄（3）_心（4）亠
xx+32a-b?
.»r+1
（6）_^⑺耳
x—2x—8x+3
【例4】（1人为何值时，分式―一有意义?
1+—!
—
分式斗芋没有意义，余】的值.
【例5】x为何值时，分式—有意义?
2+右
X为何值
【例3】时，分式—丄〒有意义?
2+x
2+x
【例4】若分式X：
50有意义，贝yx；
1+亦
若分式亠讐无意义，则X
1+
250x
【例5】⑴若分式有意义，则x；
（x_3）（x+4）7
⑵若分式需无意义，则
（|x|—3）（x+4）7
■
X；
练习：
当x有何值时，下列分式有意义
仁
（1）:
:
（2）売（3）右（4）£（5）七
x十2x-11x|—3%_丄
x
2、要使分式互有意义，则x须满足的条件为
x_37
3、若各有意义，则二（）.
3-a
3_a
A.
无意义B.有意义
C.
为0D.
以上答案都不对
4、x为何值时，
分式豊有意义?
三、分式值为零的条件
【例6】当x为何值时，
⑴2^1
x
下列分式的值为
⑵耳
x+1
0?
2
⑷」
x+7
（8）
2
⑸X»
x-1
-2x-3
2
x-4
x22x
（x1）（x2）
【例7】如果分式
2
x-3x2
x-1
的值是零，那么
的取值是
【例8】x为何值时，分式
x29
3x
分式值为零?
练习：
1、若分式口的值为0,则x的值为・
XI
2、当x取何值时，下列分式的值为0.
2
（1）泞
（2）岁（3）（4）
X+3X-4x—5x—6
25—x2
~2
x-6x^5
2
x-16
x23x-4
四、关于分式方程的增根与无解
（二）原方程化去分母后的
它包含两种情形：
（一）原方程化去分母后的整式方程无解;
整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解•现
举例说明如下:
【例9】
解方程&売吩
【例10】
解方程丹只2-
【例11】
例3若方程汙专无解，则2-.
【例12】
（1）当a为何值时，关于x的方程二吕二二会产生
x—2x一4x+2
增根
（2）若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
a为何值时，关于x的方程土壬二弋无解？
x-2x-4x+2
练习：
1、当k为何值时，方程匸卜-\会出现增根？
X—3X—3
2、已知分式方程39=2有增根，求a的值。
XX+1
3、分式方程—严二一有增根X"贝ym的值为多少？
X-1X-1X十1
4、a为何值时，关于X的方程厶j=有解？
x—1Xx（x—1）
5、关于X的方程亠-2二旦有一个正数解，求m的取值
x-3x-3
范围。
2mx
7、当m为何值时，去分母解方程飞+〒=0会产x-2x-4
生增根。
&若方程丄一上亠乎会产生增根，则（）
x+2x-2x-4
Ak一2B、k=2C、k=—2D、k为任何实数
9、若解分式方程兰-匸—产生增根，则m的值是
X+1x+xx
（）
A.—1或—2B.—1或2C.1或2D.1或—2
10、已知关于x的方程亠=2-4有负数解，求m的取值范
x-33-x
围。
分式
【例13】分式基本性质:
【例14】分子、分母的系数化为整数
不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数练习：
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
32
⑴1.03X0.02y⑵席_3『
3.2x—0.5y1x+5y
32
【例15】分子、分母的首项的符号变为正号
不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
【例16】未知数同时扩大或缩小相同的倍数
1、若x，y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
⑴山⑵旦⑶严
x-yx-yx+y
练习:
1•如果=3,则厂二（）
yy
A
•
4
3
B
•
xy
C
•
4
D
•
Xy
2.
值
如果把乎的
x+y
（）
x
与y都扩大10倍，那么这个代数式的
A不变
•
B
•
扩大50倍
C
扩大10倍
D
•
缩小到原来
的0
3•若分式畚中的分式的值（）
a、b的值同时扩大到原来的
10倍，贝9
A是原来的20
•倍
B
•
是原来的10倍
C
是原来的盒
D
•
不变
4•如果把分式：
中的x和y的值都缩小为原来的［，那么分式的值（）
B缩小为原来
C
缩小为原来D不变
.的寺
•
的•
A扩大3倍
5•如果把分式二中的x和y都扩大为原来的4倍，那么
分式的值（）
A扩大为原来的4倍
•
B
•
缩小为原来的
C扩大为原来的16倍
•
D
•
不变
6•若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分
式的值（）
A扩大3倍B缩小3倍C缩小6倍D不变
7•如果把乙中的x和y都扩大5倍，那么分式的值
A扩大5倍B不变
&若x、y的值均扩大为原来的
【例17】直接通分化简
1、已知：
丄丄'，求2^3xy2y的值.
xyx+2xy+y
2、已知：
1-1=3，求2a3ab-2b的值.ab丿b_ab_a
3、若丄-1「，则b一旦一3的值是多少?
aba+bab
练习：
1、已知1丄=7,求心处
xyx+y+5xy
2、已知
2a3ab-2b
a-2ab-b
的值
3、已知1-=5，求2x「3xy21的值.（8分）xyx+2xy十y
5、如果1
a
【例18】先化简成x+1或x-1，再求值
xx
卄2、1211
1、右x-3x7=0，求x+,x+，x的值.
xxx
2、已知:
a2-3a^0，试求（a2V）（aJ）的值.
7aa
3、已知：
x一3，求—的值.
X，7X+x+1
练习
已知a'-3a+l=0r
则"一
卡-—h
1
EM,x+A=4.求一的值
■T,v*+x*+1
已知:
x-丄=2,
x7
2
x
X42x21
的值.
【例19】利用非负性求分数的值
1、若|x—y1|（2x—3）2=0，求的值.
4x-2y
2、若a22ab2-6b1^0，求&5b的值■
练习:
若lx—y1|（2x—3）2=0，求的值.
4x—2y
若a24a6b13=0，求壬亜的值.
3a5b
【例20】求待定字母的值
1、若导二也』，试求m,N的值.
X2-1X+1X-17
2、已知：
—―旦，试求A、B的值.
（x-1）（2x-1）x-12x-1?
练习:
1、已知:
2、若已知△•旦=容（其中AB为常数），则
X十1XTx-1
【例21】较难分式化简求值
111++（x_1）（x1）（x1）（x3）（x3）（x5）
计算：
++-+■"+
叫应+1）W十1）（^+2）（fl+2）（^+3）3+2003®+200®
IT-W十+
（x+1）（X4-3）（a+3）（.r+5）（.r+2^O7）（x+200^
练习：
]]工I一j亠1
e2+3x+2x2+5x+6m2++12
[]1
（x-lXx+1）（x+lXx+3）（xT3）（^+5）
【例22】代数式值为整数
1、当a为何整数时，代数式-4-的值是整数，并求出这个a+2
整数值.
2、当-为何整数时，代数式竺丫的值是整数，并求出这a—2
个整数值.
练习：
1、当-为何整数时，代数式匹的值是整数，并求出这个
3a-2整数值.
2、当-为何整数时，代数式晋的值是整数，并求出这个整数值.
分式三
.分式的意义及分式的值
例题仁当x=3时，分式冷的值为°，而当x=2时，分式无意义，则求ab的值时多少？
例题2、不论x取何值，分式—总有意义，求m的取
x—2x+m
值范围
二.有条件的分式的化简求值
（一）、着眼全局，整体代入
例3、已知a2b=2006，求3『12ab诙的值.
2a+4b
例4、已知—3，求2x3x^2y的值.
xyx-2xy_y
［、巧妙变形，构造代入例5.已知a,b,c不等于0,且abc=0,求a（1!
）b（!
!
）c（!
1）的值.
bcacab
例6.若b+J=1,
三、参数辅助，多元归一
例7、已知'亠上，求马宁2的值
234x+y+z
四、打破常规，倒数代入
2
例&已知x厶4，求的值.
Xx+x+1
例9.已知业丄旦丄王J,求abc的值.
a+b3b+c4a+c5ab+ac+bc
（五）活用（完全平方）公式,进行配方•
22
例10.设实数x,y满足x2y28x6y2^0'求Y412X的
x+4xy+4yx+2y值。
（六）大胆消元，解后代入
例11.已知a+b—c=0,2a—b+2c=0（c半0）,求詈二：
；；的值.
三.无条件的分式的求值计算
22
++'
（x2007）（x2009）
（x1）（x3）（x3）（x5）
四.分式方程的无解及增根
（1）给出带参数的分式方程求增根
例12.关于x的方程笄L有增根•则增根是（）
x-2x-4x+2
A2B.-2C.2或-2D.没有
（2）已知分式方程的增根求参数的值
例13.分式方程*严=*有增根x=1,则m的值为多
xTxTx+1
少？
（4）已知分式方程无解求参数的值
例15（2007湖北荆门）若方程芳=芒无解，则m=
例16•当a为何值时，关于x的方程总代=宀①
X—2X一4X2无解？
（5）已知分式方程解的情况求参数的范围
例17.已知关于x的方程」2-亠有负数解，求m的取值范围
x—33—x
五.阅读理解型问题
例18.阅读下列材料
方程禽—尸七-七的解为X=1,方程「已=己
—匕的解为x=2,
方程土—己=匕—走的解为x=3,…
（1）请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并求出这个方程的解.
⑵根据⑴中所求得的结论，写出一个解为一5的分式
方程.
例19.阅读下列材料:
关于x的分式方程X+l=c+1的解是Xi=C,X2=-；
xcc
X—】=c—1，即X+V=C+T的解是Xi=C,X2=—-；
xcxcc
X+2=c+2的解是Xi=c,X2=2；
xcc
X+3=c+3的解是Xi=c,X2=3.
xcc
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于X的方程X
+^=c+卫（mM0）与它的关系，猜想它的解是什么，并xc
利用方程解的概念进行验证•
（2）由上述的观察，比较,猜想,验证可以的出结论；
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程
右边形式与左边的完全相同，只是把其中未知数换成某个常数•
那请你利用这个结论解关于x的方程:
x+丄二玄+丄
xTaT
练一练:
1、若方程罕-宀，有增根，则增根是。
x-77-x
c半dC.a半-b,c半-d
4、
若分式方程二-3
x—2
有增根，则a的值是
5、
当m=
时,方程
玉会产生增根.
6、
若方程汙十°有增根,
则增根是
关于x的分式方程1
—+—
x-2x2
-4有增根x=-2，则
k=
3—2x2+mx
8.关于x的方程°“+乙叫=_1无解，m的值为
x—33—x
9.若a使分式七斗没有意义，那么a的值是（
11_3a
2a
A0
1
B--或0C、±2或0
3
10.分式斗有意义，那么a的取值范围是
-a
2
11.分式鱼吟6的值为0,则x的值为（
3x2
A、3或_舟B、-3或2C、
23233
12.已知丄亠的值是-丄，那么x的值是
‘x—14
1-
x
13.已知ab=0,a2-ab-2b2=0,那么的值为
c、
2ab
D、
14.已知△丄z，则
234
15.已知—=yZ=0,
32
2小2小2
x今毎的值是xy亠2yz亠3xz
八2八2_2
那么2x空5L的值为
xyyzzx
x_y
3
x-y-2xy
A、5
B
-5C3D>--
3
355
18.若丄-1=4,
ab
则.
a_2ab_b的值早
2a7ab-2b的值早
16.已知a=0且ab那么
4a亠3ab亠4b_
-3a2ab-3b一
17.已知3-，则2x3xy空的值为（
19.计算：
a（a1）+（a1）（a2）+（a2）（a3）++（a2005）（a2006）
20.若x+y=4,xy=3，求^+-的值.
xy
x2xyy
21.已知1—5,求2x—3xy2y的值.
x」
22.已知1
x
丄=2,求分式
y
占K的值
23.若ab=1,求
亠
1a21b
12的值
24.已知冷.求分式
a2-b2
ab
的值
25.已知f=3，求亦+
応-古的值.
2
26.若于―a求分式的值.
x-3x+1x+x+1
27.若亠二」J，求x+y+z的值
a-bb-cc-a
28.已知abc=1,求证:
―a_._.—c_
aba1bcb1acc1
29.关于x的方程亠-2=旦有一个正数解，求m的取值
x-3x-3
范围。
r1211一1
即f
（1）=LT；f
（2）表示当x=2时y的值，即G）2i
TT=5
f
（2）=1
（2）;…那么f
（1）+f
（2）+f
（2）+f（3）+f（3）+…
i
+f（n）+f（n）=（结果用含n的代数式表
示）。
3
0.4ab
5
11.ab
410
（3）已知分式的的有增根求参数值
例14.已知分式方程3**一=2有增根，求a的值。
XX十17
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