知识点线代3.docx

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知识点线代3

知识点n维向量组做题结果　

1.设α，β，都是n维向量，k，l是数，下列运算不成立的是（）

A、1×α＝α；

B、（kl）α＝k（lα）；

C、α，β对应分量成比例，可以说明α=β；

D、k（α＋β）＝kα＋kβ；

【正确答案】 C

【答案解析】应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。

2.设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，下列运算成立的个数为（）

（1）α＋β=β＋α；

（2）（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）；

（3）α＋0＝α；

（4）α＋（－α）＝0

（5）1×α＝α；

（6）k（α＋β）＝kα＋kβ；

（7）（k＋l）α＝kα＋lα；

（8）（kl）α＝k（lα）。

（9）α，β对应分量成比例，可以说明α=β

A、8B、9C、6D、7

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 其中（9）不正确，应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β，其它均正确。

3.设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，下列运算成立的个数为（）

（1）α＋β=β＋α；

（2）（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）；

（3）α，β对应分量成比例，可以说明α=β；

（4）α＋（－α）＝0

（5）1×α＝α；

（6）（kl）α＝k（lα）；

（7）（k＋l）α＝kα＋lα；

（8）k（α＋β）＝kα＋kβ；

（9）α＋0＝α。

A、8B、6

C、9D、7

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 其中（3）不正确，应该是α，β对应分量都相等，可以说明α=β。

知识点向量的线性运算做题结果　

1.设β=（1，0，1），γ=（1，1，-1），则满足条件3x+β=γ的x为（）

A.-1/3（0,1,-2）B.1/3（0,1,-2）

C.（0,1,-2）D.（0,-1,2）

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 因为3x+β=γ，所以.

2.设α=（0，2，1），γ=（0，-2，-3），则满足条件α+β=γ的β为（）

A、（0，4，4）B、（0，-4，-4）

C、（0，0，-2）D、（0，0，2）

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 因为α+β=γ，所以β=γ-α=（0，-2，-3）-（0，2，1）=（0，-4，-4）。

3.给出α=（1，3，1），β=（2，0，2），γ=（-1，1，1）求4α+β-3γ=（）

A、3（-1，3，1）

B、3（-3，-3，1）

C、3（3，3，-1）

D、3（3，3，1）

【正确答案】 D

【答案解析】 4α+β-3γ

=4（1，3，1）+（2，0，2）-3（-1，1，1）

=3（3，3，1）

　知识点表出系数做题结果　

1.（-1，7）能否表示成（1，-1）和（2，4）的线性组合？

若能则表出系数为（）

A、能,-3,1B、不能C、能,3,1D、能,3,-1

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 假定（-1，7）=λ1（1，-1）+λ2（2，4）

=（λ1，-λ1）+（2λ2，4λ2）

=（λ1+2λ2，-λ1+4λ2）

由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得主程组：

于是第一个向量是其余向量的线性组合，它的表示式为：

（-1，7）=-3（1，-1）+（2，4）

2.（4，0）能否表示成（-1，2），（3，2）和（6，4）的线性组合？

若能则表出系数为（）

A、能,系数不唯一B、不能

C、能，-1，-1，1D、能，-1，1，0

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 假定（4，0）=λ1（-1，2）+λ2（3，2）+λ3（6，4）

=（-λ1，2λ1）+（3λ2，2λ2）+（6λ3，4λ3）

=（-λ1+3λ2+6λ3，2λ1+2λ2+4λ3）

可得方程组：

因此，第一个向量是其余向量的线性组合，而且表示不唯一，它的表示式可为：

（4，0）=-（-1，2）-（3，2）+（6，4）

或

（4，0）=-（-1，2）+（3，2）+0·（6，4）

3.（1，-1）能否表示成（1，0）和（2，0）的线性组合？

若能则表出系数为（）

A、能，1，1B、不能C、能，-1，1D、能，1，-1

【正确答案】 B

【答案解析】 假定（1，-1）=λ1（1，0）+λ（2，0）

=（λ1，0）+（2λ2，0）

=（λ1+2λ2，0）

对照各分量，将会产生-1=0的矛盾，因此（1，-1）不能表示为（1，0），（2，0）的线性组合。

知识点组合系数做题结果　

1.（-1，5）能否表示成（1，2）和（2，4）的线性组合？

若能则表出系数为（）

A、能,-3,1B、不能C、能,3,1D、能,3,-1

【正确答案】 B

【答案解析】 假定（-1，5）=λ1（1，2）+λ2（2，4），解不出λ1和λ2，所以不能。

2.（-1，1）能否表示成（1，0）和（2，0）的线性组合？

若能则表出系数为（）

A、能,1,1B、不能C、能,-1,1D、能,1,-1

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 假定（-1，1）=λ1（1，0）+λ2（2，0）,可以知道解不出λ1和λ2

3.（1，0）能否表示成（1，1）和（0，1）的线性组合？

若能则表出系数为（）

A、能，1，1B、不能C、能，-1，1D、能，1，-1

【正确答案】 D

【答案解析】 假定（1，0）=λ1（1，1）+λ2（0，1）

=（λ1，λ1）+（0，λ2）

=（λ1，λ1+λ2）

对照各分量，将会产生λ1=1,λ2=-1.

知识点线性相关与线性无关做题结果　

1.设α1=（2,1,0），α2=（0,0,0），则（）

A.α2线性相关B.α1线性相关

C.α1，α2线性无关D.α2线性无关

【正确答案】 A

【答案解析】 零向量是任何一组向量的线性相关组合，∴选项C不正确，单个非零向量线性无关，∴选A，选项B、D不正确。

2.n维向量α1，α2，…，αm，当m＞n时，则α1，α2，…，αm的线性相关性是（　）

A、线性无关B、线性相关

C、即线性相关又线性无关D、不确定

【正确答案】 B

【答案解析】 

首先排除C因为向量不可能线性相关又线性无关,只能是相关或者无关.再根据教材91页两个重要结论得出本题答案为B

3.向量（2，3，0），（-1，4，0），（0，0，2）线性无关。

【正确答案】 对【答案正确】

【答案解析】 考察λ1（2，3，0）+λ2（-1，4，0）+λ3（0，0，2）=0

则（2λ1-λ2，3λ1+4λ2，2λ3）=0

可得方程组：

所以只有零解λ1=λ2=λ3=0，即这个向量组线性无关。

知识点线性相关与线性无关1做题结果　

1.设α1=（2,1,0），α2=（0,0,0），则（）

A.α2线性无关B.α1线性无关

C.α1，α2线性无关D.α1线性相关

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 ∵任意一个含零向量的向量组必为线性相关组，

∴α1，α2线性相关。

单个向量α线性相关

α=0。

单个向量α线性无关

α≠0。

2.设α1=（1,1,0），α2=（1,3,-1），α3=（5,3,t）线性相关，则t=（）

A.5B.2C.1D.0

【正确答案】 C

【答案解析】 

由线性相关,构造的齐次线性方程组有非零解,推出其行列式为0来计算得出t=1

3.设α1=（1,1,1），α2=（1,2,3），α3=（1,3,t）线性相关，则t=（）

A.5B.2C.1D.0

【正确答案】 A

【答案解析】 ∵α1，α2，α3线性相关，

知识点线性相关性的若干基本定理做题结果　

1.α1,α2…αm是一组线性无关的向量，k≠0，则kα1,kα2…kαm是（ ）

A、线性无关B、线性相关

C、即线性相关又线性无关D、不确定

 【正确答案】 A

【答案解析】 

2.设A组向量可由B组向量线性表出，又B组向量可由C组向量线性表出，则A组向量（）

A、不可由C组向量线性表出。

B、可由C组向量线性表出。

C、不一定可由C组向量线性表出。

D、不确定。

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 

3.若α1,α2线性无关，β是另外一个向量，则α1+β与α2+β（）

A、线性无关B、线性相关

C、即线性相关又线性无关D、不确定

 【正确答案】 D

【答案解析】 例如，α1=（1,1）,α2=（0,2）,β=（-1,-1）

则α1,α2线性无关，而α1+β=（0,0）,α2+β=（-1,1）线性相关。

如果β=（0,0）,那么α1+β,α2+β还是线性无关的。

知识点线性相关性的若干基本定理1做题结果　

1.含有零向量的向量组（）

A、可能线性相关B、必线性相关

C、可能线性无关D、必线性无关

 【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 含有零向量的向量组必线性相关。

2.设α1,α2…αm线性相关，则任意扩充后的α1,α2…αm+k向量组（）

A、一定线性无关B、一定线性相关

C、不一定线性无关D、不一定线性相关

 【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 本题说的是：

部分相关，则整体相关。

3.设向量组α1,α2…αm线性无关，则它的任何一个部分组（　）

A、可能线性无关B、可能线性相关

C、一定线性无关D、一定线性相关

 【正确答案】 C

【答案解析】 这里说的是：

整体无关，则部分无关。

知识点两个向量组的关系做题结果　

1.如果向量组R能由向量组S线性表出，且向量组S能由向量组R线性表出，则称向量组R与S（）

A、一定等价B、可能等价C、不一定等价D、不确定

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。

2.向量组间的等价关系不具有（）

A、反身性；B、对称性C、传递性。

D、相等

【正确答案】 D

【答案解析】 等价关系具有：

反身性；对称性；传递性。

3.向量组A的任何一个部分组（）由该向量组线性表示。

A、都能B、一定不能C、不一定能D、不确定

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 向量组的任何一个部分组都能由该向量组线性表示。

知识点向量组的极大无关组做题结果　

1.

向量组T与它的任意一个极大无关组等价,那么T的任意两个极大无关组（）

A、可能等价B、一定等价C、不一定等价D、不确定

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 

根据教材P96的定理可以得出

2.向量

的一个极大无关组为（）

A、α1,α2

B、α1,α2,α3

C、α1,α2,α3,α4

D、α1,α2,α4

【正确答案】 B【答案正确】

【答案解析】 把这四个向量组成矩阵，经过行初等变换不难看出α1,α2,α3为极大无关组。

3.如果向量组S可由向量组T线性表出,其秩分别为r（S）=s,r（T）=t,则（）

A、s小于等于tB、s大于t

C、s等于tD、不确定

【正确答案】 A【答案正确】

【答案解析】 

根据教材P97的定理可以得出

知识点向量组的极大无关组1做题结果　

1.α1=（