昆明理工大学线性代数考试试题集与答案.docx
《昆明理工大学线性代数考试试题集与答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《昆明理工大学线性代数考试试题集与答案.docx（55页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
昆明理工大学线性代数考试试题集与答案
《线性代数B》2010〜2011学年第一学期课程试卷A
一、填空
1
1
1
1
1.
2
3
4
5
=12
4
9
16
25
8
27
64
125
1
2.设A、B为4阶方阵，且|A|2,3B81，则|AB|1/2
3.
给定矩阵A，且A
E可逆,满足AB
1
00
1
4.
设A
0
11
，则A
1
0
0
12
0
5.
已知1,
2
3线性相关，
3不能由
1:
1
1
0
6.
设1
2
2
t,3
2,
且
3
6
1
7.
设A是4
3矩阵,且R（A）
2,B
&
设三阶方阵
A的每行元素之和均为零,
又
1
k
1（k1
R）.
1
1
3
0
1
9.
向量组
1
J
2
3
1
2
1
0
1,2,4亠
E
A2B,则B
A
E
0
0
2
1—.
1
1
2线性表示，则1,
2线性
相关
1,2
3线性相关，
则t
8.
123
010则R（AB）2
312
R（A）2，则齐次线性方程组AxO的通解为
0
1
1
0
J
4
的一个最大线性无关组为
1
1
3
0
10.设A为n阶方阵，Ax
0有非零解，则A必有一个特征值为
、单项选择
2•设A,B,C均为二阶方阵,
ABAC，则当（C）时，可以推出BC•
（A）A
（B）A
（C）A
（D）A
x
3
1
x2
y
4
z2
1..若
y
0
2
1,则
3
0
2
（A）
z
2
1
1
2
1
（A）
1
;
（B）2;
（C）
1
（D）0
3.下列结论正确的是（A）
（A）1,2,,s线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合
（B）若向量1,2,3线性相关，则1,2线性相关;
（C）若n阶方阵A与对角阵相似，则
A有n个不同的特征值
（D）若方程组AxO有非零解，则Ax
b有无穷多解
4.已知1,2
3是四兀方程组Ax
b的三个解，
其中
R（A）
3,
则以下不是方程组
Ax
b的通解为（
D）
2
1
1
1
1
2
0
2
0
2
0
2
（A）k
;（B）k
（C）k
2
3
1
3
1
2
4
4
2
4
2
2
5.设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B）
（A）12,23,31；（B）1,2,31；
3
2
（D）k“
1
（C）1,2,21
（D）2,3,223.
6•若n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（a）
（A）A与B相似;
（B）AB，但|AB|0;
（C）AB;
（D）A与B不一定相似，但|A||B|.
X1
X2
X41,
X1
2X2X3
2x4
3
有解，并在有解时求通解
X1
X2X3
X4
6,
X2
X4
k
（D）PiP2为零向量•
三、k为何值时,线性方程组
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
-1
A
2
1
2
3
0
1
1
1
2
1
1
1
1
6
0
0
1
0
5
0
1
0
1
k
0
1
0
1
k
1
1
0
1
j
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
•
2
0
1
1
1
•
2
0
0
1
0
:
5
0
0
1
0
5
0
0
1
0
:
k
2
0
0
0
0
k3
当
ik
3时，
方程组有解,
1
0
0
0
:
1
•
4
0
1
0
1
i
3
A
1
0
0
1
0
d
1
5
7
0
0
0
0
■
■
0
7.设Ap1
1P1,AP2
2p2,且1
2,则以下结论正确的是（B）
（A）PiP2不—1定是A的一个特征向量
（B）p1p2一定不是A的一个特征向量
（C）PiP2—定是A的一个特征向量
x14
X23X4
X35
4
0
（12分）通解为X
3
1k
5
0
01
x4x4
四、已知矩阵A
a0b
010的特征值之和为1,特征值之积为1.
（1）求a,b（b0）的值;
（2）求可逆矩阵P和对角阵，使得P1AP
b00
001
a0,b1.A010
100
01
2
10
（1）
（1）
0
1,
1.
当121时，EA
P11,P2
0
1时,
P3
0
1
1
1
取P1
0
0
1
有PAP
1
0
1
1
a1
a2
1
五、计算Dn
a11a1
a2a21
anan
an1
n
解D*rn（ai
i1
n
（ai
i1
1）
a2
a21
anan
a2
an1
C2C1
an
n
（a1）
（1）n1
i1
六、设A为3阶矩阵,
1，2为A的分别属于特征值
1,1特征向量，向量3满足
A323，
证明
（1）1,2,3线性无关；⑵令P1,2,3，求P1AP-
即ki1k22k3（2
3）。
（2）
（2）-
（1）
2k〔ikg2O
因为1,2线性无关,
kik30,代入
（1），得k22O,
2O,k20
1，2，3线性无关
100
1
（2）PAP011
001
《线性代数
2010〜2011学年第
学期课程试卷B
、填空
1•设|A|
1（aij）441
1
2
2
3
2
2
1
4
3
2
0
1
6
2
7
8
，又Aj是aj的代数余子式
，则A41A42A43A44=0
2设A、B为3阶方阵,
|A|
2,3B1
1
81，则|AB|
1/6
3.设A为方阵，满足A2A2E0,则A
1
1
0
3
1
0
4.设A1
3
0，则A1
11
2
1
0
0
0
2
0
0
1
5.向量组
1,2,3,1线性一相一关.
6.设A是mn矩阵，R（A）r,则齐次线性方程组AxO有非零解的充分必要条件是
一rn—
7.设A是43矩阵,且R（A）2,B
1
2
3
0
1
0则R（AB）2
3
1
2
&设三阶方阵A的每行元素之和均为3,则A有特征值3
9.向量组1
i
5
1
1
2
8
1
3的一个最大线性无关组为
3
9
7
10.属于方阵A的不同特征值的特征向量一定线性无关
二、单项选择
a11
a12
a13
a11a12
a21a22
a31a32
1..若
a21
a22
a23
1,则
a13
a23
a33
a31
a32
a33
a12
a22
a32
（A）
1；
（B）
2；
（C）
1；
（D）0.
2.设A为mn矩阵，且mn，则一定有（D）.
（A）.
（A）RAm;
（D）RAm.
3.下列结论错误的是（D）
（A）1,2,,s线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合
（B）若向量1,2,3线性无关，则1,2线性无关；
（C）n阶方阵A与对角阵相似是A有n个不同的特征值的必要条件；
（D）若方程组AxO有非零解，则Axb有无穷多解.
4.设矩阵Amn的秩R（A）mn，下述结论中正确的是D
（A）A的任意m个列向量必线性无关；（B）A的任意一个m阶子式不等于零;
（C）齐次线性方程组Ax0只有零解；（D）非齐次线性方程组Axb必有无穷多解
5.n阶矩阵A,B,C满足ABCE,则下列各式中成立的是_D.
（A）ACBE;（B）CBAE;（C）BACE;（D）BCAE
1
6•设矩阵Aab42的秩为2，则_C
24a2
（A）a0,b0；（B）a0,b0；（C）a0,b0；（D）a0,b0.
7.A,B均为n阶方阵，则下列结论中B成立.
（A）AB0,则AO,或BO；（B）AB0,则A0,或B0；
O,则A0,或B0•
（C）ABO,则AO,或BO;（D）AB
X51,
三、k为何值时，线性方程组有解•并在有解时求通解.
解A
3
2
1
1
3
0
0
1
2
2
6
k
1
1
1
1
1
1
0
1
2
2
6
3
0
1
2
2
6
k
111111
当k3时，R（A）
1
1
1
1
1
1
0
1
2
2
6
3
0
0
0
0
0
k3
R（B）25,所以有依赖于3个独立参数的无穷多解.
3x12x2
X3
X4
3X5
X2
2X3
2x4
6X5
Xi
X2X3X4
0,
k.
10115
01226
00000
X1
X3X4
5x52
x22x32x46x53
得X3X3
X4
X5
X4
X5
1152
2263
C20
C30
0（C1,C2,C3R）.
0
0
四、已知矩阵A
101
010,求可逆矩阵P与对角阵，使得P1AP
101
01
10
（1）
（2）,10,21,32,
01
进一步可求得相应的特征向量为
Pl0,P21,P3
10
0
有P1AP=1
2
五、计算行列式Dn
a11a2
a1a21
an
an
an1
n
解DGCn（ai
i1
1
1
1）
1
a2
a21
a2
Dr1
rnr1
n
（ai
i1
ai1
1a2
01
1）
00
an
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
六、已知n阶矩阵A1
1
1
0
0
1
1
1
1
i1
A11
证明|A|中所有元素的代数余子式的和为1.
证|A|1,
A21
A12
A2n
An2
A1
nn
IA|
AA
|A|
又AA
Ai1
i1
n
Ai2
i1
n
Ain
i1
n
nn
比较第一列元素之和有Ajj1
j1i1
XXX大学线性代数期末考试题
、填空题
（将正确答案填在题中横线上。
每小题
2分，共10分）
1.若
2•若齐次线性方程组
3.已知矩阵
X1
X1
X1
X2
X2
X2
X3
X3
X3
0
0只有零解，则应满足
（Cjj）sn,满足ACCB，则A与B分别是
阶矩阵。
a11a12
4.矩阵A
a21a22
的行向量组线性
a31a32
5.n阶方阵
A满足A2
3AE0，则A1
二、判断正误（正确的在括号内填“V”，错误的在括号内填“X”。
每小题2分，共10分）
1.若行列式D中每个元素都大于零，贝UD0o（）
2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）
3.
向量组
a1,
a2,
am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组
a1,a2,,as线性
相关。
（）
0
1
0
0
1
0
0
0
1/、
4.
A
，则A1Ao（）
0
0
0
1
0
0
1
0
5.
若
为可逆矩阵A的特征值，则A1的特征值为。
（）
三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，
将正确答案题号填入括
号内。
每小题2分，共10分）
1.
设A为n阶矩阵，且A2，则AAt
（）°
①
_n—J1zkxn1
2②2③2
④4
2.
n维向量组1?
2,，s（3s
n）线性无关的充要条件是（
）。
①
1?
2,,s中任意两个向量都线性无关
②
1?
2,,s中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③
1?
2,,s中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④
1,2,,s中不含零向量
3.
卜列命题中正确的是（）。
①
任意n个n1维向量线性相关
②
任意n个n1维向量线性无关
③
任意n1个n维向量线性相关
④
任意n1个n维向量线性无关
4.
设A,B均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。
①
若A,B均可逆，则AB可逆
②
若A,
B均可逆，则
AB可
逆
③
若AB可逆，则AB可逆
④
若A
B可逆，则A,
B均可
逆
5.
若
1,2,3,4是线性方程组A
0的基础解系，则
1
234是A
0的
（）
①
解向量②基础解系
③通解
④A的行向量
四、计算题
（每小题9分，共63分）
1.计算行列式
解.
xa
b
c
d
x
a
b
c
d
b
c
d
a
xb
c
d
x
a
b
c
d
xb
c
d
a
b
xc
d
x
a
b
c
d
b
xc
d
a
b
c
xd
x
a
b
c
d
b
c
xd
（xa
1
b
c
d
1
b
c
d
1
xb
c
d
（xabcd）
0
x
0
0
1
b
xc
d
0
0
x
0
1
b
c
xd
0
0
0
x
cd）
（xabcd）x3
4•问a取何值时，下列向量组线性相关?
1
2
1
2
a
X1
X2
X3
5.
为何值时，线性方程组
X1
X2
X3
X1
X2
X3
3
2有唯一解，无解和有无穷多解？
当方程组有无
2
301
2.
设AB
A
2B，
且A
1
1
0,求B。
0
1
4
2
11
解
（A
2E）B
A
1
（A2E）
2
21
1
11
5
2
2
B
（A
2E）
1A
4
3
2
2
2
3
1
1
0
0
2
134
3•设B0
10
1
1
0
1,
c0
C0
2
0
1
2
3
1且矩阵满足关系式X（CB）'E,求
0
0
0
1
0
0
0
2
1
2
a,3
1
2
穷多解时求其通解。
1当1且2时，方程组有唯一解;
2当2时方程组无解
③当1时，有无穷多组解，通解为
211
0C11C20
001
1
2
1
3
4
9
0
10
6.设1,
2
3
J
4
-求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其
1
1
3
7
0
3
1
7
余向量用该极大无关组线性表示。
1
0
0
7.设A
0
1
0，求A的特征值及对应的特征向量。
0
2
1
五、证明题
（7
分）
若A是n阶方阵，且AAI,A1,证明AI0。
其中I为单位矩阵。
XXX大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1.5
2.1
3.ss,nn
4.相关
5.A3E
二、判断正误
1.X2.
3.V
4.
V
5.
X
三、单项选择题
1.③2.
③
3.③
4.
②
5.
①
四、计算题
1.
xa
b
c
d
x
a
b
c
d
b
c
d
a
xb
c
d
x
a
b
c
d
xb
c
d
a
b
xc
d
x
a
b
c
d
b
xc
d
a
b
c
xd
x
a
b
c
d
b
c
xd
（xa
1
b
c
d
1
b
c
d
1
xb
c
d
（xabcd）
0
x
0
0
1
b
xc
d
0
0
x
0
1
b
c
xd
0
0
0
x
d）
c
（xabcd）x3
2.
（A2E）BA
（A2E）
211
221，B（A2E）1A
111
3.
1
2
3
4
1
0
0
0
0
1
2
3
1
2
1
0
0
CB
（c
B）
0
0
1
2
3
2
1
0
0
0
0
1
4
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
'1
2
1
0
0
'1
2
1
0
0
CB
X
E
C
B
1
2
1
0
1
2
1
0
0
1
2
1
0
1
2
1
4.
ai,82,a3
性相关。
11
a——
22
1112
—a——（2a1）2（2a2）当a
228
11
--a
22
1或a1时，向量组a1,a2,as线
2
5.
1当1且2时，方程组有唯一解;
2当2时方程组无解
3当1时，有无穷多组解，通解为
211
0C|1c20
001
1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
佝，
a3,a4）
4
9
0
10
0
1
4
2
0
1
4
2
a2,
1
1
3
7
0
3
4
10
0
0
16
16
0
3
1
7
0
3
1
7
0
0
13
13
1
0
02
0
1
02
0
0
11
0
0
00
6.
1
0
0
EA
0
1
0
0
2
1
特征值
1
2
31
3?
对于入
五、证明题
7.
AlAAAAlA
（1）30
00
升级会员 