北京市中考数学试题附解析.docx
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北京市中考数学试题附解析
北京市2015年中考数学试题
考生须知
1.本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名你、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试在上作答无效。
4.在答题卡上，选择题，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各理均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，
1.截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米.将140000用科学记数法表示应为（）
A.14×104 B.4×105 C.1.4×106 D.0.14×106
【答案】B．
考点：
科学记数法．
2.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位直如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）
A.a B.b C.c D.d
【答案】A．
【解析】
试题分析：
一个数离开原点的距离表示这个数的绝对值，a离原点的距离最远，故选A.
考点：
在数轴上表示实数；绝对值
3.一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B．
【解析】
试题分析：
一共6个球，其中2个黄球，根据概率的定义所以概率为
，故选B.
考点：
概率
4.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）
【答案】D．
考点：
轴对称图形
5.如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（）
A.26° B.36°C.46° D.56°
【答案】B．
【解析】
试题分析：
如如图∠4=∠2=88°，因为l4∥l1，根据平行线的性质可得∠4+∠3=∠1，所以∠3=∠1-∠4=124°-88°=36°，故选B．
考点：
对顶角相等；平行线的性质
6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）
A0.5km B.0.6kmC.0.9km D.1.2km
【答案】D．
【解析】
试题分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km．故选D．
考点：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）
A.12，21 B.21，21.5C.21，22 D.22，22
解析：
【答案】C
【解析】
试题分析：
21度出现的次数为10天，最多，故21是众数；为20°为4天，21°为10天，22度为8天，按从小到大的顺序排列22度位于中间位置，故中位数为22，故选C.
考点：
柱状图，众数，中位数
8.右图是利用平面直角坐标系画出的故故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向.表示太和门的点的坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），表示下列宫殿的点的坐标正确的是（）
A.景仁宫（4，2）B.养心殿（-2，3）C.保和殿（1，0）D.武英殿（-3.5，-4）
【答案】B
【解析】
试题分析：
本题考查了点的坐标问题，解题关键是找出原点的位置，然后根据平面直角坐标系的特点找出各个选项的正确坐标，即根据太和门的点的坐标为（0，-1），可得中和殿为原点（0，0），保和殿为（0，1），景仁宫（2，4），养心殿（-2，3），武英殿（-3.5，-3），所以只有B正确，故选B.
考点：
点的坐标
9.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45-55次之间，则最省钱的方式为（）
A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡
【答案】C
【解析】
试题分析：
分别把游泳次数45代入三个会员卡类型一年内在该游泳馆游泳的次数45次时的总费用：
A类消费50＋45×25＝1175元，B类消费200＋45×20=1100（元），C类消费400＋45×15=1075（元），A>B>C所以选择C.
考点：
选择方案问题
10一个寻宝游戏的寻宝通道如图所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则寻宝者的行进路线可能为（）
A.A→O→B B.B→A→C C.B→O→C D.C→B→O
【答案】C
【解析】
试题分析：
此题考查动点函数问题，各项分别分析如下：
A路线，A到O是减小，是直线型的，故错，B路线，在AB上是，开始减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要长，故不对；D路线中，应会出现距离为0的点，但图中没有故不对，故选C.
考点：
动点函数图象
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11.分解因式：
5x3－10x2＋5x＝____.
【答案】5x（x－1）2
【解析】
试题分析：
先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可得出5x（x－1）2
考点：
分解因式
12.下图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝____.
【答案】360°
【解析】
试题分析：
根据多边形的外角和为360°可得出答案.
考点：
多边形的外角和
13.《九章算数》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方数、正负数和方程数，其中，方程数是《九章算数》最高的数学成就.
《九章算数》中记载：
“今年牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。
问：
牛、羊各直金几何？
”
译文：
“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：
每头牛、每只羊各值金多少两？
”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为____.
【答案】
【解析】
试题分析：
根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.”列方程组即可.
考点：
二元一次方程组的应用
14.关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值a＝____，b＝____.
【答案】
（满足b2＝a，a≠0即可，答案不唯一）
【解析】
试题分析：
当一元二次方程
的系数满足
（1）
>0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）
=0时，方程有两个相等的实数根；（3）
<0时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式可得出a，b应满足b2-a=0，且a≠0即可.
考点：
一元二次方程根的判别式
15.北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约____万人次，你的预估理由是____________________.
【答案】①1038或②980
【解析】
试题分析：
参考答案①：
1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算；参考答案②：
980，因为2012-2013年发生数据突变，故按照2013-2014增长进行估算（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分估计学生答出980到1140之间均可给分）
考点：
折线统计图
16.阅读下面材料：
在教学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
作一条线段的垂直平分线.
已知：
线段AB.
求作：
线段AB的垂直平分线.
小芸的作法如下：
如图，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于
的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点；
（2）作直线CD.所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说：
“小芸的作法正确.”
请回答：
小芸的作图依据是____________________，
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：
两点确定走一条直线．
【解析】
试题分析：
本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于
的长为半径作弧，两孤相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD,根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线.
考点：
线段垂直平分线的作法；直线的性质
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，
17.计算：
．
【答案】
【解析】
试题分析：
先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=
，求出各项的值即可.
试题分析：
原式
考点：
实数的混合运算；特殊角三角函数值
18.已知2a2＋3a－6＝0，水代数式3a（2a＋1）－（2a＋1）（2a－1）的值.
【答案】7
【解析】
试题分析：
先化简代数式得到2a2＋3a＋1，再代入2a2＋3a－6＝0得出结论.
试题解析：
原式＝3a（2a＋l）－（2a＋1）（2a－1）
＝6a2＋3a－4a2＋1
＝2a2＋3a＋1
∵2a2＋3a－6＝0
∴2a2＋3a＝6
∴原式＝7
考点：
整式的化简求值
19.解不等式
并写出它的所有非负整数解.
【答案】0，1，2，3.
【解析】
试题分析：
先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解.
试题解析：
由①4x＋4≤7x＋10，－3x≤6，x≥－2，
由②3x－15＜x－8，2x＜7，
，∴
，∴非零整数解为0，1，2，3.
考点：
解不等式组
20.如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：
∠CBE=∠BAD.
【答案】见试题分析
【解析】
试题分析：
根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，又因为BE⊥AC，根据直角三角形的两锐角和为90°，等量代换即可得出结论.
试题解析：
证：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∵AD是BD边上的中线，∴AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝90°.∵BE⊥AC.，∴∠CBE＝∠C＝90°∴∠CBE＝∠BAD.
考点：
等腰三角形的性质，三角形的内角和
21.为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计2015年底，全市将租赁点多少个?
【答案】1000
【解析】
试题分析：
设2015年底全市租赁点有x个.根据“2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.”列方程，解方程即可得出答案.
试题解析：
设2015年底全市租赁点有x个.
，x＝1000
经检验：
x＝1000是原方程的解，且符合实际情况.
答：
预计到2015年底，全市将有租赁点1000个.
考点：
分式方程的应用
22．在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：
AF平分∠DAB.
【答案】
（1）见试题分析
（2）见试题分析
【解析】
试题分析：
（1）根据□ABCD的对边互相平行得出DC∥AB，又因为DF=BE，即可得出四边形DEBF为平行四边形.再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论．
（2）在Rt△BFC中，根据勾股定理得出BC=5，又因为AD=BC=5，得出AD=DF，得出∠DAF=∠DFA，再根据AB∥CD，得出∠FAB=∠DFA，等量代换即可得出结论.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD为平行四边形.∴DC//AB,即DF//BE,又∵DF＝BE.
∴四边形DEBF为平行四边形.又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°.∴四边形DEBF为矩形.
（2）∵四边形DEBF为矩形.∴∠BFC＝90°,∵CF＝3，BF＝4.∴
∴AD＝BC＝5,∴AD＝DF＝5,∴∠DAF＝∠DFA．因为AB∥CD，所以∠FAB=∠DFA，∠FAB=∠DFA，AF平分∠DAB.
考点：
平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理.
23.作平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b（k≠0）与双曲线
的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B.
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值.
【答案】
（1）4
（2）（3）３或1.
【解析】
试题分析：
（1）把点P（2，m）代入反比例函数解析式，求出m=4；
（2）把P（2,4）代入一次函数解析式得出b=4-2k,表示出直线与坐标的交点∴
，B（0，4－2k），∵PA＝2AB．如图①，②结合平行线分线段成比例定理得出结论.
试题解析：
（1）点P（2，m）在
上.∴
，m＝4．
（2）P（2，4）在y＝kx＋b，∴4＝2k＋b，b＝4－2k，∵y＝kx＋b与x、y轴交于A、B两点
∴
，B（0，4－2k），∵PA＝2AB．
如图①PB＝AB，则OD＝OA＝2.∴
，∴k＝1，如图②PA＝2AB，PD＝2OB＝4
∴OB＝2，2k－4＝2，k＝3．所以ｋ＝３或1.
考点：
反比例函数的图象和性质；一次函数的图象和性质；平行线分线段成比例定理
24.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且
，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.
（l）求证：
△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长.
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】
试题分析：
（1）根据切线的定义可知AB⊥BM，又∵BM//CD，∴AB⊥CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得△ACD是等边三角形；
（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，由三线合一可得∠DAB=30°，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得∠∠EBD＝∠DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得
，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得，
，
，在Rt△OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．
试题解析：
证：
∵BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，∴AB⊥BM，∵BM//CD，∴AB⊥CD，
∴AD＝AC，∴AD＝AC，∴DA＝DC，∴DC＝AD，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD为等边三角形.
证：
（2）△ACD为等边三角形，AB⊥CD，∴∠DAB＝30°，连结BD，∴BD⊥AD.
∠EBD＝∠DAB＝30°，∵DE＝2，∴BE＝4，
，
，
，
在Rt△OBE中，
．
考点：
圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．
25.阅读下列材料：
2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次，其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为28万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.
2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次.
2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次，13万人次、14.9万人次.
根据以上材料解答下列问题：
（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为____万人次；
（2）选择统计表或统计图，将2013－2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.
【答案】
（1）40；
（2）（见试题解析）
【解析】
试题分析：
（1）2013年玉渊公园32万人次，32乘以（1+25%）即可得出2014年40万人；.
（2）根据2014年颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次，得出2013年颐和园游客量为21.6万人；由题意知2015年颐和园为26万人次，2013年，2014年，2015年动物园分别接待游客14.9万人次，22万人，18万人次，根据已知数据列出统计图和条形图即可.
试题解析：
（1）40
（2）2013-2015清明小长假公园游客接待量统计表
考点：
统计图
26.有这样一个问题：
探究函数
的图象与性质.
小东根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数
的自变量x的取值范围是____；
（2）下表是y与x的几组对应值.
求m的值：
（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是
，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：
_________.
【答案】
（1）x≠0．
（2）
（3）见试题分析（4）①该函数没有最大值；②该函数在x＝0处断开
③该函数没有最小值；④该函数图像没有经过第四象限
【解析】
试题分析：
根据分式有意义的条件得出结论x≠0．（２）把x=3代入函数解析式即可求出m的值.（3）根据描点法画出函数图象。
（4）答案不唯一：
如①该函数没有最大值；②该函数在x＝0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图像没有经过第四象限．
试题解析：
26.
（1）x≠0．
（2）令x＝3，∴
，∴
（3）如图
（4）①该函数没有最大值
②该函数在x＝0处断开
③该函数没有最小值
④该函数图像没有经过第四象限
考点：
函数图象；求函数值.
27.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：
y＝x2＋bx＋c经过点A，B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C2：
y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.
【答案】
（1）A（3，2），B（－1，2）．
（2）
，（1,-2）．（3）
【解析】
试题分析：
①把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）②把A，B两点的坐标代入C1：
y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标.③把A，B的坐标分别代入C2：
y＝ax2求出a的值即可得出结论.
试题解析：
①当y＝2，则2＝x－1，x＝3，∴A（3，2），∵AB关子x＝1对称，∴B（－1，2）．
②把（3，2）（－1，2）代入得：
，
，所以函数解析式为
其顶点坐标为（1,-2）．③如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a＝2，
，代入B（－1，2）则a＝2
∴
．
考点：
一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质
28.在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.
（1）若点P在线CD上，如图1，
①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）
【答案】
（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见试题分析
（2）
或
【解析】
试题分析：
（1）①如图
（1）；②
（1）法一：
轴对称作法，判断：
AH＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：
△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：
∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．
（2）轴对称作法同
（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则
.由
代入HR，CR解方程即可得出x的值.四点共圆作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴
．
试题解析：
（1）①
法一：
轴对称作法，判断：
AH＝PH，AH⊥PH
证：
连接CH，得：
△DHQ等腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP
BD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．
法二：
四点共圆作法，同上得：
∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△．
（2）法一：
轴对称作法
考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则
.
由
得：
，∴
．即PD=
法二：
四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴
．
考点：
全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆
29.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：
若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r.则称P′为点P关于⊙C的反称点，下图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.
（1）当⊙O的半径为1时.
①分別判断点M（2，1），
，
关于⊙O的反称点是否存在？
若存在，求其坐标；
②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x袖上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x袖上，半径为1，直线
与x轴、y轴分別交于点A，B.若线段AB存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.
【答案】①M（2，1）不存在，
存在，反称点
存在，反称点T′（0，0）②0＜x＜2
（2）2≤x≤8．
【解析】
试题分析：
（1）①根据反称点的定义画图得出结论；②∵CP≤2r＝2 CP2≤4，P（x，－x＋2），CP2＝x2＋（－x＋2）2＝2x2－4x＋4
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