昆明理工大学线性代数考试试题集与答案.docx

1、昆明理工大学线性代数考试试题集与答案线性代数B20102011学年第 一学期课程试卷A一、填空11111.2345= 124916258276412512.设 A、B 为 4 阶方阵，且 | A | 2, 3B 81，则 | AB | 1/2 3.给定矩阵A，且AE可逆,满足AB10 014.设A01 1，则A1001 205.已知1,2,3线性相关，3不能由1:1106.设12,2t , 32 ,且3617.设A是43矩阵,且R(A)2 , B&设三阶方阵A的每行元素之和均为零,又1k1 (k 1R).113019.向量组1J2, 312101 , 2 , 4 亠EA2 B ,则 BAE00

2、21 .112线性表示，则 1 ,2线性相关1 , 2,3线性相关，则t8 .1 2 30 10 则 R(AB) 23 1 2R(A) 2，则齐次线性方程组 Ax O的通解为0110J4的一个最大线性无关组为113010.设A为n阶方阵，Ax0有非零解，则A必有一个特征值为、单项选择2设A,B,C均为二阶方阵,AB AC，则当(C )时，可以推出B C (A) A(B) A(C) A(D) Ax31x 2y4z 21.若y021,则302(A )z21121(A)1;(B) 2 ;(C)1(D) 03.下列结论正确的是(A )(A ) 1, 2, , s线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不

3、是其余向量的线性组合(B)若向量1, 2, 3线性相关，则 1, 2线性相关;(C)若n阶方阵A与对角阵相似，则A有n个不同的特征值(D)若方程组Ax O有非零解，则 Axb有无穷多解4.已知1, 2,3是四兀方程组Axb的三个解，其中R(A)3,则以下不是方程组Axb的通解为(D )211112020202(A) k; (B) k(C) k2313124424225.设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( B )(A)1 2 , 2 3, 3 1 ； ( B ) 1 , 2 , 3 1 ；32(D) k “1(C ) 1 , 2,2 1(D) 2 , 3 ,2 2 3

4、 .6若n阶矩阵A, B有共同的特征值，且各有 n个线性无关的特征向量，则( a )(A) A与B相似;(B) A B，但 | A B | 0;(C) A B;(D) A与B不一定相似，但| A| |B|.X1X2X4 1,X12X2 X32x43有解，并在有解时求通解X1X2 X3X46,X2X4k(D) Pi P2为零向量三、k为何值时,线性方程组1101111011- 1A21230111211116001050101k0101k1101j11101101112011120010:5001050010:k20000k 3当i k3时，方程组有解,1000:14 0101i3A10010d

5、157000007.设 Ap11P1, AP22 p2 ,且 12,则以下结论正确的是( B )(A) Pi P2不 1定是 A的一个特征向量(B) p1 p2一定不是A的一个特征向量(C) Pi P2 定是 A的一个特征向量x1 4X2 3 X4X3 540(12分)通解为X31 k500 1x4 x4四、已知矩阵Aa 0 b0 1 0的特征值之和为1,特征值之积为 1 .(1) 求 a, b(b 0)的值;(2)求可逆矩阵P和对角阵 ，使得P 1APb 0 00 0 1a 0,b 1. A 0 1 01 0 00 121 0 ( 1) ( 1)01,1.当1 2 1时，E AP1 1 ,

6、P201时,P30111取P 1001有P AP1011a1a21五、计算 Dna1 1 a1a2 a2 1an anan 1n解 D * rn ( aii 1n(aii 11)a2a2 1an ana2an 1C2 C1ann(a 1)( 1)n 1i 1六、设A为3阶矩阵,1，2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3满足A 3 2 3，证明（1） 1, 2, 3线性无关；令P 1, 2, 3，求P 1AP -即 ki 1 k2 2 k3( 23) 。(2)(2)-(1)2k i kg 2 O因为1, 2线性无关,ki k3 0,代入(1)，得 k2 2 O,2 O, k2 01，2，

7、3线性无关1 0 01(2) P AP 0 1 10 0 1线性代数20102011学年第学期课程试卷B、填空1设 | A|1 (aij )4 4 11223221432016278，又Aj是a j的代数余子式，则 A41 A42 A43 A44 =02设A、B为3阶方阵,|A|2, 3B 1181，则 | A B |1/63.设A为方阵，满足A2 A 2E 0,则A1103104.设 A 130，则 A 11 12100020015.向量组1 , 2, 3, 1 线性 一相一关.6.设A是m n矩阵，R(A) r ,则齐次线性方程组 Ax O有非零解的充分必要条件是一 r n 7.设A是4

8、3矩阵,且R(A) 2 , B123010 则 R(AB) 2312&设三阶方阵 A的每行元素之和均为 3,则A有特征值 3 9.向量组 1i5112813的一个最大线性无关组为39710.属于方阵A的不同特征值的特征向量一定 线性无关二、单项选择a 11a 12a13a 11 a12a 21 a 22a 31 a 321.若a 21a 22a 231,则a 13a 23a 33a 31a 32a 33a 12a 22a 32(A)1 ；(B)2 ；(C)1 ；(D) 0.2.设A为m n矩阵，且m n，则一定有(D ).(A ).(A) R A m;(D) R A m.3.下列结论错误的是(

9、D )(A)1 , 2, , s线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合(B)若向量1, 2, 3线性无关，则 1, 2线性无关；(C)n阶方阵A与对角阵相似是 A有n个不同的特征值的必要条件 ；(D)若方程组Ax O有非零解，则 Ax b有无穷多解.4.设矩阵Am n的秩R(A) m n，下述结论中正确的是 D(A) A的任意m个列向量必线性无关； (B) A的任意一个 m阶子式不等于零;(C)齐次线性方程组 Ax 0只有零解； (D)非齐次线性方程组 Ax b必有无穷多解5. n阶矩阵A, B,C满足ABC E,则下列各式中成立的是 _D .(A) ACB E; (B)

10、CBA E; (C )BAC E; (D)BCA E16设矩阵A ab 4 2 的秩为2，则_C 2 4 a 2(A) a 0,b 0 ； (B) a 0, b 0 ； (C) a 0,b 0 ； (D) a 0,b 0.7. A,B均为n阶方阵，则下列结论中 B 成立.(A) AB 0,则 A O,或 B O ； (B) AB 0,则 A 0,或 B 0 ；O,则 A 0,或 B 0 (C) AB O,则 A O,或 B O ; (D) ABX5 1,三、k为何值时，线性方程组有解并在有解时求通解.解A32113001226k11111101226301226k11111 1当 k 3时，R

11、(A)11111101226300000k 3R(B) 2 5,所以有依赖于3个独立参数的无穷多解.3x1 2x2X3X43 X5X22X32x46X5XiX2 X3 X40,k.10 1150 12 2 60 0 0 0 0X1X3 X45x5 2x2 2x3 2x4 6x5 3得 X3 X3X4X5X4X5115 22 2 6 3C2 0C3 00 (C1,C2,C3 R).00四、已知矩阵A1 0 10 1 0 ,求可逆矩阵P与对角阵，使得P 1AP1 0 10 11 0 ( 1)( 2), 1 0, 2 1, 3 2 ,0 1进一步可求得相应的特征向量为Pl 0 , P2 1 , P3

12、1 00有 P 1AP = 12五、计算行列式 Dna1 1 a2a1 a2 1ananan 1n解 D G Cn ( ai i 1111)1a2a2 1a2D r1rn r1n(aii 1ai 11 a20 11)0 0an0110001100六、已知n阶矩阵A 111001111i 1A11证明| A |中所有元素的代数余子式的和为 1.证 |A| 1,A21A12A2nAn 2A1nnI A|A A|A|又A AAi1i 1nAi2i 1nAini 1nn n比较第一列元素之和有 Ajj 1j 1 i 1XXX大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分

13、）1.若2 若齐次线性方程组3.已知矩阵X1X1X1X2X2X2X3X3X300只有零解，则 应满足（Cjj）sn ,满足AC CB，则A与B分别是阶矩阵。a11 a124.矩阵Aa21 a22的行向量组线性a31 a325. n阶方阵A满足A23A E 0，则 A 1二、判断正误（正确的在括号内填“V” ，错误的在括号内填“X” 。每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，贝U D 0 o （）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。 （）3.向量组a1,a2,am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1, a2, , as线性相关。()010010001 /

14、、4.A，则 A 1 A o ()000100105.若为可逆矩阵A的特征值，则 A 1的特征值为 。（）三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）1.设A为n阶矩阵，且A 2，则AAt( )_ n J 1 zkx n 12 2 242.n维向量组 1? 2, ， s （ 3 sn）线性无关的充要条件是（）。1? 2, , s中任意两个向量都线性无关1? 2, , s中存在一个向量不能用其余向量线性表示1? 2, , s中任一个向量都不能用其余向量线性表示1, 2, , s中不含零向量3.卜列命题中正确的是（）。任意n个n 1维向量线性相关任意n个

15、n 1维向量线性无关任意n 1个n维向量线性相关任意n 1个n维向量线性无关4.设A , B均为n阶方阵，下面结论正确的是 （）。若A , B均可逆，则A B可逆若A,B均可逆，则A B可逆若A B可逆，则 A B可逆若AB可逆，则A,B均可逆5.若1, 2, 3, 4是线性方程组 A0的基础解系，则12 3 4 是 A0的（）解向量 基础解系通解A的行向量四、计算题（每小题9分，共63分）1.计算行列式解.x abcdxabcdbcdax bcdxabcdx bcdabx cdxabcdbx cdabcx dxabcdbcx d(x a1bcd1bcd1x bcd(x a b c d)0x0

16、01bx cd00x01bcx d000xc d)(x a b c d)x34问a取何值时，下列向量组线性相关?1212aX1X2X35.为何值时，线性方程组X1X2X3X1X2X332 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无23 0 12.设ABA2B，且A110 ,求 B。01421 1解(A2E)BA1(A 2E)22 111 1522B(A2E)1 A432223110021 3 43设 B 01 01101 ,c 0C 0201231且矩阵 满足关系式 X(C B) E,求0001000212a , 312穷多解时求其通解。1当 1且 2时，方程组有唯一解;2当 2时方程组无解当

17、1时，有无穷多组解，通解为2 1 10 C1 1 C2 00 0 11213490106.设 1 ,2, 3J4-求此向量组的秩和一个极大无关组， 并将其11370317余向量用该极大无关组线性表示。1007.设A010 ，求A的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分）若A是n阶方阵，且 AA I ,A 1,证明 A I 0。其中I为单位矩阵。XXX大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52. 13. s s , n n4.相关5. A 3E二、判断正误1. X 2.3. V4.V5.X三、单项选择题1. 2.3.4.5.四、计算题1.x abcdxabcdbcdax bcdxab

18、cdx bcdabx cdxabcdbx cdabcx dxabcdbcx d(x a1bcd1bcd1x bcd(x a b c d)0x001bx cd00x01bcx d000xd)c(x a b c d)x32.(A 2E)B A(A 2E)2 1 12 2 1 ，B (A 2E) 1A1 1 13.12341000012312100C B,(cB)0012321000014321100010001210012100C BXECB12101210012101214.ai, 82, a3性相关。1 1a 2 21 1 1 2a (2a 1)2(2a 2)当 a2 2 81 1- - a2 21或a 1时，向量组a1, a2, as线25.1当 1且 2时，方程组有唯一解;2当 2时方程组无解3当 1时，有无穷多组解，通解为2 1 10 C| 1 c2 00 0 1121312131213佝，a3, a4)4901001420142a2,11370341000161603170317001313100 2010 2001 1000 06.100E A010021特征值123 13 ?对于入五、证明题7.Al A AA Al A(1)3 00 0